WWW.NAUKA.X-PDF.RU
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, издания, публикации
 


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 13 |

«Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую олимпиаду по математике Под редакцией А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. ...»

-- [ Страница 1 ] --

МАТЕМАТИКА В ЗАДАЧАХ

Сборник материалов выездных школ

команды Москвы

на Всероссийскую олимпиаду по математике

Под редакцией А. А. Заславского, Д. А. Пермякова,

А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова

Москва

Издательство МЦНМО

М3

Рецензент: А. К. Ковальджи

Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую

М34 математическую олимпиаду / Под ред. А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова. М.: МЦНМО, 2009. 488 с.

ISBN 978-5-94057-477-4 В данный сборник вошли материалы выездных школ по подготовке команды Москвы на Всероссийскую олимпиаду. Материалы сборника могут использоваться как школьниками для самостоятельных занятий, так и преподавателями. В большинстве материалов сборника приведены дававшиеся на занятиях задачи, а также решения или указания к ключевым задачам.

ББК 74.200.58:22.1 Рисунки Е. С. Горской c Коллектив авторов, 2009.

c МЦНМО, 2009.

ISBN 978-5-94057-477-4

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редакторов...................................................................

Зачем и для кого эта книга....................................................... 6 Изучение путем решения и обсуждения задач......................................... 6 Как устроена книга.............................................................

О литературе и источниках....................................................... 7 Напутствие. А.Я. Канель........................................................ 7 Благодарности и сведения

–  –  –

Зачем и для кого эта книга Математические школы, кружки и олимпиады служат мостом между ‘школьной’ и ‘университетской’ математикой. Частью такого моста является и данная книга.

Эта книга предназначена для занятий старшеклассников и младшекурсников (в частности, ориентированных на олимпиады). Надеемся, ее изучение будет полезно также всем, кто хочет стать математиком или профессионалом в наук

омких отраслях. См. подробнее §?? Олимпиады и математика. Книгу могут использовать как ученики для самостоятельных занятий, так и преподаватели.

Книга содержит как стандартные базовые материалы, так и более продвинутые. Некоторые из них малоизвестны в традиции математических кружков, но полезны как для математического образования, так и для подготовки к олимпиадам.

Книга основана на занятиях, проведенных авторами в разное время в школе им. А.Н. Колмогорова (СУНЦ МГУ), школе 1543 г. Москвы, летней школе Современная математика, Кировской и Костромской летних математических школах, Московской выездной олимпиадной школе, на кружках Математический семинар и Олимпиады и математика, на Летней Конференции Турнира Городов, на сборах по подготовке команды России на международную математическую олимпиаду, в системе МИОО дистанционного обучения математике и др.

Книга доступна уже старшеклассникам, интересующимся математикой. 1) Приводятся почти все определения, не входящие в школьную программу. Если где-то нужны дополнительные сведения, то приводятся ссылки.

При этом многие материалы трудны, если изучать их с нуля. Однако последовательность изложения помогает преодолевать трудности. В то же время многие материалы независимы друг от друга. См. подробнее п. 1 Как устроена книга.

Изучение путем решения и обсуждения задач Мы следуем традиции изучения материала в виде решения и обсуждения задач. Эти задачи подобраны так, что в процессе их решения читатель (точнее, решатель) освоит основы важных теорий как классических, так и современных. Основные идеи демонстрируются по одной и на олимпиадных примерах, т.е. на простейших частных случаях, свободных от технических деталей.

Этим мы показываем, как можно придумать эти теории. См. подробнее §?? Олимпиады и математика.

Обучение путем решения задач не только характерно для серьезного изучения математики, но и продолжает древнюю культурную традицию. Например, послушники дзенских монастырей обучаются, размышляя над загадками, данными им наставниками. Впрочем, эти загадки являются скорее парадоксами, а не задачами. См. подробнее [Su]; ср. [Pl, стр. 26-33]. А вот некоторые математические примеры:

[GDI, KK, SC, Sk09]; кое-где не только приведены задачи, но и изложены принципы отбора удачных задач.

Для решения задач достаточно понимания их условий. Никакие другие знания и теории не нужны.

Но может потребоваться владение другими частями книги, что всегда отражено в подсказках.

К важнейшим задачам приводятся подсказки, указания, решения и ответы. Они расположены в конце каждого пункта. Однако к ним стоит обращаться после прорешивания каждой задачи.

Если задача выделена словом теорема ( лемма, следствие и т. д.) и жирным шрифтом, то ее утверждение важное.

Как правило, мы приводим формулировку задачи-утверждения перед ее-его доказательством.

2) В таких случаях для доказательства утверждения могут потребоваться следующие задачи. Это всегда явно оговаривается в подсказках, а иногда и прямо в тексте. Поэтому если некоторая задача не получается, то читайте дальше соседние задачи могут оказаться подсказками. (На занятии 1) Часть материала на некоторых кружках и летних школах изучается теми, кто только знакомится с математикой (например, 6-классниками). Однако приводимое изложение рассчитано на читателя, уже имеющего хотя бы минимальную математическую культуру. Заниматься с 6-классниками нужно по-другому, см., например, [GIF].

2) Часто происходит обратное: формулировки красивых результатов и важных проблем, ради которых была придумана теория, приводятся только после продолжительного изучения этой теории (или не приводятся совсем).

Это способствует появлению представления о математике как науке, изучающей немотивированные понятия и теории.

Такое представление принижает ценность математики.

задача-подсказка выдается только тогда, когда школьник или студент немного подумал над самой задачей.) Все это попытка продемонстрировать занятие в виде диалога, основанного на решении и обсуждении задач. См. подробнее [KK15].

Как устроена книга Книгу не обязательно изучать подряд. Читатель может выбрать удобную ему последовательность изучения (или вовсе опустить некоторые пункты) на основании приводимого плана.

Книга разбита на главы, параграфы и пункты. Структура глав и параграфов приблизительно описана в начале глав и параграфов. Если в задаче используется материал другого пункта, то либо эту задачу можно игнорировать, либо посмотреть то место, на которое приводится ссылка. Это дает большую свободу читателю при изучении книги, но одновременно может требовать его внимательности.

Пункты внутри каждого параграфа расположены примерно в порядке возрастания сложности материала. Первые пункты (не отмеченные звездочкой) являются базовыми; если не указано противное, с них можно начать изучение главы. А к остальным пунктам (отмеченным звездочкой) можно возвращаться потом; если не указано противное, то они независимы друг от друга. Цифры в скобках после названия пункта (или параграфа) означают относительный уровень занятия: 1 самый простой, 4 самый сложный.

При изучении полезно возвращаться к пройденному материалу, но на новом уровне. Поэтому разные пункты одного параграфа можно изучать не подряд, а с перерывами на другие темы.

Обозначения, используемые в разных главах книги, приведены в конце введения. Понятия и обозначения, используемые в некоторой главе, введены в начале главы.

Последняя глава составлена из заметок об общих принципах преподавания, адресованных прежде всего учителям. Возможно, заметки окажутся полезными и ученикам.

В конце книги есть предметный указатель. Жирным шрифтом выделены номера страниц, на которых приводятся формальные определения понятий.

О литературе и источниках В конце каждого параграфа приводится литература, относящаяся ко всему параграфу, и отдельно литература по каждому пункту. Мы старались указать не только литературу, использованную при подготовке конкретного материала, но также и жемчужины научно-популярного жанра по рассматриваемой теме. (АС: пока в 1-й главе этого не сделано, ибо кириллический bibitem не компилируется.) Однако в список литературы наверняка не вошли многие замечательные материалы, ввиду необъятности их количества. Важно, что обращение к литературе не нужно для решения задач, если явно не указано обратное.

Основу книги составляют материалы первого издания [Z], см. также [U]. При этом большинство материалов существенно переработано и добавлены новые. Многие материалы по комбинаторике, в том числе базовые, перемещены в [GDI]. Удалены разные задачи и материалы, перепечатанные из других источников. По последним приводятся ссылки.

Многие задачи не оригинальны, но первоисточник (даже если его можно установить) обычно не указывается. Однако если мы знали, что пересечение какого-то пункта с каким-то источником велико, то упоминали об этом.

Мы не даем ссылок на интернет-версии статей в журналах ‘Квант’ и ‘Мат. Просвещение’, их можно найти на http://kvant.ras.ru, http://kvant.mccme.ru, http://www.mccme.ru/free-books/matpros.html Напутствие. А.Я. Канель Для успешного решения задач математических олимпиад высшего уровня необходимы в первую очередь общеукрепляющие средства: хорошая проработка алгебры (культура алгебраических преобразований), проработка школьной геометрии. Задачи этих олимпиад (кроме первых задач) практически всегда используют смешанный сценарий решения; редки задачи на применение некоторого метода или идеи в чистом виде. Решению таких ‘смешанных’ задач должна предшествовать работа с ключевыми задачами, в которых идеи работают в чистом виде. См., например, литературу к п. 1 или настоящий сборник.

Благодарности и сведения об авторах Мы благодарим за серьезную работу авторов материалов. Благодарим за полезные замечания рецензентов книги А.А. Антропова, В.Н. Дубровского, Л. Э. Медникова, А.И. Сгибнева, Г.И. Шарыгина, а также анонимных рецензентов отдельных материалов. Благодарим А. Я. Канеля-Белова и А.В.

Шаповалова, авторов большого количества материалов, высказавших также ряд полезных идей и замечаний. Благодарим Д.А. Пермякова, редактора первого издания. Благодарим учеников за каверзные вопросы и указания на неточности. Благодарности по отдельным материалам приводятся прямо в них.

Мы приносим извинения за допущенные неточности и будем благодарны читателям за указания на них.

М.Б. Скопенков и А.Б. Скопенков частично поддержаны грантом фонда Саймонса.

Места работы и интернет-страницы: А.А. Заславский: ЦЭМИ РАН. А.Б. Скопенков: Московский физико-технический институт и Независимый Московский Университет, www.mccme.ru/~skopenko.

М.Б. Скопенков:.

Важные соглашения Пункты внутри каждого параграфа расположены примерно в порядке возрастания сложности материала. Первые пункты (не отмеченные звездочкой) являются базовыми; если не указано противное, с них можно начать изучение главы. А к остальным пунктам (отмеченным звездочкой) можно возвращаться потом; если не указано противное, то они независимы друг от друга. Цифры в скобках после названия пункта (или параграфа) означают относительный уровень занятия: 1 самый простой, 4 самый сложный.

Задачи обозначаются жирными цифрами. Если условие задачи является формулировкой утверждения, то в задаче требуется это утверждение доказать. Загадкой называется не сформулированный четко вопрос; здесь нужно придумать и четкую формулировку, и доказательство, ср. [VIN]. В задачах, отмеченных кружочком, требуется привести только ответ без доказательства. Наиболее трудные задачи отмечены звездочкой *. Если в условии задачи написано найдите, то нужно дать ответ без знака суммы и многоточия.

–  –  –

Литература [GDI] А.А. Глибичук, А.Б. Дайняк, Д.Г. Ильинский, А.Б. Купавский, А.М. Райгородский, А.Б. Скопенков, А.А. Чернов, Элементы дискретной математики в задачах, Изд-во МЦНМО, 2016. http://www.mccme.ru/circles/oim/di [GIF] С. А. Генкин, И. В. Итенберг и Д. В. Фомин, Ленинградские математические кружки, Киров, 1994.

[U] Неопубликованные материалы выездных школ команды Москвы на Всероссийскую олимпиаду (2004-2009).

http://www.mccme.ru/circles/oim/mat.htm [VIN] Виро О.Я., Иванов О.А., Нецветаев Н.Ю., Харламов В.М. Элементарная топология, М: МЦНМО, 2010.

[Z] Математика в задачах. Сборник материалов московских выездных математических школ. Под редакцией А. Заславского, Д. Пермякова, А. Скопенкова, М. Скопенкова и А. Шаповалова. Москва, МЦНМО, 2009.

http://www.mccme.ru/free-books/olymp/matprob.pdf К п. 1.

[KK] А. Я. Канель, А. К. Ковальджи, ‘Как решают нестандартные задачи’.

[KK15] А.К.Ковальджи, А.Я.Канель-Белов. Занятия по математике листки и диалог, МАТ. ПРОСВЕЩЕНИЕ, 19 (2015).

[Pl] Платон, Федон, в кн.: Федон, Пир, Федр, Парменид. Москва, Мысль, 1999.

[SC] Д.О. Шклярский, Н.Н. Ченцов, И.М. Яглом, Избранные задачи и теоремы элементарной математики, М, Физматлит, 2001.

[Sk09] А. Б. Скопенков, Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах, МЦНМО, Москва, 2009.

http://arxiv.org/abs/0801.1568 [Su] Д. Судзуки, Основы дзэн-буддизма. Наука дзэн ум дзэн. Киев: Преса Украiни. 1992.

Арнольд "От 5 до 15", все книги Пойа, Прасолов Звонкин "Малыши и математика", Васильев "Заочные математические олимпиады".

серия "Школьные математические кружки", редактируемая Блинковым и Шаповаловым.

Не к введению, но ко всей книге [GKP] Грэхем Р., Кнут Д., Паташник А. Конкретная математика. М.: Мир, 1998.

Часть I

АЛГЕБРА Часть II

ГЕОМЕТРИЯ

Как правило, параграфы и пункты этой главы можно изучать независимо друг от друга и от остальных материалов книги. В тех случаях, когда для решения задач какого-нибудь пункта желательно знакомство с другими материалами, это указывается в начале пункта. Если задачу можно решать разными методами, она приводится в пункте, посвященном одному из них, а о возможности других решений говорится в комментарии. Помимо обозначений, принятых во всей книге, в данной главе везде, где не оговорено обратное, используются принятые в геометрии обозначения элементов треугольника, описанные в начале параграфа "Треугольник".

ГЛАВА 1

ТРЕУГОЛЬНИК

Всюду в данной главе, кроме специально оговоренных случаев, используются обозначения: ABC данный треугольник, Ai, Bi, Ci, i = 1, 2,..., точки на сторонах BC, CA и AB соответственно (или на продолжениях этих сторон, если это оговорено в условии задачи); вписанная окружность, I ее центр, r ее радиус; описанная окружность, O ее центр, R ее радиус; G точка пересечения медиан (центр тяжести, центроид), H точка пересечения высот (ортоцентр). Проведем биссектрисы AI, BI, CI до пересечения с в точках A, B, C соответственно. Таким образом, A, B, C середины дуг AB, BC, CA. Ортотреугольник треугольник с вершинами в основаниях высот, серединный треугольник треугольник с вершинами в серединах сторон данного треугольника. Перпендикуляр, опущенный из точки A на BC, обозначается h(A, BC).

–  –  –

1. Теорема Карно. В точках A1, B1, C1, лежащих на сторонах треугольника ABC, или на их продолжениях, восставлены перпендикуляры к этим сторонам. Докажите, что они пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

–  –  –

2. Сформулируйте и докажите обобщенную теоремы Карно для произвольных точек плоскости A1, B1, C1, не обязательно лежащих на прямых, содержащих стороны треугольника ABC.

3. Пусть вневписанная окружность треугольника касается его стороны AB в точке C1 и касается продолжений двух других сторон. Аналогично определяются точки A1 и B1. Докажите, что перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках A1, B1, C1 пересекаются в одной точке.

4. На плоскости даны три пересекающиеся окружности. Докажите, что три их общие хорды пересекаются в одной точке.

Примечание. Это утверждение обычно доказывают,используя понятие степени точки (см. п.

"Радикальная ось" ). Однако, его легко вывести и из обобщенной теоремы Карно.

5. Пользуясь предыдущей задачей, получите еще одно доказательство теоремы о пересечении трех высот треугольника.

6. Охарактеризуйте все треугольники, у которых перпендикуляры к сторонам, восставленные в точках пересечения сторон с биссектрисами противоположных углов, пересекаются в одной точке.

7. На сторонах треугольника ABC построены прямоугольники ABB1 A1, BCC2 B2 и CAA2 C1.

Докажите, что серединные перпендикуляры к отрезкам A1 A2, B1 B2 и C1 C2 пересекаются в одной точке или параллельны.

8. Точки A1, B1, C1 середины сторон BC, AC, AB треугольника ABC соответственно. B2 основание перпендикуляра из точки B на A1 C1. Аналогично определены A2 и C2. Докажите, что h(C1, A2 B2 ), h(B1, A2 C2 ) и h(A1, B2 C2 ) пересекаются в одной точке.

9. Докажите, что h(A, B1 C1 ), h(B, A1 C1 ) и h(C, A1 B1 ) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда h(A1, BC), h(B1, AC) и h(C1, AB) пересекаются в одной точке.

10. Даны равносторонний треугольник ABC и точка D, не лежащая на прямых AB, AC, BC.

Пусть A1 центр вписанной окружности треугольника BCD. Аналогично определены точки B1 и C1.

Докажите, что прямые h(A, B1 C1 ), h(B, A1 C1 ) и h(C, A1 B1 ) пересекаются в одной точке.

11. На плоскости даны 2 различные точки A, B и числа,, R. Найдите геометрическое место таких точек X, что AX 2 + BX 2 =.

12. На плоскости даны точки A1,..., An и числа 1,..., n, c R. Рассмотрим такие точки X плоскости, что 1 A1 X 2 +... + n An X 2 = c.

Докажите, что их геометрическое место имеет один из следующих видов, и классифицируйте случаи:

окружность;

прямая;

точка;

все точки плоскости;

пустое множество.

13 В каком из следующих случаев перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в указанных точках, могут не пересекаться в одной точке?

а) A1, B1, C1 точки касания сторон с вписанной окружностью.

б) A2, B2, C2 точки касания сторон с соответствующими вневписанными окружностями.

в) A3, B3, C3 основания биссектрис треугольника.

Указания, ответы, решения

1. Пусть перпендикуляры, восставленые в точках A1 и B1, пересекаются в точке M. Применяя к прямоугольным треугольникам CM A1, BM A1, AM B1 и CM B1 теорему Пифагора, получаем, что B1 A2 B1 C 2 = M A2 M C 2. (Данный прием, когда разность квадратов наклонных заменяется на разность квадратов их проекций, называется принципом Карно.) Пусть теперь перпендикуляры к сторонам треугольника, восставленные в точках A1, B1, C1, пересекаются в точке M. Тогда, применив принцип Карно, получим требуемое равенство.

Обратно, пусть точки A1, B1, C1 таковы, что

C1 A2 C1 B 2 + A1 B 2 A1 C 2 + B1 C 2 B1 A2 = 0.

Обозначим через M точку пересечения перпендикуляров, восставленных из A1 и B1 к соответствующим сторонам, и опустим из M перпендикуляр M C на AB. Как показано выше, C A2 C B 2 + A1 B 2 A1 C 2 + B1 C 2 B = 0, следовательно, C совпадает с C1, ч. т. д.

3. Пусть a = BC, b = AC, c = AB, p = (a + b + c)/2 полупериметр треугольника. Тогда BC1 = = CB1 = p a, AC1 = CA1 = p b, AB1 = BA1 = p c, и утверждение задачи сразу следует из теоремы Карно.

5. Рассмотрите три окружности, построенные на сторонах треугольника как на диаметрах.

Центр вписанной окружности (9–10) В. Ю. Протасов Задачи этого раздела близки по тематике задачам разделов Прямая Эйлера, Ортоцентр, ортотреугольник и окружность девяти точек, Биссектрисы, высоты и описанная окружность.

1. Дан вписанный четырехугольник ABCD. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA, DAB являются вершинами прямоугольника.

2. Дан вписанный четырехугольник ABCD. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей треугольников ABC и CDA равна сумме радиусов вписанных окружностей треугольников BCD, DAB.

3. Через точку M внутри данного треугольника провели три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника.

а) Докажите, что M лежит на прямой, соединяющей центры вписанной и описанной окружностей треугольника.

б) Укажите способ построения такой точки M для данного треугольника.

2r R

в) Пусть x радиус данных окружностей. Докажите, что. Верно ли, что если одно из x неравенств обращается в равенство, то треугольник правильный?

г) Докажите неравенство Эйлера: R 2r. Для каких треугольников оно обращается в равенство?

4. Каждая из трех равных окружностей касается двух сторон треугольника, четвертая окружность того же радиуса касается этих трех окружностей.

а) Докажите, что центр четвертой окружности лежит на прямой, соединяющей центры вписанной и описанной окружностей треугольника.

б) Укажите способ построения таких окружностей для данного треугольника.

в) Выразите радиус данных окружностей через радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника.

5. Дан треугольник ABC. Точки A0, B0, C0 середины его сторон. Вписанная окружность касается стороны BC в точке A1, точка A2 симметрична A1 относительно биссектрисы угла A. Аналогично определяются точки B2 и C2. Докажите, что прямые A0 A2, B0 B2 и C0 C2 пересекаются в одной точке.

6. Величина угла AIB равна:

а) C; б) ( + C)/2; в) 2C.

Указания, ответы, решения

1. Напомним, что для любого треугольника ABC выполнено равенство AIB = 90 + ACB.

Поэтому если биссектриса угла C пересекает описанную окружность треугольника в точке C, то C IA = C AI = ( ABC)/2, и значит, C A = C I = C B. Пусть теперь Ia, Ib, Ic, Id центры вписанных окружностей треугольников BCD, CDA, DAB, ABC. Тогда точки A, B, Ic, Id лежат на одной окружности, следовательно, BId Ic = BAIc = BAD/2. Аналогично BId Ia = = BCD/2. Значит, Ia Id Ic = (BAD + BCD)/2 = /2.

3. a) Указание. Используйте гомотетию с центром в точке I.

Путь к решению (Н.Медведь) У нас есть произвольный треугольник ABC. Пусть Oa, Ob, Oc центры равных окружностей a, b и c,а I и O центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC. Проведем из центров окружностей радиусы в точки касания с треугольником ABC. Эти радиусы будут равны (окружности по условию равные) и радиусы, опущенные на одну и ту же сторону, будут параллельны (стороны треугольника будут для окружностей касательными).

Значит, соединив точки Oa, Ob, Oc и проведя из них радиусы в точки касания со сторонами треугольника, мы получим три прямоугольника. То есть треугольник ABC будет подобен треугольнику Oa Ob Oc по двум углам, причм стороны треугольника ABC будут параллельны соответствующим сторонам треугольника Oa Ob Oc. Далее заметим, что прямые AOa, BOb и COc пересекаются в точке I, как биссектрисы треугольника ABC (центры Oa, Ob и Oc касающихся сторон окружностей a, b и c лежат на биссектрисах соответственных углов A, B и C). Значит, существует гомотетия с центром I, переводящая треугольник ABC в треугольник Oa Ob Oc. При этой гомотетии точка O переходит в центр описанной окружности треугольника Oa Ob Oc, то есть в точку M (так как Oa M, Ob M, Oc M радиусы равных окружностей a, b и c). Поэтому, точки I, O и M лежат на одной прямой.

б) (Н.Медведь) Из решения пункта a) мы знаем, что искомая точка M является центром описанной окружности треугольника Oa Ob Oc, образованного центрами Oa, Ob и Oc трх равных окружностей a, b и c. То есть, для решения задачи достаточно построить треугольник Oa Ob Oc, и из этого легко найдется центр его описанной окружности - точка M.

Для начала заметим, что мы сможем построить радиус вписанной и описанной окружности треугольника ABC (проведм биссектрисы и соединим точку их пересечения с точкой касания в треугольнике этот отрезок будет радиус вписанной окружности треугольника ABC. Для описанной окружности проведем серединные перпендикуляры и соединим точку их пересечения с одной из вершин треугольника этот отрезок будет радиусом описанной окружности ABC.

rx x Из решения п.а) следует, что, где x радиус описанной окружности треугольника = R r Oa Ob Oc, а r и R " радиусы вписанной и описанной окружности треугольника ABC. Из этого Rr x R получаем, что x =, откуда =. Чтобы построить отрезок длины x, чертим произвольный R+r r R+r угол A1, на одной стороне которого отмечаем точку B1 (A1 B1 = R), на другой стороне точку C1 (A1 C1 = r) и D (C1 D = R). Далее, соединив точки B1 и D, мы получаем отрезок B1 D. Проводим параллельный ему отрезок из точки C1, который пересечет сторону угла A1 в точке F. Отрезок A1 F будет равен x.

Проводим три прямые, параллельные сторонам треугольника на расстоянии x от них. Точки их пересечения будут являться вершинами искомого треугольника Oa Ob Oc. После чего, строим в треугольнике Oa Ob Oc серединные перпендикуляры и точка их пересечения будет искомой точкой M.

в) Три треугольника, гомотетичные данному относительно его вершин с коэффициентом, имеют

–  –  –

Задачи этого раздела близки по тематике задачам разделов Центр вписанной окружности, Ортоцентр, ортотреугольник и окружность девяти точек, Биссектрисы, высоты и описанная окружность.

1. В любом треугольнике точки O, G и H лежат на одной прямой (прямой Эйлера), причем GH = = 2 · GO.

2. Докажите, что прямая Эйлера параллельна стороне AB тогда и только тогда, когда tg A · tg B = = 3.

3. Прямая Эйлера треугольника параллельна одной из его биссектрис. Докажите, что либо треугольник равнобедренный, либо один из его углов равен 120.

4. Пусть A = 120. Докажите, что OH = AB + AC.

5. Докажите, что три окружности, каждая из которых проходит через вершину треугольника, основание его высоты, опущенной из этой вершины, и касается радиуса описанной окружности, проведенного к данной вершине, пересекаются в двух точках, расположенных на прямой Эйлера треугольника.

6. Все углы треугольника ABC меньше 120, T его точка Торричелли (т. е. точка, для которой выполнено равенство AT B = BT C = CT A = 120 ).

а) Докажите, что прямая Эйлера треугольника AT B параллельна прямой CT.

Указание. Можно воспользоваться задачей 2.

б) Докажите, что прямые Эйлера треугольников AT B, BT C и CT A пересекаются в одной точке.

7. В вершинах остроугольного треугольника проведены касательные к его описанной окружности.

Докажите, что центр описанной окружности треугольника, образованного этими тремя касательными, лежит на прямой Эйлера исходного треугольника.

7. Прямая Эйлера неравнобедренного треугольника проходит через одну из его вершин. Чему равен угол в этой вершине?

а) 90 ; б) 120 ; в) 60 ; г) таких треугольников не существует.

Указания, ответы, решения

2. Угол C должен быть острым, так как в противном случае точки O и H лежат по разные стороны от AB. Так как расстояние от O до AB равно R cos C, а высота проведенная из вершины C, равна AC sin A = 2R sin A sin B, то параллельность прямой Эйлера и AB равносильна равенству 3 cos C = 2 sin A sin B. Учитывая, что cos C = cos(A + B) = sin A sin B cos A cos B, получаем утверждение задачи.

5. Из условия следует, что степени точки O относительно этих окружностей равны R2. Кроме того, если AA и BB высоты треугольника, то четырехугольник ABA B вписанный, и значит, HA · HA = HB · HB. Поэтому степени точки H относительно всех трех окружностей также равны, т. е. прямая OH является их общей радикальной осью.

Формула Карно (9–10) А. Д. Блинков

Формула Карно (по имени французского математика, физика и политического деятеля Лазаря Карно, 1753 - 1823) утверждает, что в остроугольном треугольнике сумма расстояний от центра описанной окружности до сторон треугольника равняется сумме радиусов описанной и вписанной окружностей, т.е. OM1 + OM2 + OM3 = R + r, где M1, M2, M3 середины BC, CA, AB соответственно.

Ее доказательство с помощью теоремы Птолемея приводится в п. "Теоремы Птолемея и Кези".

Здесь мы рассмотрим ее применения и еще один способ ее доказательства, в процессе которого будут получены другие важные факты.

1. Пусть биссектриса угла A пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке W, а точка D диаметрально противоположна точке W. Докажите, что

а) M1 W = (ra r)/2.

б) M1 D = (rb + rc )/2, где r, ra, rb, rc радиусы вписанной и вневписанных окружностей.

2. Докажите формулу Карно.

Рассмотрим теперь несколько задач на применение формулы Карно. Если явно не оговорено обратное, то треугольник, заданный в условии, остроугольный.

3. Докажите, что сумма расстояний от вершин треугольника до ортоцентра равна сумме диаметров его вписанной и описанной окружностей.

4. Докажите, что в треугольнике ABC выполняются неравенства:

а) AH + BH + CH 3R.

б) 3OH R 2r.

5. а) Докажите, что ma + mb + mc R, где ma, mb и mc длины медиан треугольника.

б) Пусть в треугольнике ABC биссектрисы углов A, B и C пересекают описанную окружность в точках W1, W2 и W3 соответственно. Докажите, что AW1 + BW2 + CW3 6, 5R r.

6. а) Докажите, что для углов треугольника выполняется неравенство:

3r cos A + cos B + cos C.

R

б) Пусть AH1, BH2 и CH3 высоты треугольника ABC. Выразите сумму диаметров окружностей, описанных около треугольников AH2 H3, BH1 H3 и CH1 H2 через R и r.

7. В окружность радиуса R вписан треугольник, а в каждый сегмент, ограниченный стороной треугольника и меньшей из дуг окружности, вписана окружность наибольшего возможного радиуса.

Найдите сумму диаметров трех получившихся окружностей и радиуса окружности, вписанной в треугольник.

8. а) Докажите, что в треугольнике ABC выполняется равенство

–  –  –

11. а) Докажите, что если точка принадлежит отрезку, соединяющему основания двух биссектрис треугольника, то сумма расстояний от этой точки до двух сторон треугольника равна расстоянию от нее до третьей стороны.

б) Пусть центр окружности, описанной около треугольника, лежит на отрезке, соединяющем основания двух биссектрис. Докажите, что расстояние от ортоцентра треугольника до одной из его вершин равно R + r.

Указания, ответы, решения.

1. а) Пусть точки I и Ia соответственно центры вписанной окружности и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, K и P точки касания этих окружностей с BC, L точка пересечения Ia P с прямой, проходящей через I и параллельной BC, Q середина IL. Так как W середина отрезка IIa (следствие из теоремы о трезубце, см. задачу 3 п. "Биссектрисы, высоты и вписанная окружность" ) и W M1 IK LIa, то W Q средняя линия треугольника ILIa. Следовательно, W Q = = Ia L/2 = (ra + r)/2, тогда M1 W = W Q r = (ra r)/2.

б) Если Ib, Ic центры вневписанных окружностей, а B0, C0 точки их касания с BC, то аналогично предыдущему пункту получаем, что DM1 средняя линия трапеции Ib B0 C0 Ic.

2. Из предыдущей задачи следует, что ra + rb + rc = r + 4R. Тогда

–  –  –

б) Из треугольника AW1 M1 имеем AW1 AM1 + W1 M1. Аналогично, BW BM2 + W2 M2 и CW3 AM3 + W3 M3. Следовательно, ma + mb + mc + W1 M1 + W2 M2 + W3 M3 = ma + mb + mc + 2R r 4, 5R + 2R r = 6, 5R r AW1 + BW2 + CW3 r

6. а) Из формулы Карно следует, что cos A + cos B + cos C = 1 +, откуда с учетом неравенства R R 2r получаем утверждение задачи.

б) Диаметрами указанных окружностей являются отрезки AH, BH и CH, поэтому, утверждение задачи следует из п.а) и задачи 3.

7. Ответ. 2R.

Окружность наибольшего радиуса, вписанная в сегмент, касается дуги сегмента в ее середине.

8. а) a(OM2 + OM3 ) + b(OM1 + OM3 ) + c(OM1 + OM2 ) = (a + b + c)(OM1 + OM2 + OM3 ) aOM1 bOM2 cO = 2pR + 2S 2S = 2pR.

б) Исходное неравенство равносильно неравенству 2S a(R + r). Так как a наименьшая сторона треугольника, то a(R + r) = (OM1 + OM2 + OM3 ) aOM1 + bOM2 + cOM3 = 2S, что и требовалось.

9. а) В прямоугольном треугольник расстояние от O до большей стороны равно нулю, а в тупоугольном

- берется со знаком минус.

б) Рассмотрим случай, когда центр O описанной окружности лежит внутри четырехугольника, остальные разбираются аналогично.

Так как четырехугольник ABCD вписанный, то для любой пары его противоположных углов справедливо, что один из них не тупой, а другой не острый. Пусть, например, B 90, D 90, тогда O лежит внутри треугольника ADC и вне треугольника ABC. Пусть M1, M2, M3 и M4 середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно, а M5 середина AC. По формуле Карно для треугольников ADC и ABC имеем OM3 + OM4 + OM5 = R + r2 и OM1 + OM2 OM5 = R + r1.

Следовательно, r1 + r2 = OM1 + OM2 + OM3 + OM4 2R.

Проведя аналогичное рассуждение для треугольников ABD и CBD, получим:

–  –  –

Задачи этого раздела близки по тематике задачам разделов Центр вписанной окружности, Прямая Эйлера, Биссектрисы, высоты и описанная окружность.

1. Внутри равностороннего треугольника ABC найти геометрическое место точек M, для которых M AB + M BC + M CA = 90.

2. Пусть a, b, c длины сторон остроугольного треугольника, u, v, w расстояния от соответствующих вершин до ортоцентра. Докажите, что avw + bwu + cuv = abc.

3. Дан остроугольный треугольник. Найдите для него все треугольные бильярды, т. е. все вписанные в него треугольники, обладающие следующим свойством: две стороны, выходящие из любой вершины вписанного треугольника образуют равные углы с соответствующей стороной данного треугольника.

4. Пусть A1 B1 C1 ортотреугольник треугольника ABC, A2, B2, C2 проекции вершин A, B, C на прямые B1 C1, C1 A1, A1 B1 соответственно. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из A2, B2, C2 на прямые BC, CA, AB соответственно, пересекаются в одной точке.

Указание. Воспользуйтесь принципом Карно.

5. Докажите, что точки, симметричные ортоцентру относительно сторон треугольника и относительно середин сторон треугольника, лежат на описанной окружности.

6. Докажите, что середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков, соединяющих вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности (окружность девяти точек).

R Радиус этой окружности равен, а центр находится в середине отрезка OH.

7. Длины сторон остроугольного треугольника умножили на косинусы противоположных углов.

Докажите, что из трех получившихся отрезков можно сложить треугольник. Чему равен радиус его описанной окружности, если радиус описанной окружности исходного треугольника равен R?

8. Теорема Тебо. Пусть ABC данный треугольник, A1 B1 C1 его ортотреугольник. Докажите, что прямые Эйлера треугольников AB1 C1, BC1 A1 и CB1 A1 пересекаются в одной точке, лежащей на окружности девяти точек треугольника ABC.

9. Дан четырехугольник ABCD. Докажите, что окружности девяти точек треугольников ABC, BCD, CDA, D пересекаются в одной точке.

10. Теорема Брахмагупты. Дан вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями.

Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и перпендикулярная одной из сторон, делит противоположную сторону пополам.

11. Дан четырехугольник с перпендикулярными диагоналями. Докажите, что восемь точек: середины сторон и проекции середин сторон на противоположные стороны лежат на одной окружности (окружность восьми точек четырехугольника).

12. Пусть AA, BB, CC высоты треугольника ABC. Тогда его ортоцентр H является

а) ортоцентром;

б) центром тяжести;

в) центром описанной окружности;

г) центром вписанной окружности треугольника A B C ?

–  –  –

8. Треугольник CB1 A1 является образом треугольника CAB при композиции гомотетии с центром C и симметрии относительно биссектрисы угла C. Поэтому угол между прямыми Эйлера треугольников AB1 C1 и BC1 A1 равен углу C. Кроме того, центрами окружностей, описанных около этих треугольников, являются середины отрезков HA и HB. Таким образом, отрезок между этими центрами виден из точки пересечения двух прямых Эйлера под углом C и, значит, эта точка лежит на окружности Эйлера. Тогда третья прямая пересекает окружность Эйлера в той же точке.

Несколько неравенств, связанных с треугольником (10–11) В. Ю. Протасов

1. а) Верно ли, что площадь ортотреугольника не превосходит площади серединного треугольника?

б) Тот же вопрос, но теперь известно, что треугольник остроугольный.

2. Биссектрисы углов треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A, B, C.

Докажите, что SAC BA CB 2SABC.

3. Найдите наименьшее, для которого верно следующее утверждение.

B угол A, равный, вписана окружность, касающаяся его сторон в точках B и C. Прямая, касающаяся окружности в некоторой точке M, пересекает отрезки AB и AC в точках P и Q соответственно.

Тогда SP AQ SBM C.

В задачах 4 – 7 мы обозначаем через a, b, c длины сторон данного треугольника, x, y, z расстояния от произвольной точки M внутри треугольника до его сторон, а u, v, w расстояния от нее до вершин треугольника.

4. Докажите, что для произвольной точки M, лежащей внутри треугольника, имеют место неравенства:

b c c b

а) u б) u y + z; y + z.

a a a a

5. Покажите, что внутри остроугольного треугольника найдется единственная точка M, для которой все три неравенства из пункта а) задачи 4 (для трех вершин треугольника) обращаются в равенства. Что это за точка? Тот же задание про три неравенства из пункта б).

6. Докажите, что для произвольной точки M, лежащей внутри треугольника, имеем u + v + w 2(x + y + z) (неравенство Эрдша). Для каких треугольников и каких точек M это неравенство обращается в равенство?

е

7. Докажите, что для произвольной точки M, лежащей внутри треугольника, имеем

–  –  –

8. Внутри треугольника ABC взята произвольная точка M. Докажите, что один из углов M AB, M BC, M C не превосходит 30. Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для четырехугольника.

–  –  –

откуда сразу следует искомое неравенство.

3. Докажите сначала, что треугольник BM C подобен треугольнику QIP, где I центр вписанной окружности треугольника P AQ. Кроме того, SQIP /SP AQ = P Q/p, где p периметр треугольника P AQ.

Полезен будет также тот факт, что p = 2AB.

4. а) Выразите двумя способами площадь невыпуклого четырехугольника со сторонами b, c, w, v.

б) Рассмотрите точку, симметричную точке M относительно соответствующей биссектрисы треугольника.

6. Сложите все 6 неравенств из задачи 4 для трех вершин треугольника и воспользуйтесь неравенством

–  –  –

Указания, ответы, решения

1. Имеем (см. рис. 1) AB C = ACC = BCC = BB C, т. е. AB C = IB C. Аналогично AC B = IC B.

2. Из задачи 1 следует, что точки A и I симметричны относительно B C. Отсюда AI B C.

Таким образом, на одной картинке можно изучать биссектрисы (треугольника ABC) и высоты (треугольника A B C ). Треугольник A B C может быть произвольным остроугольным (как подобрать соответствующий треугольник ABC?). Симметрия A и I относительно B C означает следующее важное свойство ортоцентра: точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно одной из его сторон, лежит на описанной окружности (см. задачу 5 п."Ортоцентр, ортотреугольник и окружность девяти точек" ).

3. Из задачи 1 следует, что B A = B I. Аналогично B C = B I.

–  –  –

4. а) Пусть (см. рис. 2) K = AB A C, L = BC A C, T = BI KL. Так как BI KL, то K и L симметричны относительно T. А посокльку B и I симметричны относительно T (задача 1), KBLI ромб и KI BC. Аналогично LI BC. (Отметим общий факт для любого вписанного шестиугольника ABCDEF : диагонали шестиугольника в пересечении треугольников ACE и BDF пересекаются в одной точке.)

б) Прямые BK и IK симметричны относительно A C. А так как BK касается окружности c, то тоже.

IK

5. Посчитаем площадь S шестиугольника AB CA BC двумя способами. С одной стороны,

–  –  –

8. Треугольники A B C и A B C симметричны относительно O (см. рис. 4). Значит, соответствующие стороны треугольников A B C, A B C и A1 B1 C1 параллельны (они перпендикулярны биссектрисам AA, BB, CC треугольника ABC). Таким образом, треугольники A B C, A B C и A1 B1 C1 гомотетичны.

9. Треугольники A B C и A1 B1 C1 гомотетичны, поэтому их прямые Эйлера (прямые, соединяющие ортоцентр и центр описанной окружности) параллельны или совпадают. Но IO прямая Эйлера треугольника A B C, а I центр описанной окружности треугольника A1 B1 C1, следовательно, прямые Эйлера обязаны совпадать.

Полувписанная окружность (9–10) П. А. Кожевников Пусть A и A середины дуг BC описанной окружности, соответственно не содержащей и содержащей точку A; B и B, C и C определяются аналогично.

Рассмотрим окружность SA (назовем ее полувписанной), касающуюся сторон AB, AC и окружности (внутренним образом). Основными в этой серии являются следующие факты:

-прямая, проходящая через точки касания полувписанной окружности со сторонами, содержит точку I;

-точка касания полувписанной окружности с окружностью лежит на прямой A I.

Основная серия-1 Докажите следующие утверждения.

1. Пусть перпендикуляр к биссектрисе AI, проведенный через точку I, пересекает AB и AC в точках K и L соответственно. Тогда окружности BKI, CLI и пересекаются в одной точке T.

2. Точки T, I, A лежат на одной прямой.

3. Точки T, K, C лежат на одной прямой.

4. Точки K, L и T являются точками касания окружности SA с прямыми AB, AC и окружностью.

5. а) CC касается окружности T BKI;

б) T центр поворотной гомотетии, переводящей треугольник BKI в треугольник ILC.

Основная серия-2

6. AT проходит через центр гомотетии с положительным коэффициентом, переводящей окружность в.

7. Пусть A1 и A2 точки касания вписанной и вневписанной окружности со стороной BC соответственно.

Тогда

а) AA биссектриса угла T AA2 ;

б) BT A1 = ABC. (задача 4.7.7 из [8].)

8. Пусть AT пересекает KL в точке Z. Тогда BZK = CZL. (задача 4.7.5 из [8].)

9. Прямые KL, T A и BC пересекаются в одной точке или параллельны. (И. Шарыгин, Соросовская олимпиада.)

10. Точка пересечения YA из предыдущей задачи и точки YB, YC, определенные аналогичным образом, лежат на одной прямой.

Дополнительные задачи-1 произвольная точка на дуге BA C.

11. Пусть P

а) Пусть Pb = BB P C, Pc = CC P B. Тогда окружность P Pb Pc проходит через T ; (см. задачу

8.8 с олимпиады им. И. Ф. Шарыгина 2013 г.)

б) Пусть Jb и Jc центры вписанных окружностей треугольников P AB и P AC. Тогда окружность P Jb Jc проходит через T ; (задача 4.7.9 из [8].)

в) Пусть касательные к из точки P пересекают BC в точках U1 и U2. Тогда окружность P U1 U2 проходит через T ; (задача 4.7.10 из [8].)

г) Пусть прямые, проходящие через I параллельно биссектрисам углов между прямыми AP и BC пересекают прямую BC в точках V1 и V2 Тогда окружность P V1 V2 проходит через T. (см. частный случай задачи 4.7.18 из [8].) Дополнительные задачи-2 Следующие задачи про обобщенные полувписанные окружности, т. е. окружности, касающиеся двух прямых и окружности.

12. Пусть D точка на стороне AC треугольника ABC, S1 окружность, касающаяся окружности внутренним образом в точке R, а также отрезков BD и AD в точках M и N соответственно.

Докажите, что

а) точки B, M, I, R лежат на одной окружности;

б) Лемма Саваямы. прямая M N проходит через центр I вписанной окружности треугольника ABC.

13. Пусть D точка на отрезке AC треугольника ABC; S1 окружность, касающаяся отрезков BD и AD, а также окружности внутренним образом; S2 окружность, касающаяся отрезков BD и CD, а также окружности внутренним образом.

а) Теорема Тебо. Докажите, что линия центров окружностей S1 и S2 проходит через I.

б) Докажите, что окружности S1 и S2 равны тогда и только тогда, когда D = B2.

14. Найдите аналоги предложенных задач для полувписанных и обобщенных полувписанных окружностей, касающихся внешним образом.

Указания, ответы, решения

–  –  –

= BT C.

4. Из предыдущей задачи и параллельности KL B C следует, что треугольники T KL и T C B гомотетичны, значит окружности T KL и касаются в точке T. Далее, при гомотетии прямая AB перейдет в прямую, параллельную AB и проходящую через C, то есть в касательную к, проведенную в точке C. Следовательно, AB касается окружности T KL в точке K.

5. а) Из счета углов KBI = KIC.

б) Поворотная гомотетия с центром T, переводящая окружность T BKI в окружность T CLI, переводит точку B в I, K в L, I в C.

6. Из гомотетии, переводящей треугольник T KL в треугольник T C B, ясно, что T A проходит через точку P пересечения касательных к, проведенных в точках B и C. Но гомотетия с положительным коэффициентом, переводящая в, точку A переводит в P.

Другое решение этой задачи можно получить, рассмотрев гомотетии с положительными коэффициентами, переводящим в SA, SA в, в, и применить теорему о трех гомотетиях.

7. а) Выполним инверсию с центром A и радиусом AB · AC, а затем симметрию относительно биссектрисы угла BAC. При таком преобразовании точки B и C меняются местами, прямая BC и окружность переходят друг в друга (см. рис. 2), поэтому окружность SA переходит во вневписанную окружность, и значит точка T переходит в точку A2.

Комментарий. Используя предыдущую задачу, можно получить следствие: центр гомотетии с положительным коэфициентом, переводящей в, и точка Нагеля изогонально сопряжены.

б) Пусть AA2 пересекает вторично в точке X (см. рис. 2). Из задачи а) следует, что дуги BX и CT равны. При симметрии относительно серединного перпендикуляра к BC точки X и A2 перейдут соответственно в точки T и A1, поэтому прямая T A1 пересекается вторично в точке, симметричной точке A относительно серединного перпендикуляра к BC.

Рис. 2

8. Достаточно доказать подобие BKZ CLZ (см. рис. 1). Из поворотной гомотетии (задача 5) BK/KT = IL/LT, IK/KT = CL/LT. Отсюда с учетом IK = IL получаем BK/CL = KT 2 /LT 2. Так как T A симедиана треугольника T KL, то ZK/ZL = KT 2 /LT 2. Поскольку BKZ = CLZ, отсюда следует нужное подобие.

9. Например, YA это радикальный центр (точка пересечения радикальных осей) окружностей, IBC и IT A (подсчет углов показывает, что две последние окружности касаются прямой KL).

Другое решение можно получить, рассмотрев точку W пересечения A T и A A. В треугольнике A A W точка I является ортоцентром, поэтому W I BC. Далее достаточно показать, что при гомотетии с центром A, переводящей A в I, прямая W I переходит в прямую BC.

Комментарий. Заметим, что утверждение задачи обобщается на случай произвольной окружности, проходящей через точки B и C (см. [6]).

10. YA радикальный центр окружностей, IBC и I (точка I рассматривается как окружность нулевого радиуса). Следовательно YA лежит на радикальной оси окружностей и I. На той же радикальной оси лежат точки YB и YC.

11. а), б) Можно показать, что при поворотной гомотетии из задачи 5 точки Pb и Jb переходят соответственно в точки Pc и Jc.

Геометрические решения пунктов в) и г) можно найти, например, в [5].

12. Меры дуг RN и RB окружностей S1 и равны (из гомотетии с центром B ), поэтому ARB = ACB = CAB (см. рис. 3). Треугольники B AR и B N A подобны, откуда B N · B R = = B A2. Так как B I = B A (лемма о трезубце), то B N · B R = B I 2 и треугольники B IR и B N I подобны, следовательно, RN I = RIB.

B B B

–  –  –

Рис. 3 Пусть M вторая точка пересечения N I с S1. Снова воспользовавшись равенством дуг RN и RB окружностей S1 и, получим RM N = RBB. Из этого равенства следует, что точки B, M, I, R лежат на одной окружности, отсюда RIB = RM B.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 13 |
 

Похожие работы:

«ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РАСПОРЯЖЕНИЕ от 11 июня 2013 г. № 962-р МОСКВА 1. Утвердить прилагаемые: Стратегию развития индустрии детских товаров на период до 2020 года; план первоочередных мероприятий на 2013 2015 годы по реализации Стратегии развития индустрии детских товаров на период до 2020 года. 2. Федеральным органам исполнительной власти обеспечить выполнение плана, утвержденного настоящим распоряжением. Председатель Правительства Российской Федерации Д.Медведев УТВЕРЖДЕНА...»

«ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО НАДЗОРУ В СФЕРЕ ЗАЩИТЫ ПРАВ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ И БЛАГОПОЛУЧИЯ ЧЕЛОВЕКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ КАЗЁННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЗДРАВООХРАНЕНИЯ «РОСТОВСКИЙ-НА-ДОНУ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОТИВОЧУМНЫЙ ИНСТИТУТ» ХОЛЕРА и патогенные для человека вибрионы материалы совещания специалистов Роспотребнадзора по вопросам совершенствования эпидемиологического надзора за холерой (4-5 июня 2014 г.) Выпуск № 2 Ростов-на-Дону 2014 г. ПОСВЯЩАЕТСЯ 80-ЛЕТИЮ РОСТОВСКОГО-НА-ДОНУ...»

«КОМИТЕТ ГРАЖДАНСКИХ ИНИЦИАТИВ Аналитический доклад № 3 по долгосрочному наблюдению выборов 13.09.201 Основные тенденции выдвижения кандидатов и партийных списков Данный доклад № 3 подготовлен в рамках мониторинга избирательной кампании по региональным и местным выборам, назначенным на 13 сентября 2015 года, экспертами Комитета гражданских инициатив (КГИ) и посвящен аналитическому обзору основных тенденций данной избирательной кампании по итогам этапа выдвижения кандидатов и партийных списков....»

«В.И.Саускан Годы жизни: воспоминания и размышления. АтлантНИРО. 1958-1993 гг Автор на РТ «Муксун», 1959 г. Правительство Калинингр. области. Калиннингр. Обл. Дума. Госдума РФ. 1993-1996 гг 1999-2003 гг. 2001-2003 гг БФУ им. И.Канта 1996-2014 гг КГТУ 1980-2014 гг Проф. А.Н.Пробатов Проф. П.А. Моисеев Первый губернатор К.о. СРТ-129. Проф. Ю.С. Маточкин Калининград КГТУ 2015 Моей любимой жене и спутнице по жизни Тиночке, любимым детям – Леночке и Андрюше, любимым внукам Денисику и Дашеньке,...»

«Департамент образования Администрации Кстовского муниципального района Муниципальное бюджетное образовательное учреждение Запрудновская средняя общеобразовательная школа ПУБЛИЧНЫЙ ДОКЛАД ДИРЕКТОРА ШКОЛЫ Носовой Т.В. (2012-2013 учебный год) Нижний Новгород 2012-2013 Современная школа постепенно преодолевает существовавшее длительное время отчуждение от общества. Всё более значимым фактором конкурентоспособности образовательного учреждения становится развитая система связей и отношений с социумом...»

«Федеральная служба по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека Управление Федеральной службы по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека по Самарской области Федеральное бюджетное учреждение здравоохранения «Центр гигиены и эпидемиологии в Самарской области» ДОКЛАД О состоянии санитарноэпидемиологического благополучия населения в Самарской области в 2013 году г. Самара 2014 год ДОКЛАД «О состоянии санитарно-эпидемиологического благополучия в...»

«Государственный доклад «О состоянии санитарно-эпидемиологического благополучия населения в Российской Федерации в 2011 году» ББК 51.1(2Рос)1 О11 О11 О состоянии санитарно-эпидемиологического благополучия населения в Российской Федерации в 2011 году: Государственный доклад.—М.: Федеральный центр гигиены и эпидемиологии Роспотребнадзора, 2012. —316 с. ББК 51.1(2Рос)1 Формат 208290 Подписано в печать 00.09.12 Печ. л. 39, Заказ Тираж 400 экз. Федеральная служба по надзору в сфере защиты прав...»

«КОНТРОЛЬНО-СЧЕТНАЯ ПАЛАТА ИРКУТСКОЙ ОБЛАСТИ ЗАКЛЮЧЕНИЕ по результатам экспертизы проекта закона Иркутской области «О внесении изменений в Закон Иркутской области «Об областном бюджете на 2013 и на плановый период 2014 и 2015 годов» 16 апреля 2013 года № 01/12-э г. Иркутск экз.1 Рассмотрено на коллегии 12 апреля 2013 года № 3(185)/1-КСП утверждено распоряжением КСП Иркутской области от 16 апреля 2013 № 45-р В соответствии с поручением Законодательного Собрания Иркутской области от 04.04.2013 №...»

«План работы библиотеки МОУ ООШ № 99 г. Сочи имени Героя России Д.Д. Тормахова на 2014-2015 учебный год г. Сочи Анализ итогов работы библиотеки (отчет) за 20132014 учебный год 1. Общие сведения (контрольные показатели отчета) В 2013-2014 учебном году в школе был 21 комплект-класс (578 учащихся: начальная школа 343; среднее звено – 235). Из них читателей библиотеки – 488 (в 2012-2013 уч. г. – 485) учителей др.сотрудники 1-е 2-е 3-е 4-е 5-е 6-е 7-е 8-й 9-е класс класс класс класс класс класс класс...»

«Белгородская государственная универсальная научная библиотека Белгородская государственная детская библиотека А. А. Лиханова Белгородская государственная специальная библиотекадля слепых им. В. Я. Ерошенко МУНИЦИПАЛЬНЫЕ БИБЛИОТЕКИ БЕЛГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ В 2014 ГОДУ Аналитический обзор Белгород, 2015 ББК 78.34 (2) 751.3 М 90 Главный редактор Н. П. Рожкова Ответственный за выпуск С. А. Бражникова Редактор-составитель И. А. Егорова М 90 Муниципальные библиотеки Белгородской области в 2014 году :...»

«Из постановления Коллегии Счетной палаты Российской Федерации от 20 апреля 2001 года № 17 (253) “О результатах проверки целевого использования средств займа МБРР RU-4183 “Инновационный проект развития образования” в Национальном фонде подготовки финансовых и управленческих кадров”: С учетом обсуждения утвердить отчет о результатах проверки. Направить представления Счетной палаты Российской Федерации Минфину России, Минобразования России, Национальному фонду подготовки финансовых и...»

«Некоммерческое партнерство «Национальное научное общество инфекционистов» КЛИНИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ГРИПП У ВЗРОСЛЫХ Утверждены решением Пленума правления Национального научного общества инфекционистов 30 октября 2014 года «Грипп у взрослых: диагностика, лечение, специфическая и неспецифическая профилактика» Рассмотрены и рекомендованы к утверждению Профильной комиссией Минздрава России по специальности «инфекционные болезни» на заседании 25 марта 2014 года и 8 октября 2014 года Члены Профильной...»

«РЕГИОНАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО ТАРИФАМ КИРОВСКОЙ ОБЛАСТИ ПРОТОКОЛ заседания правления региональной службы по тарифам Кировской области № 32 28.08.20 г. Киров Беляева Н.В.Председательствующий: Вычегжанин А.В. Члены правлеПетухова Г.И. ния: Кривошеина Т.Н. Мальков Н.В. отпуск Отсутствовали: Юдинцева Н.Г. отпуск Троян Г.В. период временной нетрудоспособности Никонова М.Л. период временной нетрудоспособности Владимиров Д.Ю. представлено письменное мнение от 28.08.2015 Трегубова Т.А. Секретарь: Обухов А.С.,...»

«XVI Международный форум «Пищевые ингредиенты XXI века»СЕССИЯ «ЗДОРОВОЕ ПИТАНИЕ: НАСТОЯЩЕЕ И БУДУЩЕЕ» Российское и международное законодательство в области продуктов здорового питания (обогащенные, функциональные, специализированные пищевые продукты) д.т.н., проф. А.А. Кочеткова ФГБНУ «НИИ питания» 18 марта 2015 Здоровое питание – питание, удовлетворяющее потребности организма в энергии и пищевых веществах и способствующее профилактике хронических неинфекционных заболеваний, сохранению здоровья...»

«Т УАЛЬНОЙ СОБСТВ ЕЛЛЕК ЕНН ИНТ ОСТ ПО И АЛ И ЕР АТ ЙМ НЫ ЕБ УЧ Дорогой читатель! Данный учебный материал составлен с целью дать представление о мире интеллектуальной собственности, который приобретает всё большее значение. Здесь вы найдёте всё необходимое, чтобы понять эту на первый взгляд сложную сферу. Для большей точности в данном учебнике собраны также параграфы законов, регулирующие сферу. Но со временем законы меняются. Поэтому перед принятием наиболее важных решений стоит обратить более...»

«ДЕП АРТАМ ЕН Т ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА М О СКВЫ Ю ГО-ВОСТОЧНОЕ ОКРУЖНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ПРИКАЗ г. М осква от № lo w О / Р 0 W S /f t / Об организации и проведении 5-дневных учебных сборов с граж данам и, обучающимися в государственных образовательных организациях ЮгоВосточного окружного управления образования Департамента образования города Москвы, проходящими подготовку по основам военной службы. В соответстви и с требованиям и Ф едерального закона от 28.03.19 № 53-Ф З (ред. от 21.07.2014)...»

«ЕЖЕКВАРТАЛЬНЫЙ ОТЧЕТ открытого акционерного общества «Силовые машины ЗТЛ, ЛМЗ, Электросила, Энергомашэкспорт» Код эмитента: 35909-Н за 2 квартал 2005 года Место нахождения эмитента: г. Санкт-Петербург, ул. Ватутина, д. 3, Лит. А Информация, содержащаяся в настоящем ежеквартальном отчете, подлежит раскрытию в соответствии с законодательством Российской Федерации о ценных бумагах Зам. Генерального директора по стратегии и корпоративным вопросам (на основании доверенности № Ю-14 от...»

«ИСПОЛНИТЕЛЬНЫЙ КОМИТЕТ СОДРУЖЕСТВА НЕЗАВИСИМЫХ ГОСУДАРСТВ Информационно-аналитический департамент РАЗВИТИЕ И ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ СОДРУЖЕСТВА НЕЗАВИСИМЫХ ГОСУДАРСТВ В 2014 году (сборник информационно-аналитических материалов, выпуск № 3) Минск, 2015 Под общей редакцией первого заместителя Председателя Исполнительного комитета – Исполнительного секретаря СНГ В. Г. Гаркуна Редакционная коллегия: А. К. Заварзин (главный редактор), А. Ю. Чеботарев, С. И. Мукашев, О. А. Капустина, О. Н. Кастюк. Компьютерная...»

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Белгородский государственный университет» (БелГУ) ГЕОЛОГО-ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра географии и геоэкологии УЧЕБНЫЙ ПРОЕКТ: ОЦЕНКА ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ ОПАСНОСТИ ЛГОКа И АЛЬТЕРНАТИВНЫХ СПОСОБОВ ПРОИЗВОДСТВА И ТЕХНОЛОГИИ ДЛЯ ЧЕЛОВЕКА И ЛАНДШАФТА НА ОСНОВЕ ДЕЙСТВУЮЩИХ НОРМАТИВОВ Выполнила: магистрант 2 года обучения направления «Геоэкология» Уколова Елена Викторовна Руководитель: к.г.н., доц....»

«CCAMLR-XXX КОМИССИЯ ПО СОХРАНЕНИЮ МОРСКИХ ЖИВЫХ РЕСУРСОВ АНТАРКТИКИ ОТЧЕТ ТРИДЦАТОГО СОВЕЩАНИЯ КОМИССИИ ХОБАРТ, АВСТРАЛИЯ 24 ОКТЯБРЯ – 4 НОЯБРЯ 2011 г.CCAMLR PO Box 2 North Hobart 700 Tasmania AUSTRALIA _ Телефон: 61 3 6210 1 Телефакс: 61 3 6224 8 Председатель Комиссии Email: ccamlr@ccamlr.org Веб-сайт: ноябрь 2011 г. www.ccamlr.org Настоящий документ выпускается на официальных языках Комиссии: английском, испанском, русском и французском. Дополнительные экземпляры можно получить в...»








 
2016 www.nauka.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.