WWW.NAUKA.X-PDF.RU
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, издания, публикации
 


Pages:   || 2 |

«Кружок Математика, обратная сторона. Второй год обучения. 2009-2010 учебный год. Теория чисел 2. 1. Докажите, что количество делителей точного квадрата есть ...»

-- [ Страница 1 ] --

Кружок "Математика, обратная сторона". Второй год обучения.

2009-2010 учебный год.

http://www.kazan-math.info/

Теория чисел 2.

1. Докажите, что количество делителей точного квадрата есть нечетное число. А у всех остальных

чисел четное число.

2. На столе лежат карточки с числами 1, 2,..., 100. Сначала переворачивают каждую первую

карточку, потом каждую вторую, потом каждую третью и т.д. Сколько карточек будут лежать не

так же, как вначале?

3. Сколько делителей у числа pn, где p – простое число, а n – натуральное?

4. Найдите количество делителей числа pn · q m, где p, q – простые числа, а n, m – натуральные.

5. Найдите количество делителей у числа n = p1 · p2 ·... · pk 1 2 k Определение. Пусть дано натуральное число m. Будем говорить, что остаток a обратный к остатку b (а b является обратным к a) по модулю m если a · b 1 (mod m).

6. Найдите все пары обратных остатков по модулю 5,7,11,6,9.

7. Пусть дано простое число p и его вычет (вычет=остаток) a. Докажите, что числа a, 2a, 3a,..., (p 1)a дают различные остатки при делении на p. Докажите, что там есть все вычеты при делении на p кроме нулевого.

8. Докажите, что для любого простого числа p почти все остатки разбиваются на пары обратных.

9. Докажите, что для любого простого числа p (p 1)! 1 (mod p).

10. Докажите, что если (p 1)! 1 (mod p), то p – простое.

11. Пусть p – простое число, большее 5. Доказать, что число (p 1)! + 1 не может быть степенью числа p.

12. Пусть p – простое. Докажите, что (2p 1)! p делится на p2.

13. Найти все натуральные n, при которых число (n 1)! не делится на n2.

Кружок "Математика, обратная сторона". Второй год обучения.

2009-2010 учебный год.

http://www.kazan-math.info/ И поэтому я не ношу часов...

1. Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?

2. Найдите угол между часовой и минутной стрелками а) в 9 часов 15 минут; б) в 14 часов 12 минут?

3. Когда угол между часовой и минутной стрелками часов больше а) в 13:45 или в 22:15; б) в 13:43 или в 22:17; в) через t минут после полудня или за t минут до полуночи?

4. Вася измерил транспортиром и записал в тетрадку углы между часовой и минутной стрелками сначала в 8:20, а потом в 9:25. После этого Петя забрал свой транспортир. Помогите Васе найти углы между стрелками в 10:30 и 11:35.

5. Сколько раз с 12:00 до 23:59 совпадают минутная и часовая стрелки часов?

6. На часах полдень. Когда часовая и минутная стрелки совпадут в следующий раз?

7. Укажите хотя бы один момент времени, отличный от 6:00 и 18:00, когда часовая и минутная стрелки правильно идущих часов направлены в противоположные стороны.

8. Когда Петя начал решать эту задачу, он заметил, что часовая и минутная стрелки его часов образуют прямой угол. Пока он решал ее, угол все время был тупым, а в тот момент, когда Петя закончил решение, угол снова стал прямым. Сколько времени Петя решал эту задачу?

9. Петя проснулся в восьмом часу утра и заметил, что часовая стрелка его будильника делит пополам угол между минутной стрелкой и стрелкой звонка, показывающей на цифру 8. Через какое время должен прозвенеть будильник?

Кружок "Математика, обратная сторона". Второй год обучения.

2009-2010 учебный год.

http://www.kazan-math.info/

–  –  –

Конечное и бесконечное.

1. Конечно или бесконечно множество натуральных чисел с суммой цифр 21?

2. Докажите, что если прямая на координатной плоскости проходит через две точки с целыми координатами, то ей принадлежит бесконечно много точек с целыми координатами.

3. а) Может ли шахматный король обойти все клетки бесконечной шахматной доски, побывав на каждой клетке ровно по одному разу? б) Можно ли занумеровать натуральными числами все точки плоскости, у которых обе координаты целые? в) Можно ли занумеровать натуральными числами все рациональные числа?

4. Докажите, что наименьший делитель числа N = n! + 1 - простое число, большее n.

5. Докажите, что простых чисел бесконечно много. Сделайте это двумя способами: рассуждая "от противного"и конструктивно.

6. Докажите, что найдется 2009 последовательных составных натуральных чисел.

7. Натуральные числа раскрашены в красный и синий цвета, причем чисел каждого цвета бесконечно много. а) Докажите, что найдутся четыре различных числа - два красных и два синих, так что сумма красных чисел равна сумме синих. б) Останется ли утверждение верным, если раскрасить все целые числа?

8. Докажите, что длина диагонали квадрата со стороной 1 не выражается рациональным числом.

9. Две шайки гангстеров охотятся друг на друга. Каждый гангстер охотится ровно за одним противником, и за каждым гангстером охотится не более одного противника. Главарь одной из шаек обнаружил, что не за всеми противниками охотятся. Докажите, что обе шайки бесконечны.

10. Бесконечно много гангстеров охотятся друг на друга так, что каждый охотится не более чем за одним другим. Докажите, что можно выбрать из них бесконечную банду в которой никто ни за кем не охотится.

11. Докажите, что из любых 11 бесконечных десятичных дробей можно выбрать две, совпадающие в бесконечном числе разрядов.

12. Можно ли расположить внутри квадрата несамопересекающуюся ломаную а) с бесконечным числом звеньев; б) бесконечной длины?

13. а) Есть бесконечно много квадратов площади 1. Верно ли, что ими можно накрыть любой прямоугольник? б) Тот же вопрос, если квадраты не обязательно площади 1.

Кружок "Математика, обратная сторона". Второй год обучения.

2009-2010 учебный год.

http://www.kazan-math.info/ Теория чисел 4. Взаимно-простые числа.

Определение. НОД наибольший общий делитель.

НОК наименьшее обшее кратное.

Натуральные числа называются взаимно простыми, если их НОД равен 1. Иными словами у этих чисел нет ни одного общего делителя.

В задачах нужно использовать разложение на простые множители.

1. Числа a и b взаимно просты, ac делится на b. Докажите, что c делится на b.

2. Числа a и b взаимно просты, c делится на a, c делится на b. Докажите, что c делится на ab.

3. Докажите, что НОД двух чисел делится на произвольный общий делитель этих чисел.

4. Числа a и b взаимно просты. Докажите, что для любого натурального c. Докажите, что НОД(a, bc) = НОД(a, c) Указание. Докажите, что наборы общих делителей совпадают.

5. Докажите, что любое натуральное число представляется в виде отношения 99-ой степени некоторого натурального числа и 19-ой степени некоторого натурального числа.

6. Фальшивомонетчик Вова взял два взаимно простых числа m и n и нарисовал кучу купюр достоинством в m и n рублей. Докажите, что он сможет без сдачи набрать ими любую сумму начиная с mn рублей.

Кружок "Математика, обратная сторона". Второй год обучения.

2009-2010 учебный год.

http://www.kazan-math.info/ Разнобой 1. По мотивам турниров.

1. Тришка отрезал от кафтана квадратный кусок, разрезал его на девять треугольных заплат и сложил их в три кучки по три заплаты. Могло ли оказаться так, что любые две заплаты из одной кучки равны друг другу, а из разных кучек - не равны?

2. Все целые числа от 1 до 2000 записали в следующем порядке: сперва записали в порядке возрастания все числа, сумма цифр которых равна 1. Затем - все числа с суммой цифр 2 (также в порядке возрастания), потом – все числа с суммой цифр 3 (также в порядке возрастания) и т.д. На каком месте оказалось число 1997?

3. Сложим все числа, которые получаются из некоторого натурального числа вычеркиванием какой-либо его цифры (слагаемых будет столько, сколько цифр в этом числе). Может ли полученная сумма оказаться равной 1997?

4. Прямоугольный параллелепипед 1 1 2 перекатывают (через ребра) по клетчатой доске

19 97. Можно ли прокатить его так, чтобы каждую клетку доски параллелепипед покрыл ровно один раз?

5. На доске 44 расставляются шестнадцать шахматных коней четырех мастей - четыре вороных, четыре соловых, четыре гнедых и четыре каурых. Существует ли такая расстановка коней, в которой вороные не бьют соловых, соловые - гнедых, гнедые - каурых, а каурые - вороных?

6. За круглым столом сидят 100 человек. Каждый из них либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Каждый сделал такое заявление: "Мой правый сосед и двое сидящих сразу за ним - лжецы".

Сколько за столом лжецов?

7. Из одной точки проведены N лучей. Они разбивают плоскость на N углов. Если из этих углов взять любые 100, идущие подряд, то сумма их величин будет больше 18, а если любые 111, идущие подряд, то сумма их величин будет меньше 20. Чему может равняться число N ? Перечислите все возможности и объясните, почему других возможностей нет.

8. Имеются две палочки. Разрешается прикладывать их друг к другу и делать отметки на любой из них. Как, используя только эти две операции, узнать, что больше: 3/4 длины первой палочки или 2/3 длины второй палочки?

9. Быстрым конем называется фигура, один ход которой выглядит как два хода обыкновенного коня, сделанные подряд. Какое наименьшее число быстрых коней нужно расположить на доске 77, чтобы они били все ее клетки?

Кружок "Математика, обратная сторона". Второй год обучения.

2009-2010 учебный год.

http://www.kazan-math.info/ Геометрия 1. Признаки равенства треугольников.

1. На биссектрисе угла В треугольника АВС отмечены точки Е и F такие, что AB=BE и СB=BF.

Докажите, что AF=CE.

2. В M -образной ломаной ABCDE AB = BC = CD = DE, ABC = CDE, точка M середина BD. Докажите, что M A = M E.

3. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника опущенная на гипотенузу равна ее половине.

4. Дан треугольник ABC такой, что C = 60. Пусть AA1 и BB1 высоты и C1 середина стороны AB этого треугольника. Докажите, что треугольник A1 B1 C1 правильный.

5. Найдите сумму углов при вершинах пятиконечной звезды.

6. Дан прямоугольник ABCD такой, что AB = 1 и BC = 3. На стороне BC отмечены точки E и F такие, что BE = EF = F C = 1. Найдите EAD + F AD + CAD.

7. Треугольники ABC и A1 B1 C1 таковы, что AB = A1 B1, BC = B1 C1 и A = A1. Докажите, что либо эти треугольники равны, либо C + C1 = 180.

биссектриса неравнобедренного треугольника ABC с углом B = 48. Из точПусть BB1 ки O, лежащей на луче BB1, опустили перпендикуляр OH на сторону AC. Оказалось, что AH = HC.

Найдите угол OAC.

9. На прямой в указанном порядке отмечены точки A, B, C и D такие, что AB = CD. По одну сторону от этой прямой построены равносторонние треугольники ABX, BCY и CDZ. Оказалось, что XY = Y Z. Найдите углы треугольника XY Z.

Кружок "Математика, обратная сторона". Второй год обучения.

2009-2010 учебный год.

http://www.kazan-math.info/ Козы и другие животные.

Наше занятие будет посвящено козам. Эти животные очень прожорливы и съедают все, до чего могут дотянуться. Поэтому коз приходится держать на привязи.

1. Какой участок выест коза, если ее привязать веревкой к одиноко стоящему колышку?

2. На лугу в точки A и B выбьем колышки и натянем между ними веревку. У второй веревки один конец закрепим на "ошейнике"козы, а на другом сделаем петлю, которая будет скользить по первой веревке. Какую фигуру выест коза теперь?

3. а) Как, используя несколько колышков и веревок, "ограничить"козу прямоугольником?

б) А как квадратом?

4. Попробуйте ограничить козу параллелограммом. А потом – треугольником.

5. "Выдайте"козе во владение правильный шестиугольник. Каким наименьшим числом колышков вам удастся обойтись?

6. Как действовать, чтобы "ограничить"козу заданным прямоугольником?

7. Как заставить козу съесть сектор, используя не более а) семи; б) пяти колышков?

8. Какой участок съест коза, если ее привязать к проволочному контору в форме креста?

Давайте, чтобы было немного веселее, введем в действие еще один персонаж – собаку. Ее мы тоже будем привязывать к колышкам (или проволочным контурам), а она будет мешать козе есть.

9. Как одной собакой удержать козу в кольце?

10. Как одной собакой удержать непривязанную козу в полукруге?

11. Как с помощью двух собак удержать козу в кресте или полумесяце?

12. Подумайте, как действовать, чтобы "ограничить"непривязанную козу с помощью собак заданным многоугольником (не обязательно выпуклым)?

Кружок "Математика, обратная сторона". Второй год обучения.

2009-2010 учебный год.

http://www.kazan-math.info/ Геометрия – 2. Геометрические неравенства.

1. Докажите, что из двух наклонных короче та, которая лежит ближе к перпендикуляру.

Намек. Воспользуйтесь например теоремой Пифагора.

2. Докажите, что в треугольнике а) против большей стороны лежит больший угол; б) против большего угла лежит большая сторона.

3. а) Докажите, что сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны (неравенство треугольника).

б) Докажите, что в треугольнике длина любой стороны больше разности длин двух других сторон.

Стандартные обозначения в треугольнике:

a, b, c – стороны треугольника;

P, p – соответственно периметр и полупериметр треугольника;

ma, mb, mc – медианы треугольника.

Утверждение. Для того чтобы треугольник с заданными сторонами существовал необходимо и достаточно, чтобы сумма двух его меньших сторон была больше третьей стороны (самой большой).

4. Пусть a = 3, 8; b = 0, 6. Известно, что c – целое число. Найдите c.

5. Докажите, что в выпуклом четырехугольнике сумма диагоналей больше полупериметра.

6. От туалета до столовой 230 метров, от туалета до третьего корпуса 30 метров, от третьего корпуса до волейбольного поля 40 метров, от волейбольного поля до столовой 160 метров. Каково расстояние от третьего корпуса до столовой?

7. В стране 4 города: A, B, C и D. Два самол та одновременно вылетели из города A. Маршрут первого: A B D C A D B C A, а маршрут второго: A B C D A B C D A B C D A. Какой из самол тов раньше закончит свой маршрут, если их скорости одинаковы?

8. Дан квадрат ABCD и произвольная точка O. Докажите, что OA OB + OC + OD.

9. Докажите, что a p, т.е. длина любой стороны треугольника меньше его полупериметра.

10. Четыре дома расположены в вершинах выпуклого четырехугольника. Где нужно построить колодец, чтобы сумма расстояний от него до всех домов была наименьшей. (А есть ли такая точка в невыпуклом четырехугольнике?)

11. В выпуклом четырехугольнике ABCD угол A равен углу B, а угол D больше угла C. Докажите, что BC AD.

12. Докажите, что a+bc mc a+b.

–  –  –

в) Докажите, что сумма 1 + 2 + 1 +... + n при достаточно больших n может принимать сколь угодно большие значения.

3. За два года работы в парламенте каждый из 100 депутатов подрался по крайней мере с 67 другими. Докажите, что можно составить комиссию из 4 депутатов, в которой любые двое уже подрались.

4. В вершинах куба стоят семь нулей и одна единица. Разрешается прибавлять по 1 к двум числам на концах ребра. Можно ли сделать все числа кратными 3?

5. 100 точек делят окружность на 100 равных частей. 10 из этих точек покрасили в красный, а 10 других в синий цвет. Докажите, что найдется отрезок с синими концами, равный какому-либо отрезку с красными концами.

6. a) Имеется 32 попарно различных по весу камня. Как за 35 взвешиваний на чашечных весах без гирь определить самый тяжелый и второй по весу камни? б) Имеется 100 попарно различных по весу камня. Как за 105 взвешиваний на чашечных весах без гирь определить самый тяжелый и второй по весу камни?

k.

7. Пусть p – простое. При 0 k p докажите, что Cp..p а) алгебраическим; б) комбинаторным способом, не используя формулу.

–  –  –

Графы 2. Связность.

1. Степень каждой вершины связного графа не менее 100. Одно ребро выкинули. Может ли получиться несвязный граф?

2. Докажите, что связный граф, в котором степень каждой вершины ч тна при удалении любого ребра остается связным.

3. При каких n граф коня на доске n n не является связным?

4. В стране любые два города соединены или железной дорогой, или авиалинией. Доказать, что один из видов транспорта позволяет добраться из любого города в любой другой а) сделав несколько пересадок; б) сделав не более двух пересадок.

5. Назовем человека малообщительным, если у него менее 10 знакомых. Назовем человека чудаком, если все его знакомые малообщительны. Докажите, что малообщительных людей больше, чем чудаков.

6. Из полного графа со 100 вершинами удалили 98 ребер. Докажите, что граф остался связным.

7. Докажите, что существует 200-вершинный граф, в котором две вершины степени 1, две вершины степени 2,..., две вершины степени 100.

8. Можно ли раскрасить ребра куба в два цвета так, чтобы по ребрам каждого цвета можно было пройти из любой вершины в любую другую?

Кружок "Математика, обратная сторона". Второй год обучения.

2009-2010 учебный год.

http://www.kazan-math.info/ Теория чисел 5. Повторение.

1. Остаток от деления нечетного числа n на 7 равен 2. Найти остаток от деления n на 14.

2. Может ли число делится на 8, а при делении на 12 давать остаток 10?

3. Докажите, что число 2000 · 2001 · 2002 · 2003 24 делится а) на 1999; б) на 2004.

Найдите остаток от деления 9100 на 8.

4.

Найдите остаток от деления 27 + 28 + 29 + 210 на 5.

5.

Докажите, что n3 + 2n делится на 3 для любого натурального n.

6.

7. Докажите, что любое простое число большее 3 при делении на 6 дает в остатке, либо 1, либо 5.

8. Какие остатки могут давать точные квадраты при делении на 3, 5, 7, 4?

9. Сумма квадратов двух целых чисел тоже является полным квадратом. Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

10. Может ли сумма квадратов а) двух; б) тр х неч тных чисел быть квадратом целого числа?

11. Докажите, что a5 a (mod 30).

12. Докажите, что уравнение 15x2 7y 2 = 9 не имеет решений в целых числах.

13. Докажите, что число (2n 1)n 3 делится на 2n 3 при любом натуральном n.

14. Докажите, что числа вида 103n+1 нельзя представить в виде суммы двух кубов натуральных чисел.

15. Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде суммы двух точных квадратов.

16. Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде суммы трех точных кубов.

Кружок "Математика, обратная сторона". Второй год обучения.

2009-2010 учебный год.

http://www.kazan-math.info/ Оценка+ пример.

1. а) Какую наибольшую сумму цифр может иметь четырехзначное число, делящееся нацело на 4? б) Какое наибольшее произведение цифр может иметь четырехзначное число, делящееся нацело на 4?

2. Какое наибольшее число трехклеточных уголков можно вырезать из клетчатого квадрата 88?

3. Каким наименьшим количеством монет в 3 и 5 коп можно набрать сумму 37 копеек?

4. Какое наименьшее число ладей могут побить всю шахматную доску?

5. Какое наибольшее количество а) ладей; б) слонов; в) коней можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

6. а) Есть 17 карт. Зритель загадывает одну из них. Фокусник раскладывает все карты на 4 стопки и узнает у зрителя, в какой стопке оказалась задуманная карта. Докажите, что он всегда может определить задуманную карту за 3 вопроса, а двух вопросов может и не хватить. б) При каком наибольшем количестве карт можно наверняка определить задуманную карту за 3 вопроса?

7. В столовую надо доставить несколько бочек с апельсинами общей массой 10 т. Каждая бочка весит не более 1 т. Какого наименьшего количества трехтонок для этого заведомо хватит?

8. Найдите наименьшее возможное число членов кружка, если известно, что девочек в нем меньше 50%, но больше 40%?

9. Какое минимальное число прямоугольников 1 2 клеток нужно закрасить на доске 8 8 клеток, чтобы любой квадрат 2 2 содержал по крайней мере одну закрашенную клетку?

10. а) Среди 10 монет есть ровно одна фальшивая (легче остальных). За какое наименьшее число на чашечных весах без гирь ее можно наверняка выявить? б) Среди 5 монет - ровно одна фальшивая:

она отличается по весу от остальных, но не-известно - легче или тяжелее. Требуется выявить ее на чашечных весах без гирь и узнать, легче она или тяжелее настоящей. Какого наименьшего числа взвешиваний для этого наверняка хватит?

11. Шестизначное число назовем неразложимым, если оно не раскладывается в произведение трехзначного и четырехзначного числа. Какое наибольшее число неразложимых шестизначных чисел может идти подряд?

12. Какое наибольшее число слонов можно добавить к 6 ладьям, чтобы все эти фигуры можно было расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

Кружок "Математика, обратная сторона". Второй год обучения.

2009-2010 учебный год.

http://www.kazan-math.info/ Опять соответствия.

1. Кого в России больше: шахматистов, занимающихся математикой или математиков, играющих в шахматы?

Номер автобусного билета состоит из 6 цифр от 000000 до 999999. Билет называют счастливым, если сумма первых трех цифр его номера равна сумме трех последних цифр. Имеются билеты со всевозможными номерами, каждый билет встречается один раз.

2. а) Каких билетов больше: с номерами, в которых каждая цифра больше предыдущей или с номерами, в которых каждая цифра меньше предыдущей?

б) Каких чисел среди шестизначных больше: у которых каждая цифра больше предыдущей или у которых каждая цифра меньше предыдущей?

в) Докажите, что сумма всех счастливых номеров делится на 999.

г) Докажите, что сумма всех счастливых номеров делится на 1001.

д) Каких автобусных билетов больше: счастливых или тех, чьи номера делятся на 11?

3. Придворный астролог царя Гороха называет время суток хорошим, если на часах с секундной стрелкой при мгновенном обходе циферблата по ходу часов минутная стрелка встречается после часовой и перед секундной. Какого времени в сутках больше - хорошего или плохого?

4. Каких чисел среди натуральных, не превосходящих 10000, больше - с суммой цифр 15 или с суммой цифр 21?

5. В выпуклом n-угольнике никакие три диагонали не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения у этих диагоналей? (Концы диагоналей не считаются точками пересечения.)

6. У кассира было 30 монет достоинством в 10, 15 и 20 копеек на общую сумму в 5 рублей.

Докажите, что 20-копеечных монет у него было больше, чем 10-копеечных. На сколько больше?

7. В одном доме живут 9 мальчиков и одна девочка. Назовем "компанией"любую группу, состоящую из двух или более детей из этого дома. Каких компаний больше: с девочкой или без девочки?

На сколько?

8. Докажите, что счастливых билетов столько же, сколько билетов с суммой цифр 27.

9. Что можно разменять большим числом способов:

а) рубль монетами в 1, 5, 10 и 50 копеек, или 100 рублей монетами и купюрами в 1, 2, 5, 10 и 50 рублей?

б) рубль монетами в 1, 2, 3, 5, 10, 15, 20 и 50 копеек или 100 рублей бумажками в 1, 3, 5, 10, 25 и 50 рублей?

Кружок "Математика, обратная сторона". Второй год обучения.

2009-2010 учебный год.

http://www.kazan-math.info/ Разнобой 3. Всего понемногу.

1. Докажите, что при любой расстановке 44 ферзей на шахматной доске каждый из них кого-то (из остальных) бьет.

2. Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны а) (2n 1)– угольника? б) 2n – угольника?

3. Мальчик Вася по прозвищу Тиранозавр знает только цифру 1. Докажите, что он сможет записать число, делящееся на 2009.

4. Два трехзначных числа дают одинаковые остатки при делении на 7. Доказать, что шестизнечное число, полученное приписыванием одного из этих чисел к другому, тоже делится на 7.

5. Найти остаток от деления 7100 + 11100 на 13.

6. Два мальчика называются братьями, если у них совпадают и отец и мать. В некоторой компании из 7 мальчиков каждый имеет не менее 3 братьев. Доказать, что в этой компании все братья.

7. Сколькими способами можно выбрать из натуральных чисел от 1 до 30 три числа так, чтобы их сумма делилась на 3?

8. Доказать, что из диагоналей выпуклого пятиугольника всегда можно выбрать три диагонали, из которых можно построить треугольник.

9. В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузе AB взяли точки K и M так, что AK = AC, BM = BC. Найти M CK.

10. Докажите, что в связанном графе с n вершинами есть не менее n 1 ребра.

11. В стране имеется n городов, некоторые из них соединены дорогами. Всего дорог n. Известно, что из любого города в любой другой можно проехать по дорогам.

Докажите, что одну дорогу можно закрыть так, что из любого города в любой другой можно было бы проехать по оставшимся дорогам.

Кружок "Математика, обратная сторона". Второй год обучения.

2009-2010 учебный год.

http://www.kazan-math.info/ Разнобой 4.

1. В стране Дельфинии 6 городов и 8 дорог, причем из любого города можно проехать в любой другой. Докажите, что президент сможет закрыть 3 дороги так, что из любого города по-прежнему можно будет проехать в любой другой.

2. Дан угол и точка внутри него. Она отражается относительно сторон угла, и получившиеся точки соединяются отрезком. Докажите, что часть этого отрезка, высекаемая углом, составляет меньше половины его длины.

3. На доске написаны числа 25 и 36. За 1 ход разрешается дописать еще одно натуральное число

- разность любых двух из уже написанных чисел, если она еще не встречалась. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?

4. При некоторых целых a и b число a+4b делится на 13. Доказать, что число 10a+b тоже делится на 13.

5. В строку выписано 10 натуральных чисел, не одно из которых не делится на 10. Доказать, что из них можно выбрать несколько стоящих рядом, сумма которых делится на 10.

6. В группе из 16 детей 7 родились в Ухте, 4 в Бахте и 5 в Тухте. Сколькими способами можно выбрать из них четверых так, чтобы среди них оказались уроженцы всех трех городов?

7. На соседних сторонах квадрата ABCD во внешнюю сторону построены правильные треугольники LCB и KCD. Доказать, что треугольник KLA правильный.

8. Расстановка королей на шахматной доске называется "правильной если ни один из них не бьет другого и каждое поле доски либо находится под боем, либо занято одним из королей. Какое максимальное количество королей может быть в "правильной"расстановке?

9. Можно ли так познакомить друг с другом 7 человек, чтобы ни у каких трех не было одинакового числа знакомых?

Кружок "Математика, обратная сторона". Второй год обучения.

2009-2010 учебный год.

http://www.kazan-math.info/ Игровой разнобой.

1. Вася и Петя играют с 30 коробками конфет. Они выложили их в ряд и по очереди (начинает Вася) съедают содержимое любой коробки или двух, лежащих рядом. Выигрывает тот, кто съедает последнюю конфету. Кто выигрывает при правильной игре?

2. В начале игры на доске написано число 0. Два игрока ходят по очереди. За ход игрок прибавляет к написанному числу любое натуральное число, не превосходящее 10, и результат записывает на доску вместо исходного числа. Выигрывает тот, кто первым получит трехзначное число. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его противник?

3. Два игрока по очереди ставят шахматных королей на доску 9 9 так, чтобы они не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре:

начинающий или его противник?

4. У Васи и Пети по 55 гирь весом 1, 2,..., 55 кг. Они по очереди подкладывают свои гири – каждый на свою чашу двухчашечных весов, – причем первым ходит Вася. Петя выигрывает, если в какой-то момент разность масс гирь на чашах окажется равной 50 кг. Сможет ли он этого добиться?

5. Та же задача, но Петя выигрывает, если после его хода разность масс гирь на чашах окажется равной 50 кг.

6. а) На одном конце полосы 1 100 стоит черная, а на другом белая шашка. Двое по очереди двигают каждый свою шашку (первый – черную, второй – белую) на 1, 2, 3 или 4 клетки в направлении шашки соперника (перескакивать через чужую шашку запрещается). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

б) То же самое, только шашку можно двигать в обе стороны.

7. В начале игры на доске написано число 1000. Два игрока ходят по очереди. За один ход можно вычесть из написанного числа любой его натуральный делитель и результат написать на доску вместо исходного числа. Тот, кто напишет ноль, проигрывает. Кто из игроков может обеспечить себе победу: начинающий или его противник?

8. Мила и Леша по очереди ломают шоколадку размером 2003 2005 долек. За один ход можно сломать одну из частей на две (вдоль бороздки). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Первым ходит Мила. Кто выигрывает при правильной игре?

9. Малыш и Карлсон играют в такую игру: они берут шоколадку 1001 1001 и по очереди выкусывают из нее (по клеточкам) кусочки: Малыш – 1 1, a Карлсон – 2 2. Малыш начинает.

Если Карлсон не может сделать ход, тот весь остаток шоколадки доедает Малыш. Выигрывает тот, кто съест больше шоколада. Кто выигрывает при правильной игре?

10. Из шоколадки 999 2004 выкусывается клеточный квадрат любого размера. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Кружок "Математика, обратная сторона". Второй год обучения.

2009-2010 учебный год.

http://www.kazan-math.info/ Геометрический принцип Дирихле.

1. Каждая грань куба выкрашена в черный или белый цвет. Докажите, что найдутся две одинаково окрашенные грани с общим ребром.

2. Плоскость произвольно раскрашена в два цвета (т.е. каждая точка плоскости раскрашена в черный или белый цвет). Докажите, что найдутся две одинаково окрашенные точки на расстоянии 1 м друг от друга.

3. Плоскость произвольно окрашена в два цвета. Докажите, что найдется отрезок, середина и концы которого одинаково раскрашены.

4. Плоскость произвольно раскрашена в два цвета. Докажите, что найдется равносторонний треугольник, все вершины которого окрашены одинаково.

5. В единичный квадрат бросили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них точно можно накрыть кругом радиуса 1/7.

Указание. Разбейте единичный квадрат на 25 маленьких квадратов.

6. Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 расположено 5 точек. Докажите, что какие-то две из них расположены на расстоянии не более 0,5.

Указание. Утверждением "В правильном треугольнике расстояние между любыми двумя точками не превышает длины стороны"можно пользоваться.

7. На плоскости проведены 9 прямых, про которые известно, что никакие две не параллельны и никакой угол между ними неравен целому числу градусов. Докажите, что найдутся две прямые, один из углов между которыми больше 1600.

8. Докажите, что в любом девятиугольнике найдется пара диагоналей, угол между которыми меньше 7 градусов.

9. В кубе со стороной 1 летает 2005 мух. Докажите, что хотя бы трех из них можно поймать сферическим сачком (т.е. сачком в виде шара) радиусом 1/11.

10. Сосновый лес растет на участке, имеющем форму квадрата со стороной 1 км. Зная, что этот лес состоит из 4500 деревьев, каждое диаметром 50 см, докажите, что в лесу можно выбрать прямоугольную площадку 10 20 метров для посадки вертолета.

11. Какое наибольшее количество точек можно расположить в квадрате (внутри и на границе) со стороной 1 так, чтобы расстояние между любыми двумя из них было не менее 0,5?

12. В таблице 2000 2000 отмечены звездочками 3000 клеток. Докажите, что можно вычеркнуть 1000 строк и 1000 столбцов, чтобы все отмеченные звездочками клетки были вычеркнуты.

13. В круге радиуса 9.5 размещены 401 точка. Доказать, среди них можно выбрать две точки, расстояние между которыми не превосходит 1.

Кружок "Математика, обратная сторона". Второй год обучения.

2009-2010 учебный год.

http://www.kazan-math.info/ Теория чисел 6. НОД. Алгоритм Евклида.

Определение. НОД – наибольший общий делитель. НОК – наименьшее общее кратное.

1. Докажите, что

а) все общие делители чисел a и b являются также общими делителями чисел b и a b;

б) все общие делители чисел b и a b являются также общими делителями чисел a и b;

в) НОД(a, b) = НОД(b, a b).

2. (Алгоритм Евклида.) Пусть r – остаток от деления a на b (r = 0). Докажите, что НОД(a, b) = НОД(b, r).

Замечание. Очень часто алгоритмом Евклида называют задачу 1в. Также иногда для нахождения НОД полезнее воспользоваться 1в чем 2.

3. Чему может быть равен НОД чисел а) 2n 17 и n 9; б) 13n + 8 и 10n + 5.

4. Докажите, что числа 13n+21 и 8n+13 взаимно просты при любом целом n.

5. Докажите, что НОД(a, b) · НОК(a, b) = a · b.

Указание. Используйте разложение на простые множители.

6. Найдите (11... 1, 11... 1).

m n m n

7. Найдите а) (2m 1, 2n 1); б) (22 + 1, 22 + 1).

8. Найдите (Fn, Fn+1 ), где Fn n-е число Фибоначчи (F1 = F2 = 1, Fi+1 = Fi + Fi1 ).

9. У фальшивомонетчика Жени имеется неограниченный запас 1993-рублевых купюр. Жетон метро стоит n рублей, где n 1993, а в кассе есть всего 1 рубль сдачи. Докажите, что не смотря на это Женя сможет куить несколько (менее 1993) жетонов в данной кассе.

10. Леша купил новый "тетрис". В этой игре изначально падает некоторое количество кубиков в 100 столбцов, а после этого - горизонтальные палочки длиной в 7 кубиков. Леша может разделить такую полоску в полете на отдельные кубики так, чтобы они упали в нужные столбики. Сможет ли он обеспечить себе победу в любом случае?

Кружок "Математика, обратная сторона". Второй год обучения.

2009-2010 учебный год.

http://www.kazan-math.info/ Геометрия 3. Вписанный угол.

Определение 1. Центральным углом по отношению к заданной окружности называется любой угол с вершиной в центре этой окружности.

Определение 2. Любому центральному углу соответствует дуга окружности. Дуги окружности, как и углы, можно измерять в градусах. Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего центрального угла.

Определение 3. Вписанным углом окружности называется угол, вершина которого расположены на окружности, а стороны пересекают окружность.

Теорема 1. (об измерении вписанного угла).

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Указание. Сведите все возможные расположения вписанного угла к случаю, когда одна из сторон содержит центр окружности.

Теорема 2. (об угле опирающемся на диаметр).

В любой окружности вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 900.

Теорема 3.(измерение угла с вершиной внутри круга).

Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых расположена внутри этого угла, а другая - внутри угла, вертикального к данному.

Теорема 4. (измерение угла с вершиной вне круга).

Угол, вершина которого расположена вне круга, а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках, измеряется полуразностью дуг, заключенных внутри угла.

Теорема 5. (измерение угла между касательной и хордой).

Угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной внутри этого угла.

1. Точки A, B и C, лежащие на окружности, служат вершинами равностороннего треугольника.

На окружности взята точка D, причем точки C и D расположены по разные стороны от прямой AB.

Найдите ADB.

2. Вершины четырехугольника ABCD расположены на окружности. Докажите, что сумма двух противоположных углов этого четырехугольника равна 1800.

3. Сумма двух противоположных углов четырехугольника ABCD равна 1800. Докажите, что все вершины этого четырехугольника расположены на одной окружности.

4. Из точки P, расположенной внутри острого угла с вершиной A, на стороны угла опущены перпендикуляры P C и P B. Докажите, что CAP = CBP.

5. Биссектриса внешнего угла при вершине C треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что AD = BD.

6. Докажите, что точка M пересечения серединного перпендикуляра к стороне BC треугольника ABC и биссектрисы угла A принадлежит описанной окружности.

7. Чему может быть равен вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности.

8. Окружность касается одной из сторон угла в его вершине - точке A и пересекает другую сторону в точке B. Величина угла равна 40 ; M – точка на меньшей дуге AB. Найдите AM B.

Кружок "Математика, обратная сторона". Второй год обучения.

2009-2010 учебный год.

http://www.kazan-math.info/ Разнобой 5. Повторение пройденного.

1. Расстановка королей на шахматной доске называется "правильной если ни один из них не бьет другого и каждое поле доски либо находится под боем, либо занято одним из королей. Какое минимальное количество королей может быть в "правильной"расстановке?

2. На доске написано три целых числа. Каждую секунду хулиган Вася стирает одно из них и пишет вместо него сумму остальных уменьшенную на один. Первоначально на доске были написаны числа 2, 2, 2. Может ли Вася получить 1993,1994,1995?

3. Можно ли расставить числа от 1 до 16 в клетки квадрата 4*4 так, чтобы сумма чисел по строкам и столбцам давали 8 последовательных натуральных чисел?

4. На каждой из сторон квадрата выбрано по 10 точек, Найти число треугольников с вершинами в этих точках

5. Натуральные числа a, b и c таковы, что числа a+b, b+c, a+c - простые. Доказать, что среди них найдутся равные.

6. Четное число q делится на простое число p, а q-1 делится на p-1. Найдите p.

7. Докажите, что в прямоугольном треугольнике биссектриса делит пополам угол между медианой и высотой (все они проведены к гипотенузе).

8. На сторонах единичного квадрата отмечены четыре точки, по одной на каждой стороне. Докажите, что периметр образованного ими четырехугольника больше 2.

9. Доказать, что из связного графа можно выкинуть вершину со всеми выходящими из нее ребрами, оставив его связным.

10. В графе все вершины имеют степень 3. Докажите, что в нем есть цикл.

Кружок "Математика, обратная сторона". Второй год обучения.

2009-2010 учебный год.

http://www.kazan-math.info/ Графы 3. Деревья.

Определение. Циклом называется замкнутый путь по ребрам графа без повторяющихся ребер.

Определение. Деревом называется связный граф без циклов.

Определение. Мостом (перешейком) называется ребро, при выкидывании которого граф перестает быть связным.

1. Сеть дорог некоторого царства устроена так, что из любого города можно добраться в любой другой ровно одним способом.

а) докажите, что есть город, из которого выходит ровно одна дорога.

б) докажите, что таких городов по крайней мере 2.

Теорема( 5 определений дерева). Докажите равносильность следующих утверждений:

а) граф связен и не cодержит циклов.

б) между любыми 2 вершинами существует единственный путь по ребрам.

в) в графе любое ребро – мост.

г) граф связный и имеет n вершин и n 1 ребро.

д) граф не содержит циклов и имеет n вершин и n 1 ребро.

2. В соседнем царстве тоже можно добраться из любого города в любой, но, возможно, более чем одним способом. Докажите, что Змей-Горыныч – начальник автомобильной инспекции царства может (в целях экономии) закрыть несколько дорог так, чтобы любые два города оказались соединены единственным маршрутом.

Определение. Скелетом (остовом) графа называется подграф, содержащий все его вершины и являющийся деревом.

3. Может ли граф иметь несколько различных скелетов?

4. Существует ли граф, два скелета которого не имеют общих р бер?

5. В тридесятом царстве можно по дорогам добраться из любого терема в любой другой. Докажите, что Илья Муромец может сжечь один терем, и перекрыть выходящие из него дороги так, чтобы сообщение между остальными теремами сохранилось.

6. Ярый противник волейбола Юра по одной перерезает веревочки волейбольной сетки, имеющей вид прямоугольника m n. Какое наибольшее количество веревочек он может разрезать до того, как сетка распадется на куски?

Кружок "Математика, обратная сторона". Второй год обучения.

2009-2010 учебный год.

http://www.kazan-math.info/

–  –  –

Теория чисел 7. Признаки равноостаточности.

Утверждение. Докажите, что любое натуральное число сравнимо со своей последней цифрой по модулю а) 2; б) 5; в) 10.

Утверждение. Докажите, что любое натуральное число сравнимо с числом, составленным из двух его последних цифр, по модулю а) 4; б) 25 в) 100.

1. Подумайте, как можно обобщить два предыдущих утверждения.

2. Последняя цифра квадрата натурального числа равна 6. Докажите, что его предпоследняя цифра нечетна.

3. Докажите, что степень двойки не может оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами.

4. Найдите 100–значное число без нулевых цифр, которое делится на сумму своих цифр.

Утверждение. Докажите, что натуральное число сравнимо со своей суммой цифр по модулю а) 3; б) 9.

5. Можно ли записать точный квадрат, использовав ровно по 10 раз цифры а) 2, 3, 6;

б) 1, 2, 3.

6. Суммы цифр чисел A и 2A равны. Докажите, что A делится на 9.

7. У числа 2100 нашли сумму цифр, у результата снова нашли сумму цифр и т.д. В конце концов получилось однозначное число. Найдите его.

8. Пусть a – сумма цифр числа 44444444, а b – сумма цифр числа a. Найдите сумму цифр числа b.

Утверждение. Докажите, что любое натуральное число сравнимо со своей знакочередующейся суммой цифр по модулю 11.

9. Докажите, что число, составленное из а) 1000 единиц, б) 1001 единицы, составное.

10. Докажите, что разность произвольного 2001–значного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 99.

11. Найдите все кратные 11 шестизначные числа, в записи которых по одному разу встречаются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6.

12. ( Творческое задание) Постарайтесь придумать (и, конечно, доказать!) еще какие–нибудь признаки делимости. КТО БОЛЬШЕ?

Кружок "Математика, обратная сторона". Второй год обучения.

2009-2010 учебный год.

http://www.kazan-math.info/

–  –  –

Геометрия 4. Вписанный угол 2.

1. Биссектрисы треугольника ABC продолжены до пересечения с окружностью, описанной около этого треугольника, в точках A1, B1, C1. Выразите углы треугольника A1 B1 C1 через углы треугольника ABC.

2. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через эти точки проведены секущие M AP и CBD (точки M и C лежат на одной окружности, а точки P и D – на другой). Докажите, что если секущие не пересекаются внутри окружности, то M C P D.

3. На окружности даны четыре точки A, B, C, D в указанном порядке; K, L, M, N – середины дуг AB, BC, CD, DA соответственно. Докажите, что KM и LN перпендикулярны.

4. По данным углам и, образованным продолжениями противоположных сторон вписанного в окружность четырехугольника, определите углы этого четырехугольника.

5. Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с боковой стороной AB пересекаются в точке P. Докажите, что центр описанной около нее окружности лежит на окружности, описанной около треугольника AP B.

6. а) Доказать, что если на окружности отмечены две равные дуги, то хорды стягивающие эти дуги также равны.

б) На окружности даны четыре точки A, B, C, D в указанном порядке. Точка M – середина дуги AB, K – точка пересечения хорд AB и M D, E – точка пересечения хорд AB и M C. Докажите, что около четырехугольника CDKE можно описать окружность.

7. а) Доказать, что все точки лежащие на серединном перпендикуляре к отрезку AB равноудаленны от точек A и B. И наоборот.

б) Биссектриса внешнего угла при вершине C треугольника ABC пересекает описанную окружность с центром O в точке D. Докажите, что прямая DO делит сторону AB пополам.

8. Дан треугольник ABC. а) Биссектрисы углов A, B, C пересекают описанную окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Докажите, что прямые AA1, BB1, CC1 содержат высоты треугольника A1 B1 C1. б) Продолжения высот треугольника, проведенных из его вершин A, B, C, пересекают описанную окружность около него окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Докажите, что прямые AA1, BB1, CC1 содержат биссектрисы углов треугольника A1 B1 C1.

9. В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены биссектрисы углов. Докажите, что четыре точки пересечения биссектрис углов A и C с биссектрисами углов B и D лежат на одной окружности.

Кружок "Математика, обратная сторона". Второй год обучения.

2009-2010 учебный год.

http://www.kazan-math.info/ Индукция 1.

Пусть требуется доказать некоторое утверждение для любого натурального n. Метод математической индукции заключается в следующих двух шагах:

1. (база индукции) Проверка утверждения для n = 1.

2. (индукционный переход) Доказательство того, что из справедливости утверждения для n следует его справедливость для n + 1.

1. Докажите, что при любом натуральном n а) 1+2+...+n = n(n+1). б) 13 +...+n3 = (1+2+...+n)2.

–  –  –

3. а) При n 2 докажите неравенство 2n 2n + 1 б) (Неравенство Бернулли.) При n 1, 1 докажите неравенство (1 + )n 1 + n.

4. Докажите, что если x + x – целое, то xn + x1n – тоже целое.

5. Докажите, что число, состоящее из 3n единиц, делится на 3n.

6. На плоскости проведено несколько прямых. Докажите, что части, на которые эти прямые делят плоскость, можно раскрасить в два цвета так, чтобы любые две соседние части были окрашены в разные цвета.

7. На плоскости проведены n прямых, проходящих через одну точку. Докажите, что они разбивают плоскость на 2n областей.

8. Концы отрезка AB занумерованы числами 1 и 2. Разобь м его на части точками M1, M2,..., Mn и поставим в соответствие каждой из этих точек ровно одно из чисел 1 или 2. Докажите, что число получившихся при делении отрезков, концы которых имеют различные номера, нечетно.

9. Из чисел от 1 до 2n 1 выбрано n + 1 число. Докажите, что одно из выбранных чисел равно сумме двух других.

10. Из квадрата 2n 2n вырезали одну клетку. Докажите, что полученную фигуру можно разрезать на “уголки” из тр х клеток.

11. В выпуклом n-угольнике проведены несколько непересекающихся диагоналей. Докажите, что из двух вершин диагонали не проведены.

Кружок "Математика, обратная сторона". Второй год обучения.

2009-2010 учебный год.

http://www.kazan-math.info/ Графы 4. Двудольные графы.

1. В классе каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка – с пятью мальчиками.

При этом 17 детей из этого класса любят участвовать в математических боях, а в их классной комнате 15 парт. Сколько всего ребят в классе?

Определение. Граф называется двудольным, если его вершины можно раскрасить в два цвета так, что не будет ребер с концами одного цвета.



Pages:   || 2 |

Похожие работы:

«AZRBAYCAN RESPUBLKASI THSL NAZRLY AZRBAYCAN DVLT QTSAD UNVERSTET MAGSTRATURA MRKZ lyazmas hquuqunda Рамазанова Динара Играмадиновна Анализ финансовой отчётности, составленной в соответствии с МСФО. MAGSTR DSSERTASYASI xtisasn ifri v ad: 060402 Mhasibat uotu v audit Elmi rhbri dos. Yzbaev. R. Magistr proqramnn rhbri dos. Kazmov R.N. Kafedra mdiri dos. Cfrli H. A. BAKI – 2015 СОДЕРЖАНИЕ Введение.. 3 ГЛАВА I. КОНЦЕПЦИИ, ОСНОВЫ, МЕСТО, МЕТОДЫ И ПРИЁМЫ АНАЛИЗА ФИНАНСОВОЙ ОТЧЁТНОСТИ. 1.1. Концепция...»

«ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РАСПОРЯЖЕНИЕ от 20 июля 2013 г. № 1268-р МОСКВА 1. Утвердить прилагаемый план мероприятий (дорожную карту) Развитие отрасли информационных технологий (далее план).2. Руководителям федеральных органов исполнительной власти, ответственным за реализацию плана: обеспечить реализацию плана; представлять ежеквартально, до 5-го числа месяца, следующего за отчетным кварталом, в Минкомсвязь России информацию о ходе реализации плана. 3. Минкомсвязи России осуществлять...»

«МЕЖДУНАРОДНЫЙ КОМИТЕТ ПО КОНТРОЛЮ НАД НАРКОТИКАМИ ЗАПРЕТ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ Соблюдать дату снятия запрета на издание: Доклад за 2014 год не подлежит опубликованию или широкому распространению до вторника, 3 марта 2015 года, 12 ч. 00 м. (центральноевропейское время) Для сведения – неофициальный документ Послание Председателя В годовом докладе Международного комитета по контролю над наркотиками за 2014 год говорится о необходимости всестороннего, комплексного и сбалансированного подхода к борьбе...»

«A/68/854 Организация Объединенных Наций Генеральная Ассамблея Distr.: General 25 April 2014 Russian Original: English Шестьдесят восьмая сессия Пункт 13 повестки дня Десятилетие 2001–2010 годов: десятилетие борьбы за сокращение масштабов заболеваемости малярией в развивающихся странах, особенно в Африке Осуществление резолюции 67/299 Генеральной Ассамблеи о закреплении достигнутых успехов и активизация борьбы с малярией и усилий в направлении ее ликвидации к 2015 году в развивающихся странах,...»

«Приложение № 1 к Постановлению администрации Александровского района от..2015 г. № _ СХЕМА ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОД АЛЕКСАНДРОВ ВЛАДИМИРСКОЙ ОБЛАСТИ ДО 2027 ГОДА (АКТУАЛИЗАЦИЯ НА ПЕРИОД 2016-2018 ГГ.) Александров, 2015 СХЕМА ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОД АЛЕКСАНДРОВ ВЛАДИМИРСКОЙ ОБЛАСТИ ДО 2027 ГОДА (АКТУАЛИЗАЦИЯ НА ПЕРИОД 2016-2018 ГГ.) СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 1. ОБЩАЯ ЧАСТЬ 1.1 Территория и климат 1.2 Существующее положение в сфере теплоснабжения 1.3...»

«3. Наши ведущие Владимир Борисович Пестряков, заслуженный деятель науки и техники РСФСР, лауреат Государственных премий СССР, д.т.н., проф., является примером человека, пришедшего в высшую школу из промышленности. Пестряков Владимир Борисович Заслуженный деятель науки и техники РСФСР, трижды лауреат Государственных премий, Главный конструктор глобальных навигационных систем, д.т.н., проф. (1913 – 1988) Главный инженер большого предприятия, главный конструктор глобальных навигационных...»

«ISSN 2075-6836 ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНС ТИТ У Т КОСМИЧЕСКИХ ИСС ЛЕДОВАНИЙ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК (ИКИ РАН) НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЦЕНТР РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКОЙ ОБОРОНЫ (МОСКВА) ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УЧРЕЖДЕНИЯ «4-Й ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ М И Н И С Т Е Р С Т В А О Б О Р О Н Ы Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е РА Ц И И » (НИЦ РКО ФБУ 4 ЦНИИ МО РФ) С. С. Вениаминов (при участии А. М. Червонова) КОСМИЧЕСКИЙ МУСОР — УГРОЗА ЧЕЛОВЕЧЕСТВУ...»

«1. ЦЕЛИ ПРЕДДИПЛОМНОЙ ПРАКТИКИ Основная цель преддипломной практики – приобретение практических и профессиональных навыков самостоятельной работы по различным направлениям деятельности в области товароведения и экспертизы и сбор материалов для выпускной квалификационной (дипломной) работы.Целями преддипломной практики являются: закрепление и углубление теоретических знаний, полученных в процессе обучения при изучении специальных дисциплин; ознакомление с организацией (предприятием), его...»

«Сергей Потапов Как управлять временем (Тайм-менеджмент) Серия «В курсе!» Текст предоставлен издательством http://www.litres.ru/pages/biblio_book/?art=165165 Потапов С. Как управлять временем: Эксмо; М.; 2007 ISBN 978-5–699-18251-0 Аннотация Эта книга для тех, кто хочет эффективно управлять своим временем. Один час– и вы в курсе, как сделать ваш день максимально продуктивным, успевать сделать все важные дела и при этом иметь достаточно времени для отдыха. Результат: вы все делаете правильно,...»

«Министерство здравоохранения Российской Федерации Пятигорский медико-фармацевтический институт – филиал ГБОУ ВПО ВолгГМУ Минздрава России Разработка, исследование и маркетинг новой фармацевтической продукции Сборник научных трудов Выпуск 6 Пятигорск УДК 615(063) ББК 52. Р 1 Печатается по решению учёного совета Пятигорского медико-фармацевтического института – филиала ГБОУ ВПО ВолгГМУ Минздрава России Р 17 Разработка, исследование и маркетинг новой фармацевтической продукции: сб. науч. тр. –...»

«Москва алгоритм УДК 355/359 ББК 63.3 К 29 Катасонов В.Ю. К 29 Золотой лохотрон. Новый мировой порядок как финансовая пирамида. М.: Алгоритм, 2013. 288 с. ISBN 978-5-4438-0563-4 Профессор МГИМО и знаменитый публицист В.Ю. Катасонов в своей новой книге вскрывает подоплеку' мирового финансового кризиса как происки банкстеров (слово производное от «банкир» и «гангстер»), стремящихся поставить мир перед выбором между плохим и очень плохим. Банкстеры играют в беспроигрышный для себя золотой лохотрон....»

«ФОРМА 5Т. ТИТУЛЬНАЯ СТРАНИЦА ОТЧЕТА В РФФИ НАЗВАНИЕ ПРОЕКТА НОМЕР ПРОЕКТА Создание математических методов для 13-08-96519 разработки 2D моделей электромембранных процессов ОБЛАСТЬ ЗНАНИЯ КОД(Ы) КЛАССИФИКАТОРА 08 08-201, 01-222, 01-426 ВИД КОНКУРСА р_юг_а Региональный конкурс «ЮГ РОССИИ»: инициативные ФАМИЛИЯ, ИМЯ, ОТЧЕСТВО РУКОВОДИТЕЛЯ ТЕЛЕФОН РУКОВОДИТЕЛЯ ПРОЕКТА ПРОЕКТА Коваленко Анна Владимировна (918)4440042 ПОЛНОЕ НАЗВАНИЕ ОРГАНИЗАЦИИ, ГДЕ РЕАЛИЗУЕТСЯ ПРОЕКТ Федеральное государственное...»

«ОБОСНОВАНИЕ НОРМ ОБРАЗОВАНИЯ ТВЕРДЫХ БЫТОВЫХ ОТХОДОВ ОТ НАСЕЛЕНИЯ ГОРОДСКОГО И СЕЛЬСКИХ ПОСЕЛЕНИЙ БЕЛЬСКОГО РАЙОНА Глава Администрации Бельского района _ / А.И.Титов / г. Белый, 201 СВЕДЕНИЯ ОБ ИСПОЛНИТЕЛЯХ Проект обоснования норм образования твёрдых бытовых отходов от населения сельских поселений Бельского района и городского поселения города Белый разработан Обществом с ограниченной ответственностью ИНТ-ЭКО (г. Тверь) в ноябре 2013 года для Администрации Бельского района в рамках...»

«ISSN 2074-0530 т. 2 (14) 20 2 (14) т. 4 н ау ч н ы й р е ц е н з и р у е м ы й ж у р н а л адрес университета: 107023, г. Москва, ул. Б. Семёновская, 3 тел./факс: (495) 223-05http://www.mami.ru • e-mail: unir@mami.ru ИнновацИонные разработкИ нтц «технИка нИзкИх температур» новые издания 2012 г. тепловой насос малой мощностИ удК 66.017(075) на диоксиде углерода ББК 24.5я73 Г ТнСо2Генералов м.Б. Основные процессы криохимической нанотехнологии (Теория и методы расчета): учеб. посообщая тепловая...»

«100 великих учёных Д. К. Самин 100 великих ВВЕДЕНИЕ ПИФАГОР ГИППОКРАТ ЕВКЛИД АРХИМЕД НИКОЛАЙ КОПЕРНИК ТЕОФРАСТ ПАРАЦЕЛЬС АНДРЕАС ВЕЗАЛИЙ ФРАНСУА ВИЕТ ГАЛИЛЕО ГАЛИЛЕЙ ИОГАНН КЕПЛЕР ВИЛЬЯМ ГАРВЕЙ РЕНЕ ДЕКАРТ ПЬЕР ФЕРМА БЛЕЗ ПАСКАЛЬ РОБЕРТ БОЙЛЬ ХРИСТИАН ГЮЙГЕНС АНТОНИ ВАН ЛЕВЕНГУК ИСААК НЬЮТОН ГОТФРИД ЛЕЙБНИЦ КАРЛ ЛИННЕЙ ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ЛОМОНОСОВ АДАМ СМИТ ШАРЛЬ КУЛОН ВИЛЬЯМ ГЕРШЕЛЬ АНТУАН ЛОРАН ЛАВУАЗЬЕ ЖАН-БАТИСТ ЛАМАРК ПЬЕР-СИМОН ЛАПЛАС АЛЕКСАНДР ГУМБОЛЬДТ ДЖОН ДАЛЬТОН ЖОРЖ...»

«Э.-Б. Гучинова КТО СТАРОЕ ПОМЯНЕТ, КТО СТАРОЕ ЗАБУДЕТ: О СТИЛЕ ПЕРЕЖИВАНИЯ КАЛМЫКАМИ ДЕПОРТАЦИОННОЙ ТРАВМЫ В статье на основе широкого круга материалов, в том числе — мемуаристики и полевых материалов автора, исследуется, как передается информация о коллективной травме, которой была для калмыков депортация 1943 г., как меняется дискурс о депортации за прошедшие годы: от полного умолчания до инструменталистского отношения к ней. В статье анализируются различные публикации, посвященные этой...»

«ТРУДОВАЯ ТЕРАПИЯ КАК СРЕДСТВО СОЦИАЛИЗАЦИИ ЛИЦ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ВОЗМОЖНОСТЯМИ (НА ПРИМЕРЕ КЛУБА МОЛОДЫХ ИНВАЛИДОВ «ПИОН» Г.УЛЬЯНОВСКА) Сулагаева Т.В УлГПУ им. И.Н. Ульянова Ульяновск, Россия OCCUPATIONAL THERAPY AS A MEANS OF SOCIALIZATION OF PERSONS WITH DISABILITIES ( FOR EXAMPLE, THE CLUB’S YOUNG PEOPLE WITH DISABILITIES”PION” ULYANOVSK) Sulagaeva T.V. UlGPU them. IN Ulyanov Ulyanovsk, Russia СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СОЦИАЛЬНОЙ РЕАБИЛИТАЦИИ ЛИЦ С ОГРАНИЧЕННЫМИ...»

«Алексей Стпин ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К ОРГАНИЗАЦИЯМ ПО СОБЛЮДЕНИЮ ИМИ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВА РФ О ПРОТИВОДЕЙСТВИИ ЛЕГАЛИЗАЦИИ ДОХОДОВ, ПОЛУЧЕННЫХ ПРЕСТУПНЫМ ПУТЁМ, И ФИНАНСИРОВАНИЮ ТЕРРОРИЗМА (издание восьмое, дополненное с учётом изменений в законодательство по ПОД/ФТ) ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К ОРГАНИЗАЦИЯМ ПО СОБЛЮДЕНИЮ ИМИ ЗАКОНОДЕЛЬСТВА РФ О ПРОТИВОДЕЙСТВИИ ЛЕГАЛИЗАЦИИ ДОХОДОВ, © 2012-2015 Алексей Стпин ПОЛУЧЕННЫХ ПРЕСТУПНЫМ ПУТЁМ, И ФИНАНСИРОВАНИЮ ТЕРРОРИЗМА Коротко об авторе Здравствуйте, Уважаемые...»

«КОНТРОЛЬНО-СЧЕТНАЯ ПАЛАТА ИРКУТСКОЙ ОБЛАСТИ ОТЧЕТ № 07/23 о результатах контрольного мероприятия «Проверка соблюдения требований законодательства при организации бюджетного процесса, использования бюджетных средств в муниципальном образовании «город Свирск» за 2011 год» 13 июля 2012 года г. Иркутск Рассмотрен на коллегии КСП (постановление от 13.07.2012 № 7(178)/2 -КСП) и утвержден распоряжением председателя КСП от 13.07.2012 № 71 -р Настоящий отчет подготовлен аудитором Контрольно-счетной...»

«Vdecko vydavatelsk centrum «Sociosfra-CZ» State University named after Shakarim Semey City Shadrinsk State Pedagogical Institute PREPARING A COMPETITIVE SPECIALIST AS A PURPOSE OF MODERN EDUCATION Materials of the IV international scientific conference on November 20–21, 2014 Prague     Preparing a competitive specialist as a purpose of modern education : materials of the IV international scientific conference on November 20–21, 2014. – Prague : Vdecko vydavatelsk centrum «Sociosfra-CZ». – 211...»








 
2016 www.nauka.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.