WWW.NAUKA.X-PDF.RU
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, издания, публикации
 


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |

«СОДЕРЖАНИЕ Г л а в а 1. Простейшие топологические свойства.,.„ I л а в а 2. Топологические пространства. Расслоения. Гомотопии,* 17 ам 5 Д* * р ^ ч а н и я из общей топологии. ...»

-- [ Страница 1 ] --

У Д К 515.

топология

С. П, Новиков

СОДЕРЖАНИЕ

Г л а в а 1. Простейшие топологические свойства.

..,.„

I л а в а 2. Топологические пространства.

Расслоения. Гомотопии,* 17

ам

5 Д* * р ^ ч а н и я из общей топологии. Терминология. 17

| о" I ° м о т о п и и. Гомотопический тип „ 20

а

| ^" р к р ь 1 в а ю щ а я гомотопия. Расслоения, § 4.



1 о м о т о п и ч е с к и е группы и расслоения. Точные последовательно с т и. Примеры Г л а в а 3.о л Симплициальные и клеточные комплексы. Гомологии и коМ о г и и - Связь с теорией гомотопии. Препятствия | } ' ^ и м п л и ц и а л ь н ы е комплексы 40 | — Г о м о л о г и и и когомологии. Двойственность Пуанкаре •, 46 § -3-. О т н о с и т е л ь н ы е гомологии. Точная последовательность пары, А к с и о м ы теории гомологии. Клеточные комплексы 54 § 4. С и м п л и ц и а л ь н ы е комплексы и другие виды гомологии. Сингу­ л я р н ы е гомологии. Покрытия и пучки. Точная последователь­ н о с т ь пучков и гомологии 61 § 5. Г о м о л о г и и неодносвязных комплексов. Комплексы модул ей, К р у ч е н и е Рейдемейстера. Простой гомотопический тип § €. С и м п л и ц и а л ь н ы е и клеточные расслоения со структурной груп пой. Препятствия. Универсальные объекты — универсальные р а с с л о е н и я и универсальное свойство комплексов Эйленберга— М а к л е й н а. Когомологические операции. Алгебра Стинрода.

С ц е н т р а л ь н а я последовательность Адамса ^ § 7. К л а с с и ч е о к и й аппарат теории гомотошй. Спектральная после­ д о в а т е л ь н о с т ь Лере. Гомологии расслоений. Метод Картана— Серра. Башня Постникова. Стабильные резольвенты Адамса § 8. О п р е д е л е н и е и свойства /(-теорий. Спектральная последова­ т е л ь н о с т ь Атьи —Хирцебруха. Операции Адамса. Аналоги изо­ м о р ф и з м а Тома и теоремы Римана—Роха. Эллиптические опе­ р а т о р ы и /С-теория. Группы преобразований. Четырехмерные многообразия.. ДО § 9. Г л ф д и з м ы и кобордизмы как обобщенные гомологии и кого* м п л о г и и. Аналоги когомологических операций. Спектральная по­ с л е д о в а т е л ь н о с т ь Адамса—Новикова. Формальные группы. Глад

–  –  –

§ 3. Гладкие многообразия и теория гомотопий. Оснащенные много­ образия. Бордизмы. Пространства Тома. Формулы Хирцебруха.

Оценки порядка гомотопических групп сфер. Пример Милнора.

Целочисленные свойства кобордизмов *.,.... 179 $ 4. Классификационные проблемы теории гладких многообразий.

Теория иммерсий. Многообразия гомотопического типа сферы.

Взаимоотношения между гладкими и PL-многообразиями.

Классы Понтрягина (целочисленные) •§ 5. Фундаментальная группа в аппарате топологии. Многообразия малых размерностей я=2,3. Узлы. Граница открытых много­ образий. Топологическая инвариантность рациональных классов Понтрягина. Классификационная теория неодносвязных много­ образий размерности -5. Высшие сигнатуры. Эрмитова ^-тео­ рия. Геометрическая топология, конструкции непрерывных гомеоморфизмов. Пример Милнора. Гипотеза кольца. Топологи­ ческие и PL-структуры.., Заключительные замечания..,„.*,.««.

•Литература * 239 В данной статье мы попытаемся дать представление о «ске­ лете» и некоторых идеях топологии. Следует сразу же сказать, что, кроме минимально-необходимых сведений, в предмет на­ шего обзора не войдет область, называемая «общей тополо­ гией» — теория общих пространств и отображений, рассматри­ ваемых с точки зрения теории множеств и общей теории кате­ горий (она, по-видимому, будет предметом детального обзора других авторов). С учетом этого замечания можно сказать, что топология нашего обзора — область математики, которая назы­ валась в конце XIX века Analysis Situs, а затем стала дробить­ ся в разные времена на разные части — «Комбинаторную то­ пологию», «Алгебраическую топологию», «Дифференциальную {гладкую) топологию», «Гомотопическую топологию», «Геомет­ рическую топологию».

Учитывая возраставший со временем рост приложений то­ пологии в других разделах математики, возникли «Вариацион­ ное исчисление в целом», «Геометрия в целом», «Топология групп Ли и однородных Пространств, «Топология комплексных и алгебраических многообразий», «Качественная (топологичес­ кая) теория динамических систем и слоений», «Топология эл­ липтических и гиперболических уравнений с частными произ­ водными». Наконец, в 70—80-е годы XX века возник комплекс приложений топологических методов в задачах современной физики. В ряде случаев без топологических понятий оказалось невозможным понять суть реальных физических явлений, хотя мы не имеем возможности это осветить здесь.



Уместно тем не менее сделать такое замечание общего ха­ рактера. Топология нашла себе ряд блестящих применений в самых разнообразных задачах для описания качественных, б устойчивых свойств различных математических и физических объектов, а ее алгебраический аппарат перестроил всю совре­ менную алгебру.

Достижения последних лет показали, что современная тео­ рия групп Ли, их представлений и алгебраическая геометрия, которые достигли своего нынешнего уровня на базе ансамбля глубоких алгебраических идей, возникших в топологии, имеют совсем другую роль в приложениях. Они применяются для точного формульного изучения систем, обладающих глубокой внутренней алгебраической симметрией.

Фактически это проявилось уже в точно решаемых задачах классической механики и математической физики, однако окон­ чательно это стало ясно при исследовании современных в опре­ деленном смысле интегрируемых систем. Достаточно вспомнить, например, метод обратной задачи рассеяния и конечнозонного (алгебро-геометрического) интегрирования нелинейных полевых систем, знаменитые решения моделей статистической физики и квантовой теории поля, автодуальные калибровочные поля и теорию струн. (Хотя возникшая здесь ситуация показывает, что методы современной алгебраической геометрии нуждаются в весьма серьезной эффективизации, которая приближала бы ее к духу алгебраической геометрии XIX века, представлявшей со­ бой раздел формульного анализа.) Эта статья открывает цикл обзоров по топлогии, в которых развитие ее отдельных разделов будет освещено более де­ тально.

Глава

ПРОСТЕЙШИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

Топология изучает топологические свойства, топологические инварианту математических объектов различной природы, в первую очередь — достаточно общих геометрических фигур.

С точки зрения топологии, геометрическими фигурами могут быть как общие многогранники различного числа измерений («комплексы»), так и.непрерывные или гладкие поверхности любого числа измерений, как в евклидовых пространствах, так и сами по себе («многообразия»), иногда — подмножества бо­ лее общей природы в евклидовых пространствах или многооб­ разиях, а иногда — в функциональных, бесконечномерных про­ странствах. Невозможно дать общее строгое определение топологического свойства или топологического инварианта. Ин­ туитивно, однако, можно сказать, что топологическими свойст­ вами называются, как правило, те, которые в определенном смысле устойчивы, не меняются при малых изменениях или де­ формациях (гомотопиях) геометрических фигур (или более общих геометрических объектов) и не зависят от способа их задания. В частности, для различных многогранников («комп­ лексов») под изменением способа задания понимают нередко операцию измельчения или подразделения, где каждая грань любой размерности сама разбита на мелкие части и превраще­ на в более сложный многогранник, причем для разных граней это сделано согласованным образом на их общих границах.

Таким образом, весь многогранник превращается формально в более сложный с большим числом граней всех размерностей.

Топологические свойства, числовые или алгебраические тополо­ гические инварианты должны быть общими для исходного и измельченного (подразделенного) комплекса.

1) П р о с т е й ш и е п р и м е р ы. Напомним известную всем элементарную «теорему Эйлера», хотя говорят, что* это утверждение было известно и до него:

Для полного выпуклого многогранника #в трехмерном евкли­ довом пространстве Rz сумма числа вершин и двумерных гра­ ней минус число ребер равно двум.

Это — топологическое свойство, не зависящее от подразде­ ления выпуклого многогранника (комплекса) в i?3.

8

2) Другое элементарное топологическое наблюдение, восхо­ дящее к Эйлеру--так называемая «задача о трех мостах и трех колодцах»: имеется тройка точек плоскости R2 (три «до­ ма») - - аи (h, /-,, и другая тропка точек (три «колодца») — Л ь Л2, А-л. Окалывается, нельзя каждый «дом» а.} соединить нееамоперееекающимся путем («мостом») с каждым «колодцем»

Л, так, чтобы все мосты попарно не пересекались на плоскости.

Разумеется, в трехмерном пространстве Rz это можно сделать.

Топологически можно сказать так: рассмотрим одномерный комплекс (их называют «графами»), состоящий из девяти р е ­ бер А\,. /, / Г 2, 3, и шести нерпшп (ait Aj), где граница устроена так (обозначения границы ()хи), что дх^ — э.г[)А^ i, /== 1,2, 3. Значок U означает объединение.

Теорема Эйлера сопоит н том, что этот одномерный комп­ лекс (граф) невозможно расположить на плоскости R2 без с а ­ мопересечении. » ю чакжс 'юиологическое свойство данного комплекса.

11рииедснныс здесь наблюдения Эйлера могут рассматри­ ваться как отдаленные прообразы идей комбинаторной тополо­ гии топологии комплексов и многогранников, построенной много позднее Пуанкаре. Следует иметь в виду, что использова­ ние комбинаторики при определении и изучении топологических инвариантов геометрических фигур является лишь одной из их интерпретации, которая дала удобный и строгий метод их опре­ деления на нервом ггаие развития топологии п, конечно, сама но себе может быть полезна в некоторых приложениях. Те ж е самые топологические» инварианты, однако, допускают и дру­ гую интерпретацию в ряде случаев например, с точки зрения дифференциальной геометрии и математического анализа.

В качестве примера, вернемся к выпуклым многогранникам (пример 1 выше) и, несколько сгладив их вдоль ребер и во всех углах, перейти к общим гладким выпуклым замкнутым JIOверхногтям в /\':* границам выпуклых тел. Обозначим такую поверхность через А1Л На поверхности имеется Гауссова кри­ визна К(х) и элемент площади da(x), где х(М2 (точка). Имеет место следующая формула Гаусса l^k'ixldaix) 2. (1) В дальнейшем будет ясно, что эта формула связана с тем ж е самым юиологичееким свойством.- что и теорема Эйлера о вы­ пуклых многогранниках. Впрочем, теорему Эйлера можно не­ посредственно получить из формулы Гаусса (1), если перейти от гладкой поверхности к пределу, который является много­ гранником и учепь свиль интегральной гауссовой кривизны с телеч'нмм углом. Формула (1) распространяется и па певыпуклые замкнутые поверхности «без дырок».

Третья интерпретация, как оказывается, того же самого еще не сформулированного общего топологического соотношения (распространенного на невыпуклые фигуры) содержится скрыто в нижеследующем наблюдении, которое, как говорят, принад­ лежит Максвеллу: рассмотрим остров, берега которого круто (под ненулевым углом) уходят в море, на поверхности которого нет идеально плоских и прямолинейных участков. В этом слу­ чае число вершин плюс число ям минус число перевалов рав­ но 1. Со свойствами замкнутых поверхностей в i?3 это можно естественно связать, формально продолжив поверхность остро­ ва под воду и замкнув ее под водой как выпуклую всюду внизу (т. е. мысленно представив себе, что остров «плавучий»). Тогда у полученного «плавучего» острова появится еще одна яма — самая глубокая точка. Мы придем к утверждению, что число ям (локальных «минимумов» высоты) плюс число вершин (ло­ кальных «максимумов высоты») минус число перевалов («се­ дел») равно 2, как и в теореме Эйлера или формуле Гаусса для поверхностей без дырок.

А как быть, если многогранник, замкнутая поверхность в R3 или плавучий остров образуют поверхность более сложную?

Замкнутой поверхности М2 в R* можно сопоставить число — ее «род» g^Q, иногда имеющее наивную интерпретацию «числа дырок». При этом верно соотношение (Гаусс—Бонне) ±п^ К (х) do (х)=2-2g. (2) м* Точно также видоизменяется формулировка теорем Эйлера и Максвелла: число 2 заменяется на число 2—2g. Начиная с Пуанкаре, стало ясно, что здесь возникают общие соотношения для очень широкого класса геометрических фигур любого чис­ ла «измерений.

Несколько другие топологические соотношения были откры­ ты Гауссом для замкнутых несамопересекающихся кривых в i?3. Общеизвестно, что замкнутая непрерывная несамопересекающаяся (пусть гладкая, кусочно-гладкая или даже кусочнолинейная) кривая разделяет плоскость R2 на две части, так что из одной в другую нельзя пройти непрерывным путем, не за­ тронув эту кривую. Идеально строгое логическое оформление этого очевидного наглядного факта в рамках определенной системы аксиом геометрии и анализа носит название «теоремы Жордана» (хотя, конечно, это на самом деле в несколько упро­ щенной форме заложено в аксиоматике; не заботясь о мини­ мальности, можно этот очевидный принцип добавить к системе аксиом). Это относится и к любой полной, т. е. неограниченно продолженной, незамкнутой кривой, уходящей обоими концами в бесконечность в R2 и не имеющей нетривиальных предельных точек в конечной части плоскости. Этот принцип имеет очевидное обобщение на /г-мерные пространства: замкнутая гиперпо­ верхность в Rn разделяет пространство на две части. Более то­ го, локальная форма этого принципа лежит в основе одного из общетопологических определений размерности индукцией по п.

Имеется, однако, и другое менее очевидное обобщение этого принципа, проявляющееся уже в трехмерном пространстве /?3.

Рассмотрим две непрерывные или гладкие несамопересекающиеся гладкие кривые в Яъ, которые попарно также не пере­ секаются:

Yi (0 = {Xх (t), х2 (t), х* (t)), 7 l (t+2n) =71 (0, ?2 (т) = (xl (T), x2{%), xz{%)), 72(т+2я)=7 2 (т).

Рассмотрим «сингулярный диск» Dt, ограничивающий кривую yt, т. е. непрерывное отображение двумерного единичного диска в Rh jcy=-=jc«(r, Ф), 1 = 1, 2, а = 1, 2, 3, где 0 г 1, 0 Ф 2я, так что на границе это отображение дает кривую уГI r - i ^ ^ W ' a = L 2, 3, причсм с = / для / = 1 и с = т для t — 2.

р р О п р е д е л е н и е. Кривые yi и 72 в i?3 называются нетри­ виально зацепленными, если всякий сингулярный диск D\ с границей 71 имеет общую точку с кривой 72 (или, наоборот, вся­ кий сингулярный диск D2 с границей 72 имеет общую точку с 7i). Рисунок показывает простейшие примеры.

–  –  –

Рис. 1 n В n-мерном пространстве R могут зацепляться замкнутые по­ верхности—многообразия размерностей р и д, так что2 p + q= «/г—1. В частности, замкнутая кривая на плоскости i? может зацепляться с парой точек («нульмерной поверхностью») —это и есть принцип, что кривая разделяет плоскость.

Гаусс, однако, обнаружил эффект топологического зацепле­ ния двух непересекающихся кривых уь у2 в i?3 иначе, вычислив посредством интегрирования число витков одного провода во­ круг другого. Коэффициент зацепления двух замкнутых кри

–  –  –

Рис.

Элементарно-топологические свойства путей и их гомотопий пронизывают комплексный анализ с самого момента его воз­ никновения в XIX веке. Безусловно, они являются одной иа важнейших компонент, обеспечивших эффективность и успех теории функций комплексного переменного во всех приложе­ ниях. Комплексно-аналитические функции f(z) определены и однозначны, зачастую, лишь в части плоскости, т. е. в некото­ рой области UczR2, не содержащей полюсов, ветвлений и т. д.

Интеграл Коши по замкнутому контуру yaU является тополо­ гической величиной как функция контура:

If(y) = §f(z)dz. (4) Y Это означает, что интеграл не меняется при непрерывной гомо­ топий (деформации) кривой -у внутри области и, т. е. при де­ формации, не задевающей особенностей функции. Именно эта свобода — возможность деформации замкнутого контура, не меняя интеграла, дает громадные возможности в различных применениях.

Более сложные топологические явления возникли в XIX ве­ ке— по существу, начиная* с Абеля и Римана — при изучении многозначных функций комплексного переменного f(z), зада­ ваемых либо неявно уравнением F(z,w)=09w=f(z), (5) либо аналитическим продолжением на всю плоскость функции, которая была по своему первоначальному смыслу определена, аналитична и однозначна в какой-то части плоскости.

Первый случай особенно ярко возник, как стало ясно после Римана и Пуанкаре, в процессе решения Абелем широко известной проб­ лемы неразрешимости алгебраических уравнений в радикалах, тт F{z, w) —полином от двух переменных F(z0 w)^wn+ai(z)wn^l+...'+ап(г)=*0. (5') Существует, вообще говоря, набор изолированных точек ветв­ лении плоскости (z b •. -, 2 m ), вне которых полином имеет ров­ но п различных корней Wj(z), гфгк ( / г « 1,..., т). Область U здесь представляет собой плоскость R'2 с удаленными из нее точками ветвления U= R*\(Zx[}...[)Zm).

В общем случае ветви оказывается невозможным разделить.

Выбрав точку Го, не являющуюся точкой ветвления, и набор п корней км Uo),..., wn(Zi)), мы определяем около z\) ровно п различных функций w}(z), F(z, ш}(г))-Л). Однако продолжая любую из тгпх функций W) дальше, мы встретимся с трудно­ стью такого рода: обойдя вдоль пути какое-то количество точек ветвления и вернувшись назад в точку rUf мы можем получить нетривиальную «моноОрилшю», т. е. прийти к другому значению *M*o)^"Wj(*o), Яф]'.

Более строго, следует рассмотреть всевозможные кривые у (О /т \ в области U AJ 2 \(ll Zj) такие, что у (а)- -у(Ь) -2 0, а ' ' - '• Каждая такая кривая определяет перестановку ветвей функции ш(г): если начать с ветви Wj(z{i) и пройти по пей вдоль контура y(t) от а до ft, то мь1 придем к ветви ws(z») "Р" / /;- И т а к ' каждому такому пути у(1) отвечает перестановка rY листов у »s над г„:

Y-c v, OyU)' 5* Обратному пути у4 (т. е. пути \и где время течет обратно от b до а) отвечает обратная перестановка ayl:s-»J. Суперпозиции путей у» («т а до ft) и у* (от ft до с), т. е, прохождению у* после Yi отвечает суперпозиции или произведение перестановок;

если у2 Yi суперпозиция путей, то:

В общем 11евырс)ждешюм случае вся группа шфостановок из п элеменюв порождается перестановками вида о Этот факт и является скрытой причиной неразрешимости в радикалах ис­ ходного алгебраического уравнения / ; (г, w)-() щт Пг. Мож­ но рассмотреть «базисные» пути yh / - - l,..., mf где каждый подходит по какому-то пути от Zo к г,, затем однократно обхо­ дит только одну точку ветвления zs и возвращается назад по.

тому же пути (см. рис. 3).

Рис. 3 Максимально невырожденные «типичные» точки ветвления дают перестановку только двух листов (т. е. оу — это простая транспозиция двух индексов). Впрочем, набор транспозиций порождает все перестановки.

Можно заметить, что перестановка ОУ не" меняется, если путь у подвергается непрерывной гомотопии такой, что концы все время находятся в точке г0. Здесь все аналогично свойствам интеграла Коши (см. (4) выше), но алгебраически более слож­ но: перестановка о зависит от пути некоммутативно, в отличие от интеграла Коши:

^YieYf-^^i^Y.^^YaeYi» h (Ъ°Ь) = If (Vl) + / / Ы • (7) Анализ этого, естественно, приводит к группе, элементами ко­ торой являются гомотопические классы непрерывных путей y(t), начинающихся и кончающихся в одной точке ZQGU для любой области, любого многообразия, комплекса или даже тополсгического пространства U. Эта групйа называется «фунда­ ментальной» и обозначается через n\(U, г 0 ). F имамов а поверх­ ность F(z,w)=0 порождает гомоморфизм — монодромию — этой группы в группу перестановок «листов», т. е. ветвей функции

w(z) в точке г = г0. Здесь U — это область плоскости R2:

a:m(U9 z0)^Sny (8) Sn — группа перестановок из п символов.

Для трансцендентных функций F уравнение F(z, w)—0 может задавать многозначные функции w(z) с бесконечным числом листов (п = оо). Простейший пример таков F(z, w) ==е^-—z=0, [7 = Я 2 \ 0, ш = 1пг.

Листы нумеруются целыми числами. Если,г 0 =1, то wk = lnz0 = = 2ntk, k — целое число. Путь y(t)—такой, что |у| = 1, обхоДЯЩИЙ по часовой стрелке точку z = 0 только один раз, *у(0)~ « Y ' ( 2 K J = = 1 дает моподромшо у~ау, *-,(й) --ft—1.



Интересным и важным примером применения существенно неабелсвых свойств фундаментальной группы K\(U, zt)) для областей (/c:A):i является теория так называемых «умов», т. е.

замкнутых, пусть гладких (кусочно-гладких или д а ж е кусочнолинейных), кривых y(t)czR:\ y(i + 2n)—y(t), пли, более общо, уже упоминавшихся выше «зацеплений», т. е. наборов 7 ь - - ykCzR* замкнутых, несамопересекающихся, непарно непе­ ресекающихся кривых. При /г1 имеется матрица зацеплений (3) {yi, YJ}, 1ф], однако она не определяет всех топологических инвариантов зацепления; при Ж-= 1 коэффициент еамозацеплеиня отсутствует. Пусть, далее, к- \ и /./—-область в Я'лу полу­ ченная удалением узла 7 из 1{л (9) и=*ф\у.

–  –  –

Р«с. 4 Фундаментальная группа я [ ( / /, -Гц), где г{^1^ лежит вне узла 7, окалывается абелевой тогда и только тогда, когда гладкой гомотоиией среди узлов (т. е. так называемой изотопией) дан­ ный узел можно продеформировать к тривиальному иезацеилоипому сложению у Slc.:R'J'c:R:\ где окружность S1 лежит в пло­ скости (см. § 5, \\п. 'I). Из элементарной теории узлов известно, что коммутированная группа И\{11) •••п\/[пи nil, где [ я |, я ц ] коммутант группы пи Для областей V •дополне­ ний узла в A:i -всегда оказывается бесконечной циклической, независимо от топологического типа узла 7- Д л я зацеплений {уь • • • - Ун) группа II\(U) определяется матрицей зацеплений 1Т.Р 7/'}- j /"Р- Дли В(Ч ' Х пространств U коммутированная груп­ па Л | / | : г ь Я | ] называется полномерной группой целочисленных гомологии» и обозначается через H\{U) пли fl\(U* Z ). Запись групповой операции в Я\ всегда аддитивна.

Д л я плоских областей Uc:R?\ в связи с теорией интегралов типа Кошп, мы уже видели (выше), что интеграл Кошп от

–  –  –

определяет линейную форму на одномерной группе гомологии #i(f/, Z) с комплексными значениями^ согласно (7).

Пожалуй, будет уместно в заключение этого обзора элемен­ тарно-топологических наблюдений привести еще один более современный пример, появившийся, по-видимому, впервые в 30-х годах из теории так называемых сингулярных интеграль­ ных уравнений на окружности или отрезке, возникших в ряде важных краевых задач двумерной теории упругости (Ветер, Н. И. Мусхелишвили). Позднее, это наблюдение приобрело весьма широкое значение и сыграло большую роль в развитии теории эллиптических линейных дифференциальных и псевдо­ дифференциальных операторов. Пусть имеется два гильберто­ вых пространства # ь Щ и нет еров оператор А ; НХ-^Н2, т. е.

замкнутый ограниченный линейный оператор с конечномерным ядром A(h) = 0, А€КегА (не путать с понятием ядра интеграль­ ного оператора!) и конечномерным «коядром», т. е. ядром со­ пряженного оператора А * : # 2 - # ь Л*(Л*)=0, Л*Кег-4*.

В классе нётеровых операторов А гомотопическим инвариантом оказывается «индекс* ь(А) где i(A) =dim(Ker-4)— dim(Ken4*), т. е. разность чисел линейно независимых решений уравнений Л(Л)==0 и Л*(Я*)=0. Это означает, что индекс 1(A) не меняет­ ся при непрерывной деформации оператора А в классе нётеровых операторов, хотя отдельно размерности каждого из двух слагаемых могут меняться.

В простейшем случае несингулярных ядер Аг(л\ у) интеграль­ ных операторов К была с начала XX века изеестпа альтернатива Фредгольма, означающая па языке функционального анализа, что 1(Л)'-*() для операторов Л вида Л.-•• 1 | Д", где К— так называемый компактный оператор, т. е. К (Л/) — компактное мно­ жество в //. дли всякого ограниченного множества М в Их\ оператор 1 дает отождествление (изоморфизм) пространств Нх и ILu Кстати, добавление компактного итератора к любому нетеро-ву оператору Л сохраняет оюйстп*.. нетеровости. так что про­ стейшая деформации в классе петорончх «шераторон имеет вид At^Ar\ tK (где Ли I в классическим случае Фредгольма).

Для сингулярных ниптральних операюров во.тикаст уже нетривиальная тпологичеекаи характерце гик;» онер.ттра - - е г о индекс; явному вычислению индекса через ядро онера три по­ священы классические работы 14) 30-х п\; чрезвычайно далеко идущее обобщение Yioii теории па многомерные многообразия, завершившееся теоремой Лтьи Зингера, сыграло исключитель­ но важную роль в ншолопш и ее приложениях Этот пример покалывает во.шшшовепне топологических ха­ рактеристик не только для геометрических фигур в наивном смысле, по и для объектов совершенно другой математической природы.

Глава 2

ТОПОЛОГИЧЕСКИ!* ПРОСТРАНСТВА.

РАССЛОЕНИЯ. ГОМОТОПИИ

§ 1. Замечания из общей топологии. Терминология Хоти топологические свойства иногда и скрываются иод комбщшторио«ал1Чн1рапчесш.й маской, они все же органически связа­ ны с непрерывностью. Общ*\\ттемлтнчо:кое определение непрерыв­ ных отображений и функций почти ничего по требует- Согласно Фреше, дли этого нужно лишь вадагь на произвольном множестве точек -V так называемую шаполоеаю'» или структуру топологичестпч! пространет на. Это означает, что среди всевозможных подмножеств в,V должно быть выделено семейство * открытых множеств» lh :X пли областей, включающее само Л' и пустое множество» и замкнутое относительно двух операций; конечного пересечении и объединения • любого (дане бесконечного) числа областей. Дополнения к открытым областям Х\11 называются аммкнутыма множествами** Замыкание любого множества Vc:X обозначается через V и совпадает с минимальным замкну­ тым множеством V: V, содержащим V, Непрерывным отображением топологических пространств f:X-+Y называется такое* что полный прообраз f^1 (U) любого открытого множества UaY является открытым в X..Полный прообраз любого множества f-l(D)-~~ это совокупность всех точек х^Х таких, что образ / (л) попадает в D. Компактное пространство таково, что если рассмотреть его покрытие бесконечным числом областей Ua* \jUaz=zX, то можно всегда выделить некоторое конечное число а индексов «у, j = l9...fN таких, что совместно уже набор об­ ластей Uа. покрывает все X; заметим, что любая последователь­ ность точек xt в X имеет предельную точку Хоо в X, т. е..

такую точку, что в любой открытой области /УЭХоо» содержащей точку Хоо, имеется бесконечное число точек нашей последователь­ ности.

Хаусдорфово топологическое пространство таково, что лю­ бые две точки Хи %2 содержатся в некоторых непересекающихся открытых областях. Топологическое пространство X называется метрическим, если для любой пары точек определено расстоя­ ние р(хи Xi), непрерывное по хи х2 и такое, что р(хи х2)0 если х\ Фх% р(х9 х ) = 0, p(Ti, x2)=p(x2i xi)9 р(*ь х2)+9{хь хъ)р{хи хг).

Метрические пространства всегда хаусдорфовы. В линейно связных пространствах любые две пары точек хи х2 можно со­ единить непрерывным путем, т. е. отображением отрезка 1--Х~ Любое пространство разбивается на линейно связные компо­ ненты. Совокупность этих компонент обозначается через ло(Х) и называется «нульмерным аналогом гомотопических групп»* хотя, вообще говоря, множество 'По(Х) группой не является,»

исключая особые важные случаи (ниже).

Пара топологических пространств X, Y порождает их «пря­ мое произведение» XxY, т. е. множество пар точек (хи х2), где х\ из X и х2 из У, и базис открытых областей порождается пря­ мыми произведениями областей сомножителей UczX, VczY UxVczXxY, учитывая операции конечного пересечения и про­ извольного объединения.

Кроме того, строится пространство всех непрерывных обозначаемое через Vх, где задается отображений f:X-+Y, так называемая «компактно-открытая» топология. Это озна­ чает, что базис открытых областей в YX=Z задается парами — открытым множеством VdY и замкнутым (даже компактным) КаХ. Эта открытая область в пространстве отображений состоит из всех непрерывных отображений /, загоняющих К в I/, т. е.

f(K)aV. Если само пространство X компактно,- a Y имеет метри­ ку р, то расстояние р" между функциями /, g:X-Y задается так р ( /, g) = max p ( / ( * ), g(x)).

–  –  –

Рис. 6 Более общо, можно рассмотреть любое замкнутое подмножество АаХ и непрерывное отображение f:A-~Y. Возникает аналог букета после отождествления.

X\/(A,f)Y. = Xl)Y/x&f(x)9 хбА, f(x)eY.

Важным случаем является также «цилиндр отображения» С/, где f:Z-+Y. Рассмотрим произведение Z на отрезок / (от а до

Ь) и введем отождествление Cf^ZxI\]Y/{x, ft) « / ( * ). (2) Здесь A = Zx(b), X—ZxL Структура топологического прост­ ранства вводится естественным образом (подмножество из С/ открыто тогда и только тогда, когда открыты его прообразы при естественных отображениях ZXl~^Cf и Y-Cf). На любом подмножестве AczX в топологическом пространстве X возника­ ет индуцированная топология, где открытыми областями явля­ ются просто пересечения с А любых открытых областей из X Сходящиеся последовательности точек xt в топологическом пространстве X таковы, что они имеют предел —точку х^вХ с таким свойством: любая содержащая ее открытая область x^bUczX должна поглощать почти все точки последовательно­ сти точек Xi-^-Xoo", «почти все» означает — «все, кроме конечного числа точек». Топологию можно задавать как класс сходящих­ ся последовательностей.

Гомеоморфизм топологических пространств — это, по опре­ делению, непрерывное взаимно однозначное отображение 2* f : X-*-Y, такое что обратное отображение f~l : Y-+X также не­ прерывно. Непрерывность обратного отображения автоматиче­ ски следует из предыдущих требований только для компактных пространств X. На различных семействах гладких функций естественно возникают разные виды сходимости с учетом раз­ ного числа производных, так что взаимно однозначные отобра­ жения с не непрерывным обратным — реальность. Нередко рас­ сматривают алгебраические структуры вместе с топологически­ ми: непрерывные (топологические) группы, векторные пространства, кольца, поля и т. д. таковы, что алгебраические опе­ рации задаются согласованно со структурой топологического пространства, т. е. непрерывными функциями (отображениями).

С чисто логической точки зрения представляется крайне естественной комбинация понятия топологического пространства со свойством локальной евклидовости, хотя все естественные примеры дополнительно имеют гладкую (или PL) структуру.

О п р е д е л е н и е. Топологическим многообразием называет­ ся (хаусдорфово) топологическое пространство.X, такое что для любой его точки хХ найдется содержащая ее область (от­ крытое множество) UaaX, которое непрерывно гомеоморфно области в n-мерном евклидовом пространстве Rn.

Это означает, что задан непрерывный гомеоморфизм Фа-СЛх-*

-/?/г, определяющий в области Ца локальные координаты (х1а,..., х%), заимствованные из Rn с помощью гомеоморфизма ф а.

В общей области xdUa(~)Uf] имеется замена локальных коорди­ нат, учитывающая, что одна точка х имеет два набора координат, § 2. Гомотопии. Гомотопический тип Непрерывной гомотопией (или просто гомотопией, деформа­ цией) отображения / :X-*Y называется любое непрерывное ото­ бражение цилиндра F=F(x9 -t) :XXI-+Y, хеХ, аШ, где / — отрезок от а до ft, причем F(x, a)=f(x).

Два отображения f, g":X-+Y гомотопны, если найдется непре­ рывная гомотопия F такая, что F(x, a)=f(x)t F(x,b)-g(x)...

g© Часто в пространствах А и У отмечают одну точку хиьХ, у0ь и рассматривают класс связанных или «пунктированных» ото­ бражений f;X~}\ где f(xu) —yih Гомогошш также рассматри­ вается лишь с учетом что го требования F (х{), /)•••//„ дли всех t.

Гомотопные отображения в этом классе называются --связанно гомотопными».

Вообще говоря, классы эквивалентности гомотопных отобра­ жений /-.Х-*К представляют собой линейно связные компо­ ненты пространства отображений, образующие множество :r.(}' v ). Эти классы эквивалентности называются «гомотопиче­ скими классами-» отображений (связанных пли нет).

Нередко рассматривают пары пространств АгэЛ, У:^В и всевозможные отображения /:А-Т, где* /(Л)сгЛ, Возникает пространство отображении пар [:(Х, Л)-»(У, В) и его линейно связные компоненты •--гомотопические классы отображишй пар. Полезно дли ряда важных целей (ниже») рассматривать также категорию троек (АгэЛ^Жо), где л,, ^ одна точки, соответствующий класс отображений f:X~+Yf где f(A)cz • /s /'(л.,) //и и их гомотопические классы (связанные отобра­ жения нар (Л', Л)).

О п р е д е л е н и е. Непрерывное отображение [: X-»Y на­ минается гомотопической эквивалентностью, если найдется гомотоничоекп обратное отображение д : Y»X такое, что "обе су* перпозицпи gof:X-X и f^g:Y-Y гомотопны тождественным отображениям \Х\Х-+Х, \Y:Y-+Y% 1х(х)*гях, l y ( i / ) = | /, Аналогично определяется связанная гомотопическая 'жнпвалеитноеть, если фиксированы точки х()оХч ?/о-У, При тгом про­ странства А' и Y называются гомотоинческн -жвивалентными (связанно гомотопнчееки эквивалентными) Х ^ У, пли простран­ ствами общего гомотопического типа. Пусть заданы дополни­ тельно следующие ограничения: А' вложено в У; отображение / чиждепнешю на А', т. е. является вложением; отображение Я : У *Х также тождественно на точках из А; весь провесе гомспонни / ; отображения /(:}'•»• А к тождественному отображе­ нию lv : V • } ' таков, что / ; (А\ /) ;- ;.Г ДЛЯ всех точек.v-\Y.

В зтом случае подпространство Ас;:,У называется • Реформа* ци-шпм рари.ьтмъ. Например, любая открытая область У*"' •*U*. 7\п с гладкой границей в евклидовом пространстве обла­ дает деформационным ретрактом меньшей размерности. Если У- Н*\ ю деформационным ретракгом в нем является одна точка, Такие пространства называют стягиваемыми или гомо­ топическн тривиальными; У ~ 0.

Ретракцией } : X-+Y пространства X на подпространство YczX называется такое отображение, что /===1у на У. Само У назы­ вается ретрактом в X.

§ 3. Накрывающая гомотопия. Расслоения Рассмотрим непрерывное отображение р : А"-^У и произволь­ ное отображение f:Z~-*Y. Говорят, что отображение / накрыто, если задано также отображение g\Z-+X такое, что p-g = f.

Пусть задана произвольная гомотопия F: ZXI-+Y, где I — отрезок от а до Ь, и пусть в начальный момент t=a отображе­ ние f=F(zy а) накрыто любым отображением g:Z-*X.

О п р е д е л е н и е. Отображение f:X-+Y называется рас­ слоением, если для любого пространства Z любая гомотопия F9 накрытая в начальный момент t — a, накрывается во все момен­ ты времени a^t^b некоторой гомотопией G :ZxI-+X, так что p-G(zt t)~F(z, t), G(z, a)=g(z). Гомотопия G называется «накрывающей гомотопией над F с начальным условием g».

.По причинам технического характера, требование, входящее в это определение, обычно ослабляют, налагая на пространст­ во Z те или иные условия (например, условие клеточности, см.

гл. 3). Существенного воздействия на содержание понятия рас­ слоения это изменение определения не оказывает.

Обычно требуется также условие стационарности: надо, что­ бы накрывающая гомотопия G была «стационарной вместе с F». Это означает, что если какая-то точка z$Z не меняется вместе с изменением t на некотором отрезке, то это же должно быть выполнено для G(z, t).

Во всех важнейших случаях построение накрывающей гомотопии может быть осуществлено при помощи так называемой гомотопической связности. Это — однозначный рецепт накры­ вать произвольную гомотопию отображений точки z(=Z (т. е.

путей в У), если произвольно отмечено начало х0 накрывающе­ го пути при t=a в X. Этот рецепт должен непрерывно зависеть от пути в У и начальной точки накрывающего пути в X. Непре­ рывность по этим переменным и обеспечивает распространение на любые в разумном смысле пространства Z свойства накры­ вающей гомотопии.

Слоем расслоения называется пространство Fy^=p~l(y)J убУ.

Положим: Z=Fyy g = l ~, f-.Z-^У —отображение в одну точку, y(t) —путь движения из точки у=#о в любую точку ух. Исполь­ зуя накрывающую гомотопию (в форме гомотопической связ­ ности, как мы всегда будем предполагать), немедленно устанав­ ливается важный факт: все слои Fy над линейно связной ком­ понентой базы-расслоения пространства У—гомотопически эк­ вивалентны друг другу.

Далее, У будет всегда называться «базой», X — «простран­ ством расслоения», F = Fy— «слоем», причем база У будет 22 считаться линейно связной. Отображение р называется €проПростейшие примеры:

1. Н а к р ы т и я. Они определяются таким требованием: для лю­ бой точки y(]Y найдется содержащая ее открытая область I!qcY такая, что' полный прообраз frl(Uq) есть прямое произведение области U",. на чисто дискретное множество F, состоящее из изо­ лированных точек в любом (возможно, бесконечном числе), /*"-•-•-• IX,, P"l(U) •(/«XFi-UU-.

Множества U п открыты в X, не пересекаются попарно; на каж­ дом из них отображение /; является гомеоморфизмом с областью Uq* Конкретные при мер [л накрытий над областями плоскости R~ обсуждались, и гл. 1, в связи с римановыми поверхностями.

Гомотопическая связность строится очевидным образом рис. 7, 8).

Н=

–  –  –

Рис. 8 Пусть дано движение точки у(%) по базе Y с началом в конце избранного пути y(b)=yo(b). Приставляя пройденный точкой у (г) отрезок пути к начальному -уо, получим тривиальную го­ мотопическую связность — рецепт накрывать в пространстве X движение точки базы у{%) (рис. 9).

0-swf Рис. 9 В этом примере пространство расслоения X содержит под­ множество ВаХ, состоящее из одноточечных путей 7 ( 0 = c o n s t Легко видеть, что В является в X деформационным ретр актом.

Особо важен пример, когда В есть одна точка (у0). Простран­ ство X обозначается в этом случае через ЕУо.Оно стягиваемо.

Слои Fy над yY обозначаются через Q(#o, у). Для всех у они гомотопически эквивалентны друг другу, если У — линейно связное пространство. Если у=уо, мы имеем пространство петель

3. Несколько более сложно обосновывается свойство накры­ вающей гомотопии для локально тривиальных расслоений— общих расслоений, где все слои гомеоморфны. Здесь требуется, по аналогии с накрытиями, чтобы любая точка базы yQV содер­ жалась в некоторой области Ua такой, что область p~l(Ua) в пространстве Л" гомеоморфпа прямому произведению UtiXF* с помощью гомеоморфизма Фа, согласованного с проекцией ( fa:p"l(lfa)--(faX^' Слой F уже неднекретен. В пересечении двух таких областей / « П ^ н « ^ а р имеется дна гомеоморфизма %:jr{(Var).VafiXF*

Отображение 1(ф • - 4V-4'{-1:У(ф X F - V**.* X F является mcVKjiiным, тождественным по базе Г.й!., и поэтому имеет вид:

-W|.(tt\ / ) (•*-', L i : ( ' ^ ) ( / ) ), где Я«|1 (w):F~F является H.\ietаморфизмом слоя, непрерывно зависящим от «д\ Н области \\" / ^ | | / '?\) Ил мы имеем:

AU!' -W-V'U ""'• (1) Отображения л,-,- называются (функциями склейки-. Ксли для какого-то покрытия /',,, пространства Г областями /'„. шн-чтои набор функции склейки A,-.,JI, обладающий свойством (I), то рас­ слоение восстанавливается однозначно. Конечно, требуется, чтобы области IKt были допустимы, т.-е. над каждой из них расслоение сводилось к прямому произведению Vi!tl:p l (Г'„)-.-Г/«XI'.

I1опятие локально тривиального расслоения или общего расслоении, описанное здесь, является фундаментальным в тео­ рии многообразии, дифференциальной топологии н геометрии и всех их приложениях. Далее оно будет многократно встре­ чаться. Гомотопические- связности в важнейших примерах бу­ дут порождаться так называемыми дифференциально геомет­ рическими сачиностями в расслоенных пространствах. Напом­ ним, кстати, что дифференциально геометрические связноеiи в локальной координатной форме записи называются в современ­ ной физике полями Максвелла* «Яига -Миллси.

§ 4. Гомотопические группы и расслоения.

Точные последовательности. Примеры Гомотопические группы, к определению которых мы сейчас переходим, "»то важнейшие инварианты, играющие фунда­ ментальную роль в построении топологии. Как выяснилось, это объекты первоочередной важности в приложениях топологиче­ ских методов в современной физике, определяющие, например, структуру особенностей (днеклинаций) в жидких кристаллах, а также* в ряде других си гуанин. В vnm параграфе*, правда, мы не сможем описать достаточно серьезных методой их вычисле­ ния, которые вынужденным образом огладываются До теории многообразий и гомологии.

25 Обозначим через Sn сферу в R n+1 п

–  –  –

чиная с единичного и оставляя все время на месте точку s(h поменять местами верхнюю и нижнюю полусферы Для п1 абелева группа тсп(Х, XQ) записывается аддитивно.

Можно считать, что элементы на пп(Х,х()) реализованы как гомотопические классы отображений диска 1)п таких, что гра­ сфера Sn l — переходит в одну точку:

ница

–  –  –

зависящее только от второй координаты L Такое отображение цилиндра естественно можно непрерывно приставить к любому отображению f:(D",Sn-'){to}(X,* 0 ) и получить расширение исходного отображения вдоль пути у:

(f. Y) :(Z"U[S»-1X/], 5"-iX2){to}(X, xtf.

С помощью этой конструкции строится естественный изомор­ физм гомотопических групп в разных точках:

–  –  –

Гомоморфизм 7(72) зависит лишь от гомотопического класса пути у среди путей с началом в х0 и концом в хг. Для х0—=Х! эти гомотопические классы путей как раз образуют фундаментальную группу лг(Ху х0). Итак, мы имеем вывод: группа щ(Х, х0) действует как группа операторов • на группах пп(Х, х0). Для п=\ это действие представляет собой просто внутренний авто­ морфизм группы щ:

y^Httj^ytiY1* #6%, 7б%Для п\ группы кп(Х,х0) — абелевы., Весьма важным является класс «односвязных пространств»^ таких, что щ{Х,Хо) тривиальная группа. В этом случае иа

–  –  –

Рис, 17 Рис 18 предыдущего вытекает, чю определение гомотопических групп яп(А\дГо) пс злипсит существенно от ючкн л',ь Эти группы мож­ но определи 1ь пропо как гомотопические классы отображений сферы Sfl *Л\ не е.лГнпяеь о связанной -ючке.

В оощем случае» пеодпосвиапых (по линейно сви.шых) про­ странен енооодиые гомоиншческне классы отображении сферы Sfl *Х (г. е. оеа связанной точки) определяются алгебраически как орбиты действия группы n-ni{X,x0) на группах яп. Для п- '1 чю сводится к классам сопряженности в группе щ.

Прямо на сн1ределепия тривиально следует» что гомотопи­ ческие группы прямого произведения являются прямыми сум­ мами групп сомножителей я„ (-Y X F» л'о X Ik) • п„ (Л', ^«)Лял (К, у0).

Имеются тлили* *н1сн:юрное* произведение пространств Х/\ V X X У/(Х X!k)V(x,X Г) и билинейная сщерация спаривания гомотопических групп

Щ (-V)v-jr,,,(К)' кс/,, п (Х/\К), где полагаем:

g:Sm«V, S'*m Ф - ' ( / ( л ' ). «(."))• fiSt-t-X, ^дЛХ Введем групповое кольцо 2[я[» элементы которого по опреде­ лению ивлшотеи формальными с уммам» элементов группы я с целыми коэффициентами X/—целые числа; UiOn. Сложение и умножение вводятся естест­ венно a- •wvir/i» ft- -ilfi/flyS|iyty)" • 2 ( ^ l l y ) t t i 4 ^ y ! -"*- I1) Другая интерпретация группового кольца, более привычная с точки зрении анализа» такова:

Рассмотрим функцию а (и) на группе, ивп, с целыми значе­ ниями a(u)EZ и конечным носителем в я. Пусть заданы две таких функции а (и) и Ь(и). Их произведение определяется как «свертка»:

а И b И = 2 а (*0 6 С0-1**)- (2 aob {и) =-= 2 Сумма определяется очевидным образом.

Это —то же самое кольцо Z[JT], распространяемое на непре­ рывные группы заменой суммы на интеграл.

Итак, говоря языком а'лгебры, все группы гомотопий тсп(Х,х0) для / г 1 естественным образом являются Z[TC]-MOдулями, где п=к\(Х9х0), т. е. линейными пространствами над кольцом «скаляров» Z[jt].

Группа щ была введена еще Пуанкаре. Ее обобщения jtn на п1 были введены в начале 30-х годов (Гуревич); поначалу структура Z[jt]-модуля замечена не была, и абелевость групп я п для /г1 создала ошибочное впечатление формальной про­ стоты этих объектов сравнительно с щ. Лишь позднее (по-ви­ димому, начиная с Уайтхеда, около 40-х ГГ.) начала эпизоди­ чески использоваться структура модуля. Активно топология на­ чала работать с гомотопиями — Z[я)-модулями лишь в 60-х годах, в процессе интенсивного развития теории неодносвязных многообразий. Интересно, что в теории гомологии в некоторых особых задачах структура модуля играла важную роль еще в 30-х гг.

Рассмотрим теперь категорию троек Х=АЭх0.

Определение. Относительной гомотопической груп­ пой лп(Х,А,х0) называется множество гомотопических классов, отображений f:(D",S"-1, So)-+(X,A,x0), nl где f(S ^ )czA7 f(s0)=x0. Групповая структура естественно вводится в это множество при п 1. Для п 2 группы л п (Х,А,х 0 ) являются абелевыми. Группа щ(А,х0) действует как группа операторов на пп(Х,А,х0), т. е. эти группы являют­ ся Z[я]-модулями при я 2, где п = п\{А,х0).

–  –  –

Естественно определяются гомоморфизмы этих групп / * : пп (X х0) - яд (X, А, х0), д:кп(Х, Л, х0)-лп^(А, х0), (3) i*:nn(A,x0)-+nn(X, xQ).

Гомоморфизм j \ определяется исходя из того, что отображение /:(Л Я, S"-l)-(X, A-0) интерпретируется и как отображение #: / : ( /, S» Л А'0)-(А', Л, х()), так как * 0 еЛ.

Гомоморфизм rf определяется, исходя из отображения /:(/', 5 я *, 5(,)-(A'f Л, JC0), переходя к отображению границы д •-Дя.--(5я'|.^)-(Л^о)Определение гомоморфизма вложения* /:}; очевидно, учитывая, что Лс„/А'.

Почти оченидио также, что суперпозиция любых двух '.со­ седних* гомоморфизмов (/:f:, y\f;, tf) тривиальна:

Отсюда немедленно вытекают вложения 1ш/:l:t Ker ysfc, 1 у:,л Ker d, Im dcKer J*.

ш Оказывается (и это доказывается несложно), что эти вложения групп являются точными равенствами («свойство точности:)):

Inu\fc КегУл, liny* -Kerd, Imc? -Кег^- (4) Обычно что выражают, говоря, что нижеследующая последо­ вательность групп п гомоморфизмов точна (точная гомотопи­ ческая последовательность пары (А\ А))... ' «„ (Л, л-()) 'я л (Х хи) 'ля(Л\ Л, л-0) гяяЧ(А, Хо)-.... (б).

Гомотопические группы- абсолютные д,.(А\ х()) и относительные яя(А', Л.Ло)являются, как" говорят, ко вариантными функто­ рами на категории топологических пространств с отмеченной точкой или на категории чроек (Л', Л» х()). Это означает, что при отображениях пунктированных пространств (Л', Л"0) (троек (X, Л, XQ)) f:X"Y, Л^ х» w/„, гомотопические группы испытывают гомоморфизмы f*::tn(X, xlt)-nn(Y, //()), /:,:;тгДА\ Л, л-о) « я (^. Л. Уо)Эти гомоморфизмы определяются естественно, поскольку вся­ кому отображению

–  –  –

j*:nn(X, xQ х0)~=лп(Х, х0)-л;я(Х, A, x0).

Подобного рода набор элементарных свойств гомотопий и го­ мологии — функториальность и точная последовательность па­ ры (Х,А)—после многократного наслоения порождают слож­ ный алгебраический аппарат топологии, как будет видно далее.

В одном случае, чрезвычайно важном в построении алгеб­ раических методов вычисления гомотопических групп, относи­ тельные гомотопические группы сводятся к абсолютным. Рас­ смотрим произвольное расслоение (выше), обладающее свой­ ством накрывать гомотопий с произвольным начальным услови­ ем в начальный момент времени p:X-+Y,p-4y0).*=Fo,XoGF0.

Важная, хотя и несложная теорема состоит в установлении сле­ дующего изоморфизма лп(Х,Ро,Хо)жкп{У,Уо), (6) причем изоморфизм устанавливается гомоморфизмом проекции р* пространства расслоения X на базу У, где слой F0 переходит в одну точку |/0. Интуитивно доказательство этой теоремы легко вытекает из свойства накрывающей гомотопий, так как все отображения диска / : Dn-*-Y, представляющие элементы из тсп(У, Уо), можно накрыть в X, поскольку весь диск стягивается по себе к точке s0 на границе диска Sn~l. Однако накрываю­ щее отображение Dn-+X не будет переводить всю границу дис­ ка в точку — оно будет переводить границу диска в слой F0 над точкой у0. Несложный анализ и приводит к изоморфизму (выше). Как результат этого изоморфизма, т. е. свойства на­ крывающей гомотопий, возникает «точная последовательность расслоения» вместо пары (X, F0):

-+nn(F0, xQ)-+nn(X, xQ)^nn(Y, y0)-nn^(FQt xQ)~

-JV,.(X, x 0 )-. (7)

–  –  –

Обозначим образующую через d. Группа jti (i?P ) совпадает с Z2 в силу накрытая (пусть образующая есть t,2 t2**i)„ Обра­ зующая / действует как отражение на сфере S. Мы имеем структуру Я2 как щ-модуля t(d)=*.—d, / 2 =1. (13) n Легко устанавливается, что ni(S )=Q при 1п. Далее»

3tn(5 n )=2, Для проективных вещественных пространств RP\ аналогично предыдущему, мы получаем rt*(RP»)-*(S«), t l ; 7ti(RP»)-Zu. (14).

3* 35 При этом образующая t группы щ (RPn) действует на базисный элемент йЫп{КРп) по формуле t(d) = (-l)n^d, (15) где (—1)п*1 совпадает с ориентацией отражения Х- X в про­ странстве Rn+l и на сфере Sn.

Заметим, что у пространства R.P00, которое определяется как предел последовательно вложенных друг в друга пространств R/n? n = l, 2,..., фундаментальная группа по-прежнему есть Z2, а все группы J% с 1 тривиальны.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |



Похожие работы:

«mitragrup.ru тел: 8 (495) 532-32-82 ООО «Митра Групп»; Юр. Адрес: 129128, г. Москва, пр-д Кадомцева, д. 15, пом. III, ком. 18А; Факт. адрес: г. Москва, ул. Ленинская слобода, д.19, оф. 411; ОГРН: 1147746547673; ИНН: 7716775139; КПП: 771601001; Банк: Московский банк ОАО «Сбербанк России»; р/с: 40702810738000069116; к/с: 30101810400000000225; БИК: 044525225 ОТЧЁТ № 562785-О об определении рыночной стоимости стоматологического оборудования Заказчик: ООО «РиО+» Дата составления отчёта: 14.01.2015...»

«Некоммерческое партнерство «Национальное научное общество инфекционистов» КЛИНИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ЦИТОМЕГАЛОВИРУСНАЯ ИНФЕКЦИЯ У ВЗРОСЛЫХ (ИСКЛЮЧАЯ БОЛЬНЫХ ВИЧ-ИНФЕКЦИЕЙ) Утверждены решением Пленума правления Национального научного общества инфекционистов 30 октября 2014 года «Цитомегаловирусная инфекция у взрослых (исключая больных ВИЧинфекцией)» Клинические рекомендации Рассмотрены и рекомендованы к утверждению Профильной комиссией по инфекционным болезням Минздрава России на заседании 8...»

«Федеральная служба по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека Управление Федеральной службы по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека по Кировской области Государственный доклад «О состоянии санитарно-эпидемиологического благополучия населения в Кировской области в 2014 году» Киров Государственный доклад «О состоянии санитарно-эпидемиологического благополучия населения в Кировской области в 2014 году» О состоянии санитарно-эпидемиологического...»

«ИТОГОВЫЙ ОТЧЕТ управления образования и науки Липецкой области о результатах анализа состояния и перспектив развития системы образования за 2014 год Анализ состояния и перспектив развития системы I. образования 1. Вводная часть Липецкая область расположена в центральной части европейской территории России на пересечении важнейших транспортных магистралей страны, в 500 км на юг от Москвы. Липецкая область граничит с Воронежской, Курской, Орловской, Тульской, Рязанской, Тамбовской областями....»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНЫЕ МАГНИТООПТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ В ОТРАЖЕННОМ СВЕТЕ СПЕЦПРАКТИКУМ КАФЕДРЫ МАГНЕТИЗМА МОСКВА 2014 ЗАДАЧА ЛИНЕЙНЫЕ МАГНИТООПТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ В ОТРАЖЕННОМ СВЕТЕ Срецпрактикум кафедры магнетизма Составители: Е.Е. Шалыгина В.Е. Зубов Т.Б. Шапаева 2014 г. ЛИНЕЙНЫЕ МАГНИТООПТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ В ОТРАЖЕННОМ СВЕТЕ Взаимодействие света с намагниченным кристаллом...»

«РЕВИЗИОННАЯ КОМИССИЯ ЛЕНИНСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ УТВЕРЖДЕН Распоряжением Председателя Ревизионной комиссии Ленинского муниципального района Московской области от 27 июля 2015 года № 8 СТАНДАРТ ВНЕШНЕГО МУНИЦИПАЛЬНОГО ФИНАНСОВОГО КОНТРОЛЯ «Проведение внешней проверки годового отчета об исполнении бюджета совместно с проверкой достоверности годовой бюджетной отчетности главных администраторов бюджетных средств» (СМФК-03) Московская область, г.Видное – 2015 год ОГЛАВЛЕНИЕ...»

«копия Дело № 2-796/2014 РЕШЕНИЕ ИМЕНЕМ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ленинский районный суд г. Саранска Республики Мордовия в составе: председательствующего судьи Ионовой О.Н., при секретаре судебного заседания Пиксайкиной Н.В., участием истца представителей ответчика Федерального бюджетного учреждения здравоохранения «Центр гигиены и эпидемиологии в Республике Мордовия» Барановой Е.В., действующей на основании доверенности от 10 мая 2011 года, Лебедевой Е.Г., действующей на основании доверенности от 06...»

«Руководство по правам Руководство по правам человека и основным свободам военнослужащих человека и основным свободам военнослужащих БДИПЧ Опубликовано: Бюро ОБСЕ по демократическим институтам и правам человека (БДИПЧ) Ал. Уяздовски, 1 00-557 Варшава Польша www.osce.org/odihr © БДИПЧ ОБСЕ 2008 г. Все права защищены. Содержание этой публикации можно без ограничений использовать и воспроизводить в образовательных или других некоммерческих целях при обязательном упоминании БДИПЧ ОБСЕ в качестве...»

«МЕЖДУНАРОДНЫЙ ФОНД «ДЕМОКРАТИЯ» (ФОНД АЛЕКСАНДРА Н. ЯКОВЛЕВА) ДОКУМЕНТЫ СЕРИЯ ОСНОВАНА В 1997 ГОДУ ПОД ОБЩЕЙ Р Е Д А К Ц И Е Й АКАДЕМИКА А.Н.ЯКОВЛЕВА РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ: А. Н. Яковлев (председатель), Г. А. Арбатов, В. А. Мартынов, С. В. Мироненко, Ч. Палм, В. Ф. Петровский, Е. М. Примаков, С. М. Рогов, А. Н. Сахаров, Г Н. Севостьянов, П. В. Стегний, Н. Г. Томилина, А. О. Чубарьян, В. Н. Шостаковский МЕЖДУНАРОДНЫЙ ФОНД «ДЕМОКРАТИЯ», МОСКВА ГУВЕРОВСКИЙ ИНСТИТУТ ВОЙНЫ, РЕВОЛЮЦИИ И МИРА,...»

«Организация Объединенных Наций CRC/C/AZE/3-4 Конвенция Distr.: General о правах ребенка 26 April 201 Russian Original: English Комитет по правам ребенка Рассмотрение докладов, представленных государствами-участниками в соответствии со статьей 44 Конвенции Третий и четвертый периодические доклады государств-участников, подлежащие представлению в 2009 году Азербайджан* [17 ноября 2009 года] * В соответствии с информацией, направленной государствам-участникам в отношении оформления их докладов,...»

«АКА ДЕ МИ Я НАУК СССР ИНСТИТУТ ЭТНОГРАФИИ ИМ. Н. И. МИКЛУХО-МАКЛАЯ СОВЕТСКАЯ ЭТНОГРАФИЯ Ж У Р Н А Л О С Н О В А Н В 1926 Г О Д У В Ы Х О Д И Т 6 РАЗ в год Ноябрь — Декабрь И З Д А Т Е Л Ь С Т В О «НАУКА» Москва Редакционная коллегия: Ю. П. Петрова-Аверкиева (главный редактор), В. П. Алексеев, Ю. В. Арутюняж, Н. А. Баскаков, С. И. Брук, JI. Ф. Моногарова (зам. главн. редактора), Д. А. Ольдерогге, А. И. Першиц, JI. П. Потапов, В. К. Соколова, С. А. Токарев, Д. Д. Тумаркин (зам. главн....»

«Туристско-спортивный союз России Петрозаводский государственный университет Турклуб «Сампо» ОТЧЕТ о велосипедном учебно-тренировочном походе I категории сложности по Витебской и Минской областям Белоруссии, совершенном с 28 апреля по 03 мая 2011 года (Петрозаводского отделения школы БУ по велотуризму) Маршрут: Полоцк-Островщина-Миоры-Перебродье-Браславоз.Струсто(рад)-Ахремовцы-Замошье-Милашки-Дубровка-КозяныПоставы-Камаи-Нарочь-Гатовичи-Брусы-Вилейка-Плещеницымемориальный комплекс...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» Северский технологический институт – филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» (СТИ НИЯУ МИФИ) УТВЕРЖДАЮ Зав. кафедрой ЭФиМ проф. _ И.В. Вотякова «»...»

«ISSN 2073 Российская академия предпринимательства ПУТЕВОДИТЕЛЬ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЯ Научно практическое издание Выпуск XXVII Включен в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки Российской Федерации Москва Путеводитель предпринимателя. Выпуск XXVII ББК 65.9(2Рос) УДК 330. УДК 340. П Редакционный совет: Балабанов В.С., д.э.н., профессор, Заслуженный деятель науки РФ, Российская академия предпринимательства (гл. редактор) Булочникова...»

«(Общие итоги деятельности образовательной организации в 2014-2015 учебном году) У ВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ ! Закончился учебный год. В очередной раз отзвенел последний звонок для выпускников нашей школы. Вроде бы все повторяется. Учатся в школе дети, внуки и даже правнуки первых выпускников. Ходят по тем же коридорам, бегут по звонку в те же классы. Здесь первые трудности и успехи. Для кого-то череда ярких, запоминающихся дней, а для кого-то первые серьезные испытания и проблемы, которые приходится...»

«Из решения Коллегии Счетной палаты Российской Федерации от 10 декабря 2014 года № 60К (1006) «О результатах контрольного мероприятия «Проверка эффективности использования средств федерального бюджета на геолого-разведочные работы в целях воспроизводства минерально-сырьевой базы в 2011-2013 годах и истекшем периоде 2014 года»: Утвердить отчет о результатах контрольного мероприятия. Направить представления Счетной палаты Российской Федерации Министерству природных ресурсов и экологии Российской...»

«Bankovn institut vysok kola Praha Katedra bankovnictv a pojiovnictv Analza mnov politiky EU a RF Diplomov prce Ievgeniia Klishchuk Autor: Ekonomika a management, Finance Vedouc prce: Ing. Vladimr Karsek Praha Duben 201 Prohlen: Prohlauji, e jsem diplomovou prci zpracovala samostatn a v seznamu uvedla vekerou pouitou literaturu. Svm podpisem stvrzuji, e odevzdan elektronick podoba prce je identick s jej titnou verz, a jsem seznmena se skutenost, e se prce bude archivovat v knihovn BIV a dle bude...»

«Всемирная организация здравоохранения ШЕСТЬДЕСЯТ ВОСЬМАЯ СЕССИЯ ВСЕМИРНОЙ АССАМБЛЕИ ЗДРАВООХРАНЕНИЯ A68/37 Пункт 20 предварительной повестки дня 15 мая 2015 г. Медико-санитарные условия проживания населения на оккупированной палестинской территории, включая восточный Иерусалим, а также на оккупированных сирийских Голанских высотах Доклад Секретариата В 2014 г. Шестьдесят седьмая сессия Всемирной ассамблеи здравоохранения 1. приняла резолюцию WHA67(10), в которой Генеральному директору, среди...»

«ВВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВА БИОТОПЛИВА НА РЫНОК ЮГА ТЮМЕНСКОЙ ОБЛАСТИ Хайруллина Эльвира Рамильевна Научный руководитель Чейметова Валерия Анатольевна, доцент, к.э.н. ТюмГНГУ, г.Тюмень 1. НАЗНАЧЕНИЕ И КОНКУРЕНТНЫЕ ПРЕИМУЩЕСТВА С каждым годом стремительно ухудшается экологическая обстановка, сокращаются мировые запасы нефти, увеличивается количество автомобильного транспорта и растут цены на бензин и дизельное топливо. В связи с этим все острее ставится вопрос о применении альтернативных видов...»

«ПРОЕКТ «ГОСУДАРСТВЕННО-ЧАСТНОЕ ПАРТНЕРСТВО В СОЦИАЛЬНОЙ СФЕРЕ – РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОПЫТА ВЕЛИКОБРИТАНИИ И САНКТ-ПЕТЕРБУРГА» ОТЧЕТ О ЛУЧШЕЙ ПРАКТИКЕ     Санкт-Петербург 2012 год ВВЕДЕНИЕ. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОТЧЕТА О ЛУЧШЕЙ ПРАКТИКЕ Этот Отчет о лучшей практике создан в рамках проекта «ГЧП в социальном секторе – распространение опыта Великобритании и Санкт-Петербурга». отчет содержит краткие характеристики опыта проектов ГЧП в сфере образования в Великобритании и Российской Федерации. Данный отчет —...»







 
2016 www.nauka.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.