WWW.NAUKA.X-PDF.RU
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, издания, публикации
 


Pages:     | 1 | 2 ||

«Содержание 1 О том, как читать эти лекции 2 Основные идеи ОТО 3 Разминочные задачи (З:1,2,3) 4 Комментированная библиография (З:4 ;[п0–п6,1–11]) 4.1 Популярные книги ([п0–п6])..... ...»

-- [ Страница 3 ] --

Пример 29. Тензор Римана определяется через коэффициенты связности как R qkl = (k m + m p ) (k l).

Здесь (k l) означает, что во второй паре скоm ql pk ql бок следует повторить содержимое первой пары поменяв местами индексы k и l. В римановых нормальных координатах в точке p Rm qkl p = k m l m p. Теперь, как ql qk упоминалось в предыдущих заметках, легко доказать тождества Бианки.

Подобные трюки с римановыми нормальными координатами способны очень сильно сокращать выкладки и будут использоваться нами и далее.

Как было установлено ранее, если xm = m (l) некоторая геодезическая, то должно выполняться уравнение геодезической

–  –  –

Согласно закону преобразования коэффициентов связности разность коэффициентов связности K M N является тензором. (Отсюда следует, что и вариация связности является тензором. Приводимый далее материал можно использовать и для вариации действия.) Используя K N и K N мы можем определить ковариантные производные M M 11 Слова написанные в кавычках относятся здесь к величинам, которые не являются тензорами.

–  –  –

В формула для тензора Римана (66) для симметричных связностей исчезает член с кручением, а если эта связность согласована с метрикой, то используя римановы нормальные координаты можно доказать формулу (66) даже устно. В римановых нормальных координатах для gmk тензор Rm qkl легко представить в виде суммы (66), поскольку квадратичные члены останутся только в R.

Задача 31: Докажите формулу (66) а) с помощью римановых нормальных координат (для симметричной метрической связности), б ) с помощью прямых выкладок (в произвольной системе координат, для произвольной связности).

Хотя для тензоров Риччи можно ввести Rql, Rql и Rql = Rql Rql, однако для скалярной кривизны это уже не удаётся, поскольку для её определения надо использовать метрику, разную для R и R. По этой причине при наличии двух метрик часто бывает удобнее работать с уравнениями Эйнштейна в форме (61).

–  –  –

Задача 32 : Получить формулу (74) из формулы (73).

На первый взгляд переписав формулу в таком виде мы только проиграли Однако, вспомним, что метрика не полностью определяется геометрией пространства-времени она содержит произвол в выборе координат. Мы можем выбрать произвольным образом набор из n координат, а значит, чтобы фиксировать этот произвол мы можем наложить n калибровочных условий. Наложим на уравнение (74) калибровку Лоренца k kl = 0. (75)

Теперь уравнения (74) упростились:

–  –  –

Если мы предположим, что фоновая метрика является решением вакуумных уравнений Эйнштейна, т.е. Rsq = 0, то из уравнения исчезнет ещё один член

–  –  –

Мы видим, что для линеаризованных уравнений Эйнштейна переход от плоской фонового пространства к искривлённому сопровождается появлением членов пропорциональных фоновому тензору Римана, т.е. тензорное поле hmk взаимодействует с фоновой метрикой неминимальным образом.

–  –  –

Мы видим, что изменение gmk при таком преобразовании координат линейно по.

Разбиение метрики gmk на gmk и hmk произвольно, поэтому мы можем положить, что gmk не меняется, а всё преобразование происходит за счёт hmk. Поэтому

–  –  –

32 Симметрии пространства-времени Как мы уже обсуждали на одной из первых лекций, векторное поле m задаёт на многообразии однопараметрическое семейство преобразований координат, при котоm ром все точки многообразия сдвигаются по правилу X l(x,l) = m (X(x, l)). При этом X старые координаты, x новые, а l параметр, нумерующий преобразования.

Производная Ли от метрики gmk имеет вид

L gmk = m k + k m, (79)

что с точностью до знака совпадает с изменением метрики при бесконечномалом преобразовании.

Если L gmk = 0, то это означает, что векторное поле задаёт однопараметрическое семейство преобразований сохраняющих расстояния на многообразии. Можно сказать, что многообразие может скользить само по себе без растяжений вдоль векторного поля.

Опр.78: Векторное поле, для которого L gmk = 0 называется вектором Киллинга.

Опр.79: Определяющее вектор Киллинга уравнение

m k + k m =0 (80)

назывется уравнением Киллинга.

Очевидно, что векторы Киллинга существуют не для всякого пространства, поскольку существование вектора Киллинга предполагает, что пространство симметрично относительно какого-то непрерывного семейства преобразований.

Теор.7. Векторы Киллинга для данного многообразия образуют алгебру Ли относительно коммутатора векторных полей, т.е. если и векторы Киллинга, то + и [, ] тоже векторы Киллинга ( и произвольные действительные числа).

Задача 33: Доказать Теорему 7.

Утверждения о симметриях пространства-времени формулируются независимым от координат образом как утверждения о существовании векторов Киллинга и соотношениях между ними.

Если частица движется по геодезической X m (l) в пространстве, в котором сущеm ствует вектор Киллинга, то m dX = const, т.е. для свободно движущейся частицы dl сохраняется проекция импульса на вектор Киллинга.

2Xm s p Задача 34 : Пользуясь уравнением геодезической d dl2 + m dX dX = 0 и уравнеsp dl dl нием Киллинга (80) доказать предыдущее утверждение.

33 Релятивистские мембраны Релятивисткие мембраны уже рассматривались нами выше.

–  –  –

X m X n = det(µ ), µ = gmn.

µ µ координаты на поверхности мембраны. Поля X m () задают отображение мировой поверхности мембраны V на пространство-время M, т.е. X : V M. V может быть многообразием с краем.

Опр.80: Замкнутая область выделяемая на многообразии неравенством f (x) 0, где f (x) гладкая функция, называется многообразием с краем, если градиент функции f (x) не обращается в нуль при f (x) = 0.

Таким образом, (q1)-мерная мембрана заметает в n-мерном пространстве-времени q-мерную мировую поверхность X(V), которая описывается с помощью n полей X m (), которые являются функциями q переменных µ. Очевидно, что на мировой поверхности можно вводить различные координаты, а значит наше описание содержит q произвольных функций (координат) на V, поэтому n уравнений движения, получаемых при варьировании по полям X m (), не будут независимыми между ними будет q связей.

Чтобы избавиться от этого произвола (зафиксировать калибровку) можно ввести q калибровочных условий. Например можно выбрать в качестве координат на мировой поверхности 0,..., q1 пространственно-временные координаты x0,..., xq1, т.е выбрать в качестве калибровочных условий X µ () = µ, µ = 0,..., q 1.

Для свободной (ни с чем не взаимодействующей) релятивисткой мембраны уравнения движения следуют из ковариантного закона сохранения энергии-импульса mk mT = 0. Тензор энергии-импульса для мембраны уже рассматривался нами ранее.

Проварьируем теперь действие по полям X m ()13

–  –  –

Задача 35: Проверить, что P p s P s r = P p r, т.е. P p s проектор. Проверить, что P s i X s = i X p, т.е. этот проектор переводит векторы касательные к мировой поверхp <

–  –  –

34 Релятивистские струны В случае q = 2, т.е. одномерной мембраны струны, теория приобретает особую специфику. На двумерной поверхности всегда можно ввести конформно-плоские ко

–  –  –

где µ обратная двумерная метрика Минковского. Если gmk не зависит от координат (в плоском пространстве-времени) уравнение (85) оказывается обычным двумерным волновым уравнением.

35 Делокализованные мембраны Уже рассматривались нами ранее.

Рассмотрим следующую модификацию мембранного действия (81)

–  –  –

При вычислении µ по прежнему используется дифференцирование только по.

Пусть V = 0. Очевидно, что X(, ) при = const задаёт бесконечно лёгкую мембрану с теми же уравнениями движения, что и раньше (при вариации действия никак не сказывается). Отсюда следует, что уравнения движения по прежнему удовлетворяют q связям. Таким образом, новое действие описывает непрерывное семейство мембран параметризуемых параметром. Можно сказать, что мембрана приобрела толщину, теперь координаты вдоль мембраны, а поперёк, причём слои с разными значениями друг с другом не взаимодействуют.

DX Если D(,) = 0, то координаты (, ) можно рассматривать не только как координаты на толстой мембране, но и как координаты в некоторой области пространствавремени. Это позволяет нам решить систему X(, ) = x относительно и. Мы получаем = (x), = (x). Перейдя в действии (86) от интегрирования по и к интегрированию по x мы получаем

–  –  –

Теперь x координаты, а (x) и (x) поля.

Задача 38 : Вывести действие (35) из (86).

Интересно, что в новое действие не вошло q полей µ (x), а значит мы избавились от связей, и уравнения движения стали независимыми.

–  –  –

Для свободной (ни с чем не взаимодействующей) делокализованной мембраны уравнения движения следуют из ковариантного закона сохранения энергии-импульса mk mT = 0. Тензор энергии-импульса для делокализованной мембраны (мембранной пыли) уже рассматривался нами.

Для нумерации координат мы использовали маленькие буквы из середины греческого алфавита µ,,.... Для нумерации полей мы будем использовать буквы из начала греческого алфавита,,....

В простейшем случае q = n 1 имеется только одно поле с действием

–  –  –

Член под шляпкой опускается.

Задача 40 : Вывести последнюю формулу.



Pages:     | 1 | 2 ||

Похожие работы:

«Принято Утверждаю Совет образовательного учреждения Приказ № от ГБОУ СОШ №6 Василеостровского Директор ГБОУ СОШ № района Василеостровского района Санкт-Петербурга, Санкт-Петербурга протокол № от /А.В.Шапошников/ /А.В. Шапошников/ ОТЧЕТ О САМООБСЛЕДОВАНИИ Государственного бюджетного общеобразовательного учреждения средней общеобразовательной школы №6 Василеостровского района Санкт-Петербурга Санкт-Петербург ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ЧАСТЬ 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ОРГАНИЗАЦИИ...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ( М И Н О Б РН А У К И РО С С И И ) ПРИКАЗ « _ » _ 2014 г. № Москва Об утверждении Перечня олимпиад и иных конкурсных мероприятий, по итогам которых присуждаются премии для поддержки талантливой молодежи в 2015 году В соответствии с постановлением Правительства Российской Федерации от 27 мая 2006 г. № 311 «О премиях для поддержки талантливой молодежи» (Собрание законодательства Российской Федерации, 2006, № 23, ст. 2503), Правилами...»

«1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ, ЕЁ МЕСТО В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ 1.1. Цель изучения дисциплины Цель курса «основы проектирования и оборудование» – изучение студентами основных принципов проектирования и аппаратурного оформления технологических схем неорганических производств, выбор вида и принципиальной конструкции аппаратов, определение их рабочих параметров, основных размеров, марок конструкционных материалов и других данных, необходимых для конструктивной разработки и расчёта на прочность. 1.2....»

«В. В. ИЛЬИН Практические вопросы Управления качеством Или Пособие по подготовке к разработке и внедрению Системы Менеждмента Качества Москва, 2005 год СОДЕРЖАНИЕ СОДЕРЖАНИЕ 1 От автора 2 СМК –мифы и реальность 3 Особенности национальной сертификации по стандарту ISO 9000 4 Роль Бизнес-моделирования в построении СМК 5 Определяем показатели БП 6 Роль маркетинга в СМК 7 Особенности внедрения СМК в проектном бизнесе 8 Как измерить эффективность СМК 9 Человеческий фактор 10 СМКэто готовая система...»

«Федерация спортивного туризма России (ТССР) Федерация спортивного туризма Алтайского края Краевое государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Алтайский краевой центр детско-юношеского туризма и краеведения» Российская международная академия туризма, Алтайский филиал ОТЧЕТ о прохождении комбинированного туристско спортивного маршрута IV категории сложности (0840081411Я) в районе Республика Алтай: Северо Чуйский хребет, р. Чуя, совершенном группой...»

«ОТЧЁТ О РАБОТЕ МИНИСТЕРСТВА ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УЛЬЯНОВСКОЙ ОБЛАСТИ ЗА АВГУСТ 2015 ГОДА (наименование структурного подразделения Правительства Ульяновской области, (месяц) исполнительного органа государственной власти Ульяновской области) I. Основные проблемы, задачи структурного подразделения Правительства Ульяновской области, исполнительного органа государственной власти Ульяновской области Срок № Проблемное поле отрасли Задачи Ответственный исполнения п/п исполнитель 1. Реализация...»

«С. Д. Пуассон Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах Перевод О. Б. Шейнина S.-D. Poisson Recherches sur la probabilit des jugements en matire criminelle et en matire civile. Paris, 1837 С. Д. Пуассон Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах Перевод О. Б. Шейнина Berlin, 2013 © Oscar Sheynin, 2013 Текст настоящей книги размещен в Интернете www.sheynin.de ISBN 978-3-942944-29Обложка и макет: Вячеслав Демидов (Viatcheslav Demidov) NG...»








 
2016 www.nauka.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.