WWW.NAUKA.X-PDF.RU
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, издания, публикации
 


Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |

«А.Б. В И СТЕЛИ УС ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ГЕОЛОГИИ (определение предмета, изложение аппарата) ЛЕНИНГРАД «Н А У К А» ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ УДЩ5 Основы математической геологии ...»

-- [ Страница 10 ] --

290' Иными словами, предполагается, что вероятность P I, J ( 1 ) не меняется от того, что происходит в других смежных парах.

Рассмотрим окончательную последовательность. Переходы через Ab и Or в ней будут ограниченно марковскими. Что касается перехода через Q, то его вероятностные свойства зависят от распределения вероятностей pi-j{l). Если предположить, что серии более некоторой предельной длины возникать не могут, то переход через Q будет частным марковским высокого порядка.

При неограниченных сериях может возникать существенно немарковский переход через Q. В следующей главе этот вопрос будет рассмотрен подробно.

Введем теперь понятие марковского признака. Подобно тому как мы ограничили будущее исходом лишь одного непосредственно следующего за настоящим испытания, точно так же прошлое можно ограничить исходом лишь одного непосредственно предшествовавшего настоящему испытания. Если оба таких ограничения мы сделаем одновременно, то получим следующее понятие.

Если частный переход г-го порядка а.г (h—1), aj (h—2),..., aL (h—г) обладает свойством p[aK(h)\aI(h-\),,( — 2),.... aL(h — r), aR(h — r — 1)] = = [aK (A) \aI(h- 1), a,j (A — 2) aL (h - г)] (IV. 4. 11) Qi^rjrI), для фиксированного набора I, J,..., L при всех R, К то мы говорим, что частный переход г-го порядка обладает марковским признаком. Поскольку наличие частного марковского признака связано с конечным числом испытаний, в отличие от частного марковского или ограниченно марковского перехода, то наличие марковского признака может быть проверено по наблюдениям. Следует, однако, отметить, что марковский признак не дает критерия марковости. Даже в том случае, когда любой частный переход г-го порядка обладает марковским признаком, это еще не означает, что последовательность является цепью г-го порядка.

Марковский признак является необходимым, но не достаточным условием марковости. Поэтому марковский признак следует использовать лишь для браковки гипотез о порядке марковости.

Пусть заранее известно, что случайная последовательность является марковской цепью некоторого неизвестного порядка, предположим также, что относительно порядка этой цепи может быть выдвинуто ограниченное количество гипотез (скажем, г может быть равно О или 1, или 5, но не может быть другим числом).

В этом случае проверка марковского признака по наблюдениям позволяет установить порядок марковости (г). Если возможные значения г исчерпываются величинами О, 1 и 5, как мы только что предположили, то для установления порядка г мы сначала проверяем по наблюдениям равенство ^o (A) J a, ( A - U J = P ( O f ) (IV. 4. 12) f

–  –  –

т. е. проверяем наличие марковского признака первого порядка.

Если наблюдения не отвергают (IV.4.13), то принимается г = 1 (следует помнить, что при г = 1 выполняется также г = 5 ).

Наконец, если наблюдения отвергают г = 1, то мы принимаем г = 5. Однако если у нас нет предварительной информации о том, что последовательность представляет марковскую цепь, то такой подход к выбору порядка марковости не приемлем. Кроме того, фактически мы можем не знать заранее, какому конечному набору принадлежит г. В этом случае использование марковского признака также не обеспечивает определения правильного г.

В реальной работе у нас часто есть основания предполагать, что последовательность является марковской цепью. Кроме того, более уверенно можно ожидать, что г не превосходит, скажем, трех. В этой ситуации марковский признак практически является достаточным для установления истинного порядка цепи.

Перекодировка состояний в марковской цепи, производимая так, что некоторым ранее различавшимся состояниям приписывается один и тот же кодовый номер, часто приводит к потере последовательностью марковского свойства. Для того чтобы оно сохранилось, необходимо выполнение весьма ограничительных условий. В то же время для сохранения при перекодировке марковского признака подобные условия могут быть значительно ослаблены. Здесь понятие марковского признака приобретает самостоятельный смысл (см. гл. V).

IV.5. ТРЕХМЕРНЫЕ УПАКОВКИ И МАРКОВСКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Среди геологических объектов имеются такие, для которых понятие случайной, в частности марковской, последовательности является естественным. К ним относятся, скажем, последовательности слоев в осадочных толщах, последовательности зон разного состава у плагиоклазов или турмалинов, последовательности расстояний между днищами в колонии фавозитов и т. п. Однако имеются такие области, с которыми понятие марковской последовательности связать труднее. Это существенно трехмерные области, состоящие из набора небольшого числа структурных единиц.

К этим областям относятся горные породы. Однако описание соотношений между минеральными индивидуумами в горной породе (гранитах, песчаниках) в марковских терминах привело к высшей степени важным и нетривиальным результатам при решении геологических задач. Отсюда появилась необходимость согласования структуры трехмерной упаковки со структурой характеризующих ее марковских последовательностей. Такие последовательности по предположению возникают на прямых, произвольно проходящих через трехмерную упаковку. Разработка этого вопроса представляет очень большой интерес для петрографии. Ниже приводится пример, показывающий, что трехмерная упаковка с простыми марковскими последовательностями на каждой проходящей через нее прямой возможна, причем у всех таких марковских цепей параметры одинаковы.

П р и м е р IV. 15. Пусть имеется плотнейшая упаковка из шаров одного размера, как это показано для плоского слоя на рис. IV.8 (Vistelius, 1976).

Пусть при этом каждый шар окрашен внутри только в один цвет / ( / = 1, 2,..., к). Цвет I для данного шара выбирается с поРис. IV.8. Плоская плотнейшая упаковка шаров двух типов — светлых и п о к р ы т ы х точками.

Чередование типов шаров — случайное (определено по таблице случайных чисел). Последовательность отрезков на прямой, проходящей через такую упаковку, была бы представлена отрезками, покрытыми точками, светлыми и залитыми черным. Она представляла бы простую марковскую цепь.

стоянной вероятностью независимо от цветов всех уже выбранных шаров (с помощью таблицы случайных чисел). Вероятность исхода каждого испытания постоянна и равна р / д л я /-того цвета. Поверхности шаров покрыты fc-f-1-м цветом. Этим же цветом закрашены промежутки между шарами, как это показано на рис. IV.8.

Смежные шары всегда соприкасаются друг с другом, но только через слой краски. Проведем через охарактеризованную трехмерную упаковку случайную прямую. Зафиксируем на этой прямой чередование fc+1-го цвета (к цветов отвечает цвету шаров и один цвет (fc+1-й) — окраске поверхности шара и промежутков между ними). Таким образом, на любой прямой, проходящей через упаковку, мы получим случайную последовательность цветов на Zc-J-I состоянии. Убедимся, что такая последовательность представляет простую марковскую цепь. Действительно, выбор цвета для настоящего испытания влияет на появление цвета в испытании со следующим номером. Так, если мы находимся на /-том цвете, то ·,+1=1. В то же время p i, j = 0, /, J r G {1, 2,..., к].

Исходы более ранних испытаний не меняют переходных вероятностей. Вдоль каждой случайной прямой, пересекающей изучаемую упаковку, переходные вероятности на один шаг одни и те же.

Этими вероятностями — в силу стационарности и простой марко

–  –  –

Итак, мы сравнительно детально изучили марковские цепи и аппарат для работы с ними. В то же время понятие о восстанавливающем событии дано нами без соответствующего математического аппарата. Этот аппарат может быть найден в доступном изложении в главах 13 и 11 книг Феллера (1964, 1967).

Марковские цепи с частными марковскими переходами различных порядков не требуют привлечения какого-либо специального «инструмента», помимо используемого в теории марковских цепей. При этом, конечно, следует учитывать специфику переходов. Этот вопрос, рассмотренный в настоящей главе лишь частично, более подробно изложен в гл. VI. Что касается существенно немарковских последовательностей, то их изучение основывается на привлечении более сложных математических конструкций.

Вычисления, связанные с существенно немарковскими последовательностями, требуют мощной вычислительной базы: приходится по численным данным повторно осуществлять преобразования Фурье и Лапласа (Harris, 1955).

Отметим также, что для немарковских последовательностей с ограниченно марковскими переходами литература отсутствует, так как они, по-видимому, появились только в связи с анализом геологических объектов.

В заключение следует отметить, что в примерах были рассмотрены вероятностные схемы, касающиеся структуры некоторых силикатов, и одна из схем, связанная с формированием нефтяных залежей. Хотелось бы, чтобы на вопросы такого типа обратили внимание соответствующие специалисты.

–  –  –

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ

Модели геологических процессов, приводящие к простым цепям Маркова.

Теория укрупнения состояний. Какого типа случайной последовательностью окажется простая цепь Маркова, после того как она будет преобразована по той или иной схеме (модели вторичного процесса). Различные типы схем преобразования. Примеры из петрографии и седиментологии. Математические задачи, требующие разрешения.

Ключевые слова:

с и л ь н о е у к р у п н е н и е, слабое у к р у п н е н и е, с г у щ е н и е, р а з р е ж е н и е, замещение, п а к е т ы, с л и я н и е серий, у д л и н е н и е серий.

V.I. ВВЕДЕНИЕ

Технический аппарат, рассмотренный в гл. IV, позволяет представить результаты многих геологических явлений в виде цепей Маркова. Это дает возможность на реалистической основе проверять гипотезы о ходе явлений. Однако наиболее удобные для работы простые цепи реализуются относительно редко. Обычно они отвечают весьма специфическим обстановкам. Гораздо чаще геолог имеет результаты, охарактеризованные разрезом или профилем, в котором на основной процесс наложены искажения.

Если эти искажения реализовались по той или иной устойчивой схеме и систематически деформировали результаты первичного процесса, то во многих случаях можно выяснить схему, по которой шел как сам процесс, так и наложенные на него явления. Зная, что процесс в чистом виде порождал простую цепь Маркова, и построив схему искажения, можно предсказать, какого типа будет наблюденная последовательность. Практически такой метод работы оказывается очень продуктивным. Поэтому необходимо знать, как происходят преобразования простых цепей Маркова под влиянием различных процессов. Этому вопросу посвящена настоящая глава.

Прежде чем перейти к изложению, рассмотрим некоторые случаи, реально имевшие место в геологической работе и потребовавшие изучения вопроса о преобразовании цепи.

296' Схема образования последовательности слоев, в которой состояниями являются составы слоев, в некоторых случаях порождает простую марковскую цепь. Однако если наблюдается чередование глинистых и песчаных слоев, то это значит, что иногда мог происходить полный размыв глинистого слоя перед отложением песчаного. Это мояет привести к преобразованию простой цепи Маркова в последовательность, резко отличающуюся от нее.

Многие горные породы естественно рассматривать как результат кристаллизации тройной системы с компонентами а, & и с, дающими тройную эвтектику. Если ввести стадии кристаллизации, выделив индексом 1 стадию докотектическую, индексом 2 — котектическую и индексом 3 — эвтектическую, то последовательность зерен при некоторых условиях окажется простой цепью Маркова на шести состояниях — скажем, alt а2, а3, Ь2, Ь3 и с3. Однако петрограф при изучении породы под микроскопом не может для каждого зерна определить стадию, на которой оно образовалось. Он фиксирует только состав зерен. Таким образом, простая цепь Маркова на шести состояниях преобразуется в случайную последовательность на трех состояниях (а, Ь и с). Каковы свойства этой последовательности, можно сказать только после изучения теории преобразования цепей.

Аналогичных примеров можно подобрать множество, из любой области геологических наук. По мере разбора теории преобразований мы будем рассматривать также и наиболее характерные примеры.

В качестве исходной случайной последовательности в этой главе будет рассматриваться, если не сделано специальной оговорки, стационарная и эргодическая простая марковская цепь.

Далее задается некоторое правило, по которому преобразуется каждая реализация этой цепи. В результате мы получаем новую случайную последовательность, свойства которой изучаем.

При этом рассматриваются следующие преобразования: укрупнение по множеству состояний, укрупнение по множеству моментов времени, сгущение и разрежение цепи, замещение состояний и, наконец, стирание границ в последовательности пакетов.

Допустим, что мшшество состояний исходной цепи разбито на непересекающиеся подмножества, т. е.

S = S1USrU--USiUSjr, причем Sj S = 0, если I J.

j Затем производится перекодировка реализаций исходной цепи так, что любому состоянию из / приписывается один и тот же символ /,..., любому состоянию из к — символ К. Моменты времени, отвечающие состояниям исходной последовательности, в перекодированной последовательности сохраняются. В результате получается новая случайная последовательность на множестве состояний ^ = { 7, /,..., L, К).

Полученная указанным способом последовательность построена из исходной цепи с помощью операции, называемой укрупнением по множеству состояний.

Другое возможное преобразование заключается в перекодировке только номеров исходов испытаний в реализациях цепи.

Эта перекодировка производится так, что некоторым ранее различавшимся номерам испытаний приписывается один и тот же номер. Возникающая при этом последовательность получается с помощью операции, называемой укрупнением по времени.

Предположим далее, что в любой реализации исходной цепи между некоторыми парами исходов смежных испытаний могут размещаться исходы новых испытаний (отнесенные к тому же множеству состояний или к какому-либо другому множеству состояний). Если при таком преобразовании взаимное упорядочение всех прежних исходов испытаний не меняется, то мы говорим, что происходит сгущение исходной цепи.

Преобразование, заключающееся в вычеркивании из исходных реализаций некоторых исходов испытаний с последующей перенумерацией остающихся исходов в естественном порядке, мы будем называть разрежением цепи. Замену некоторых состояний одной случайной последовательности синхронными (с тем же номером) состояниями другой мы называем замещениями.

Наконец, мы будем рассматривать случайное чередование детерминированно построенных сочетаний исходов испытаний. Такие сочетания мы будем называть пакетами. Последовательность пакетов трансформируется следующим образом: границы между пакетами стираются, а образующие эти пакеты состояния нумеруются в естественном порядке. Такое преобразование мы называем стиранием границ в последовательности пакетов.

Указанные преобразования, а также их суперпозиции могут быть широко использованы во многих задачах математической геологии. Во второй части этой книги мы будем использовать теорию этих преобразований, изучая процессы кристаллизации магматических пород, метасоматическую переработку этих пород и явление стратификации осадочных образований.

П р и м е р V. I. Рассмотрим кристаллизацию системы из трех компонентов с одной тройной эвтектикой, о которой мы упоминали только что (рис. V.1). Процесс кристаллизации начинается в точке а. На участке а—Ъ выделяются зерна состава А Ы, где 1 отмечает стадию кристаллизации. На участке Ъ—с образуются зерна двух компонентов — продолжается выделение зерен, сложенных Ab, и появляются зерна Q. Соответствующие состояния будем обозначать как АЬ2 и Q2. Наконец, в точке с (тройной эвтектики) выделяются зерна, которым отвечают состояния АЬЗ, Q3 и ОгЗ. Если мы зафиксируем зерна, попадающие на прямую, проходящую 298' через продукты кристаллизации указанной системы, то получим случайную последовательность. При принятой кодировке типов зерен с помощью двух индексов (состав и стадия кристаллизации) возникает последовательность на множестве состояний 2 = (Z1, I2, I3, J2, J3, K3). Как будет показано во второй части книги, рассмотренный процесс кристаллизации приводит к возникновению на прямых, проходящих через породу, стационарных эргодических простых цепей Маркова на множестве состояний.

При лабораторном исследовании мы, как правило, не можем выде

–  –  –

лять зерна п3 их принадлежности к той или иной стадии кристаллизации (второму индексу) и вынуждены фиксировать состояния / = Z1UZ2U'*; Jr = ZaIU3; к = к3.

Таким образом, наблюдается последовательность на множестве состояний:

^ = {,, К].

Очевидно, эта последовательность получена с помощью укрупнения на множестве состояний. Новая последовательность будет 299' стационарной и обратимой, если таковой была исходная последовательность. Однако последовательность на множестве S a может быть как простой или сложной марковской цепью, так и немарковской. Для того чтобы укрупнение в этом случае не разрушало простую марковость, а также марковость вообще, необходимо соблюдение ряда ограничений, связанных со структурой исходной цепи.

Предположим теперь, что по изложенной схеме образовался гранит, состоящий почти целиком из ортоклаза (Or), кварца (Q) и кислого плагиоклаза (Ab). При этом он возник за счет кристаллизации в эвтектической точке. Можно предполагать, что последовательность зерен Or, Q и Ab образует простую однородную эргодическую марковскую цепь. Пусть на этот гранит наложен вторичный процесс, за счет которого между некоторыми смежными зернами Or могут появляться одно или несколько вторичных зерен Ab. Предполагается, что первичные зерна Or полностью никогда не замещаются. В этом случае мы имеем дело с процессом, названным нами сгущением исходной цепи.

Изучаемые нами преобразования, конечно, представляют идеализацию крайне запутанных естественных процессов. Возможны случаи, когда совершенно различные процессы приводят к одному и тому же результату. При этом, что реально происходило при переработке исходной последовательности в окончательную, остается неясным. Ясность в задачу в таких случаях может быть внесена только тщательным анализом исходных геологических предпосылок.

П р и м е р V.2. Рассмотрим последовательность зерен кварца, ортоклаза и плагиоклаза в массивном песчанике. Как показала Демина (1978), в ряде случаев такая последовательность не отличима от простой однородной эргодической цепи Маркова. Допустим, что этот песчаник погружается на такую глубину, где начинается перекристаллизация кварца. При этом все смежные кварцевые зерна сливаются в одно крупное зерно. Такой процесс перекристаллизации без привноса материала приводит к окончательной последовательности, полученной путем укрупнения по времени. Действительно, если каждую серию кварцевых зерен в исходной последовательности воспринимать как одно зерно, то это эквивалентно тому, что мы перестали различать номера зерен внутри этой серии, т. е. всем зернам внутри серии приписали один и тот же номер. G другой стороны, такой же окончательный результат получился бы, если бы процесс шел так, что происходило бы, скажем, выщелачивание кварцевых зерен, при этом в каждой серии из нескольких кварцевых зерен в исходной последовательности удалялись бы все зерна за исключением одного.

Если же серия состояла из одного зерна, то с ним ничего не происходило. Очевидно, что здесь имело бы место преобразование путем разрежения. Это преобразование при описании процесса лишь в терминах состава зерен формально дало бы тот же эффект, что и укрупнение по времени. Прямые наблюдения в шлифах, очевидно, позволили бы определить, с каким типом реального процесса мы имеем дело.

Рассмотрим теперь процесс формирования слоистой толщи, который может быть представлен как чередование взмучивания и осаждения частиц, отвечающих по размеру глинистому и песчаному осадку. При этом возникает толща, состоящая из слоев глинистого () и песчаного () состава. Одному акту седиментации отвечает одно взмучивание с последующим осаждением и погребением осадка. Затем поступает новый материал, и процесс повторяется сначала.

В ходе одного седиментационного акта образуется либо один слой (слой или слой, когда взмучивался гранулометрически однородный осадок), либо два слоя, образующих пакет, который мы будем обозначать () (когда взмучивался неоднородный осадок).

Таким образом, здесь мы имеем пакеты 4 = ( ), Л 2 = ( у ) и ·4 3 =(). Скобки указывают, что соответствующие слои образуют пакеты, хотя бы в такой пакет входил всего один слой. Разрез можно интерпретировать как случайную последовательность на множестве пакетов = ^ 1, A2, A3). Может возникнуть вопрос, не является ли более естественным описание разреза не как итога актов седиментации, где каждый акт рассматривается как отдельная единица в составе разреза, а как последовательность слоев и, т. е. последовательность на множестве состояний 1 = {, }.

Какую из приведенных интерпретаций разреза следует предпочесть? По-видимому, простота вероятностной структуры последовательности может рассматриваться как аргумент в пользу выбираемого варианта интерпретации, если, конечно, нет прямых геологических наблюдений в пользу того или иного варианта.

Изучение некоторых разрезов показало, что последовательность на состояниях и обладает достаточно сложной вероятностной структурой. В то же время последовательность, образованная пакетами, представляет собой последовательность независимых испытаний или простую цепь Маркова. Такая простая вероятностная структура кажется в данном случае весьма естественной, что заставляет предпочесть пакетную интерпретацию разрезов.

Из сказанного ясно, что мы рассматриваем простую марковскую цепь вида...,() \ ()^+1), (-()(+2), ()(+3\... (V. 1. 1) Во время полевых работ установить границы между пакетами обычно не удается и вместо последовательности (V.1.1) фиксируется последовательность..., ", Ttt'+1), ('+2,,+3, (+4), -f'+6,... (V. 1. 2) Иными словами, мы применили здесь преобразование, названное ранее стиранием границ. Ту же окончательную последовательность (V.1.2) можно получить с помощью другого преобразования. Состояние из пакета () и состояние из пакета () имеют разные вероятностные свойства. То же относится к состоянию. Поэтому будем обозначать через песчаный слой из пакета A1, через 2 — песчаный слой из пакета A3, соответственно через T1 — глинистый слой из пакета A2 и 2 — глинистый слой из пакета A3. Очевидно, что случайная последовательность на множестве состояний, E 2 = I u 1, 2, T1, T3}, полностью эквивалентна последовательности пакетов на множестве. Так, например, часть последовательности, приведенная в (V. 1.1), перекодируется в терминах E 3 как.... ', · 4 ' + 1 ), !, + 2 \ 4 ' +3 "ij' +4 \ + 6 \...

\ (V. 1. 3) Если теперь в (V.1.3) произведем укрупнение T = T i U Тг и = U 2 т о м ы получим последовательность (V.1.2), возникшую в результате стирания границ.

Таким образом, два преобразования, т. е. стирание границ, примененное к (V.1.1), и укрупнение по множеству состояний, примененное к (V.1.3), дают одинаковый результат — (V.1.2).

V.2. У К Р У П Н Е Н И Е ПО МНОЖЕСТВУ СОСТОЯНИИ

Введем следующие обозначения. Пусть множество состояний исходной цепи разбито на непересекающиеся подмножества E 1,...,, как это было описано в предыдущем параграфе.

Д л я исходов испытаний в первоначальной цепи используем обозначения вида, где а означает испытание в исходной последовательности, h — его номер; индекс I указывает, что исход этого испытания принадлежит подмножеству, a i указывает на состояние i в множестве, которое реализовалось в h-м испытании.

Таким образом, i — некоторое состояние из /, т. е. iQ /.

После укрупнения по множеству состояний получим случайную последовательность, испытания в которой будем обозначать как ].

Очевидно, aW _ „(h) 1 J " »6 "I Укрупнение системы приводит к соответствующему разбиению матрицы переходных вероятностей JP на клетки так, что IJ-той клетке соответствуют строки из J?, отвечающие состояниям из подмножества, и столбцы, отвечающие состояниям из подмножества S j.

Пусть, например, в шлифе первично магматического гранита имелась последовательность зерен Q, Or и Ab. В результате калиевого метасоматоза, наложенного на этот гранит, зерна плагиоклаза могли обрастать каймой вторичного ортоклаза. Это обрастание могло происходить вокруг всего зерна, вокруг правой 302' или вокруг левой его частей. Предположим также, что первичные зерна ортоклаза содержат внутри вростки выделений вторичного кварца. Эти вторичные выделения кварца при подсчетах фиксируются как отдельные индивиды. На прямой, пересекающей зерна, могут фиксироваться агрегаты вида Or 2, Ab1, Ab 1, Ог3, Or 2, Ab 1, Or 3, где Ab 1 — зерно первичного плагиоклаза, Or2 — левая часть вторичной оторочки, Or 3 — правая часть каймы.

Могут также встречаться агрегаты Or 1, Q 2 l Or 1, где Or 1 — первичное зерно ортоклаза, Q2 — вторичное зерно кварца. Кроме того, могут, естественно, наблюдаться сочетания первичных зерен Q 1, Or 1, Ab 1. В итоге мы будем иметь последовательность зерен до укрупнения на множестве состояний S = { Q b Q 2, A b 1, O r l, Or 2, Or3).

–  –  –

разбивается на клетки, показанные пунктиром. Матрица (V.2.1) содержит следующие клетки: Or, Or; Or, Q; Or, Ab; Q, Or; Q, Q;

Q, Ab; Ab, Or; Ab, Q и Ab, Ab. Горизонтальный ряд клеток, у которых первым индексом является I, мы называем полосой I.

В матрице (V. 2.1) I принимает значения Or, Q и Ab. Таким образом, в ней мы имеем три полосы: Or, Q и Ab.

V.2.I. Сильное и слабое укрупнение В качестве исходной цепи рассмотрим простую однородную марковскую цепь, не предполагая сначала ее стационарности.

Если последовательность, возникшая в результате заданной системы укрупнения G, снова будет простой марковской цепью, то говорят, что исходная цепь допускает данное укрупнение G (она 303' укрупняема с помощью G). Будет ли допускать исходная цепь некоторое укрупнение G, зависит от вида G, матрицы переходных вероятностей исходной цепи P и вектора начального распределения р ( 0 \ Нетрудно убедиться на простейших числовых примерах, что при фиксированной матрице P и заданном укрупнении G потеря или сохранение марковости могут зависеть от выбора начального распределения р0). При одних р (0) простая марковость сохраняется, при других теряется. Поэтому свойство укрупняемое™ классифицируется по отношению к начальному распределению. Если при заданном разбиении (укрупнении) G и заданной матрице P цепь допускает укрупнение при всяком начальном распределении, то говорят, что цепь допускает сильное укрупнение. Если цепь допускает укрупнение хотя бы при одном какомлибо начальном распределении, то говорят, что возможно слабое укрупнение.

Простая однородная марковская цепь с матрицей переходных вероятностей P и разбиением (укрупнением) G допускает сильное укрупнение в том и только в том случае, когда каждая клетка I J, порожденная разбиением G, обладает следующим свойством: сумма вероятностей по строке внутри клетки является постоянной Си, зависящей только от выбранной клетки. Иными словами, для всех I, J S0 должно выполняться равенство P {*jAaIi) = Си, 2 (V.2.2)

–  –  –

О начальном распределении изучаемой последовательности ничего неизвестно: таким образом, стационарность не предполагается. Допустим далее, что в этой исходной последовательности некоторая часть зерен Ab была замещена полностью, зерно на зерно, ортоклазом. Предполагается, что замещение данного зерна Ab происходит с постоянной вероятностью, не зависящей от возможного замещения остальных зерен. Исследуемый шлиф 304' изготовлен из породы, претерпевшей изменение по изложенной схеме. При этом мы не можем отличить первичного ортоклаза от вторичного и ведем описание породы в терминах Or, Q и Ab, не выделяя генерации. Спрашивается, какой должна быть матрица переходных вероятностей (V.2.3) для того, чтобы при любом начальном распределении вероятностей р (0) в магматическом граните наблюдаемая последовательность была простой цепью Маркова?

Если ввести состояние Or 2, где 2 означает вторичное происхождение, то очевидно, что речь пойдет о сильном укрупнении.

Рассмотрим сначала последовательность на множестве состояний = {0r 1( Or 8, Q 1, Ab 1 ). Легко убедиться, что последовательность на является также простой однородной цепью Маркова.

Действительно, что касается каждого зерна, то известно происхождение каждого из них. Это позволяет последовательность на множестве свести к последовательности на исходном множестве. Матрица переходных вероятностей для цепи на множестве будет следующей:

Or1 Or2 Q1 Ab1 O r 1 Ip ( O r 1 1 O r 1 ) · ( A b 1 1 Or 1 ). (Q 1 1 Or 1 ) · (1 - ) ( A b 1 1 O r 1 ) \ Or2 ( O r 1 1 A b 1 ). ( A b 1 1 A b 1 ) - / » ( Q 1 1 A b 1 ) - (1 - ) ( A b 1 1 A b 1 ) (V.2.4) P(Or1IQ1)- IV(^biIQl). (Q 1 1 Qi) · (I — ) ( A b 1 1 Q 1 ) Qi A b 1 \ ( O r 1 1 A b 1 ) · ( A b 1 ] A b 1 ) - (Q 1 1 A b 1 ) · ( I - U ) p ( A b 1 I A b 1 ) / где переходные вероятности взяты из матрицы (V. 2. 3).

Д л я получения наблюдаемой последовательности на множестве S0= {Or, Q, A b ) в последовательности на производится укрупнение O r = O r 1 (J Or 2, Q = Q 1, A b = A b 1. Этому укрупнению отвечает разбиение матрицы (V.2.4) на клетки, показанное пунктиром. Применив к (V.2.4) критерий сильной укрупняемое™ (V.2.2), придем к следующему выводу: наблюдаемая последовательность после реализации метасоматоза указанного типа гарантированно будет простой марковской цепью в том и только в том случае, когда у матрицы переходных вероятностей магматического гранита будут полностью идентичные строки переходных вероятностей с Or 1 и Ab 1.

Таким образом, для гарантированного сохранения марковости после метасоматоза должны выполняться следующие равенства:

P (Qi I A b 1 ) = (Q 1 1 O r 1 ) ; ( O r 1 1 A b 1 ) = ( O r 1 1 O r 1 ) ;

P(Ab1IAb1)==P(Ab1IOr1). (V.2.5) Если хотя бы одно из равенств (V.2.5) не выполняется, то всегда найдется какое-либо специфическое распределение р' 0 ), являющееся начальным для магматического гранита, такое, что наблюдаемая последовательность не будет простой цепью.

20 А. Б. Вистелиус 305 Понятие сильного укрупнения кажется мало полезным в геологических исследованиях. Обычно существуют такие стохастические векторы, которые заведомо невозможны в качестве начального распределения в рассматриваемой задаче.

Рассмотрим множество { P ( 0 ) } G, таких начальных распределений, при которых укрупнение g сохраняет простую.марковость, когда P — матрица переходных вероятностей исходной цепи. Если множество (p (0) } G Р не пусто, то, как известно (Burke, Rosenblatt, 1958), в него входит стационарное начальное распределение Pst {pi0'}G( р.

Таким образом, если укрупнение вообще возможно, то оно возможно при стационарном начальном распределении. В связи с этим можно дать новое определение слабой укрупняемости, эквивалентное старому определению, приведенному на с. 304. Если простая стационарная цепь Маркова при заданном разбиении G и заданной матрице переходных вероятностей P допускает укрупнение, то говорят, что цепь допускает слабое укрупнение.

В геологических задачах обычно встречается одна из двух ситуаций. Мы можем располагать информацией, к какому классу относится начальное распределение p r o \ В этом случае нет необходимости в сильном укрупнении, так как укрупнение проверяется лишь по отношению к указанному классу. Однако во многих случаях информация о начальном распределении отсутствует. Тем не менее, как мы видели в гл. IV, марковская цепь, как правило, через несколько переходов устанавливается.

Таким образом, если мы имеем дело с последовательностью, где первое зафиксированное испытание фактически достаточно удалено от начала процесса, то можно при известной осторожности считать, что цепь уже установилась. В таком случае укрупнение всегда будет слабым. Например, если мы изучаем однообразно построенный разрез слоистой толщи, то имеет смысл начать его исследование на некотором расстоянии от подошвы;

если изучается последовательность зерен в шлифе магматической породы, то контакт этой породы с вмещающей не должен находиться в пределах шлифа.

Далее будет рассматриваться только слабое укрупнение.

В связи с этим исходная последовательность будет предполагаться всегда стационарной простой марковской цепью.

Необходимые и достаточные условия слабого укрупнения, насколько нам известно, не публиковались. Если бы алгоритм проверки слабой укрупняемости существовал, то ввиду стационарности цепи он сводился бы к конечному числу операций с элементами матрицы переходных вероятностей.

В следующем параграфе будут даны некоторые достаточные условия слабого укрупнения. При этом будет исследовано, когда сохраняется ограниченно марковское свойство и марковский признак у частных переходов при укрупнении (о понятиях ограниченно марковского свойства и марковского признака см. гл. IV, с. 289, 291).

Очевидно, что информация о сохранении ограниченно марковского свойства у частных переходов при укрупнении дает больше, чем информация о сохранении марковости в целом. В гл. IV (п. IV.4.2) отмечалось, что если ограниченная марковость сохраняется для перехода через каждое состояние, то сохраняется и обычная марковость для цепи в целом. Справедливо и обратное.

Однако ограниченно марковское свойство может сохраниться при укрупнении для переходов через одни состояния и потеряться при переходе через другие состояния.

V.2.2. Некоторые достаточные условия слабого укрупнения цепи и частных переходов Предполагается, как отмечалось, что исходная последовательность является стационарной марковской цепью первого порядка на множестве состояний, разбитом на классы j (I. S0) с помощью укрупнения G.

Пусть матрица переходных вероятностей этой последователь^ ности P l i - J j. Наряду с исходной цепью рассматривается обращенная цепь с матрицей переходных вероятностей Pjl] j j (об обращенной цепи см. гл. IV, п. IV. 3. 4).

В книге (Кемени и Снелл, 1970) приводятся следующие достаточные условия слабой укрупняемости: если хотя бы для одной из матриц Рп·, jj и Pilljj выполняются условия сильного укрупWeimLltSb ( V. 2. 2), то допустимо слабое укрупнение.

Еще раз подчеркнем, что приведенные условия не являются необходимыми для слабого укрупнения.

П р и м е р V.4. Пусть исходная цепь на трех состояниях (1, 2, 3} имеет следующую матрицу переходных вероятностей:

причем состояния укрупняются следующим образом: 1 U 2 = / ;

3 = 7. Необходимо выяснить, допускает ли цепь слабое укрупнение. Очевидно, что условия (V. 2.2) для матрицы P не выполняются. Найдем теперь матрицу переходных вероятностей обращенной цепи. Поскольку P является дважды стохастической

–  –  –

Очевидно, что условия (V. 2. 2) для JP(~' выполняются.

Таким образом, приведенные выше достаточные условия Кемени и Снелла имеют место, и новая укрупненная последовательность на множестве состояний {/, / } является простой марковской цепью.

Достаточные условия Кемени и Снелла редко выполняются на практике. Кроме того, они не применимы к частным переходам.

Поэтому мы рассмотрим более гибкие условия, налагая, однако, дополнительные ограничения.

Предположим, что в результате укрупнения получается обратимая последовательность. Если исходная последовательность обратима, то укрупненная также обратима, но обратимость укрупненной последовательности не означает, что исходная была обратима. Таким образом, предположение об обратимости наблю-' даемой последовательности охватывает более широкий класс последовательностей, чем предположение об обратимости исходной последовательности. Кроме того, обратимость окончательной последовательности может быть проверена с помощью статистических тестов. Так, большой опыт исследования последовательностей зерен в шлифах гранитов верхнего структурного этажа из различнейших районов мира показал, что все эти последовательности были обратимыми, независимо от того, представляли ли они простые или сложные цепи Маркова.

Исследованные нами разрезы осадочных толщ также показали статистическую неотличимость чередования слоев от обратимых последовательностей. Подчеркнем, что в соответствии с п. IV.2.2 гл. IV обратимость определена независимо от наличия у последовательности марковских свойств. Имея возможность получить эмпирическое, а иногда и теоретическое подтверждение обратимости в окончательных последовательностях, мы в то же время не можем, как правило, проверить опытным путем обратимость исходной последовательности.

308' Т е о р е м а V. l. Пусть исходная последовательность представляет эргодическую и стационарную цепь Маркова первого порядка, а последовательность после укрупнения обратима. Для того чтобы переход через состояние I был ограниченно марковским, достаточно, чтобы в полосе I выполнялось хотя бы одно из следующих равенств:

–  –  –

Итак, теорема доказана при условии а).

Допустим теперь, что выполняется равенство ) из (V.2.6).

Тогда используем предположенную обратимость укрупненной последовательности и ее стационарность. Это дает возможность переписать (V.2.9) как

–  –  –

Н2) 4* + 1 ) ), ф.

полученное из А изменением порядка и сдвигом временньхх параметров. Подстановка А ' вместо А допустима, так как последовательность в терминах ам обратима (это дает возможность переписать ее в обратном направлении) и стационарна (это дает возможность сдвинуть ее к началу 0).

Преобразуем далее (V.2.11). При этом используем условие, что обращенная исходная последовательность также является простой марковской:

–  –  –

и аналогично к

-310 Этим заканчивается доказательство теоремы.

Поскольку наличие ограниченно марковского перехода по каждому состоянию, как отмечалось в гл. IV, влечет простую марковость последовательности в целом, то в качестве следствия из теоремы V.1 мы получаем следующее достаточное условие.

Т е о р е м а V.2. Если исходная простая цепь Маркова является эргодической и стационарной, а укрупненная последовательность обратима, то для сохранения простой марковости после укрупнения достаточно, чтобы хотя бы одно из условий а) или ) в (V.2.6.) выполнялось для каждой полосы в матрице Р.

Допустим теперь, что равенства а) или ) в (V.2.6) выполняются для полосы матрицы Р, однако мы не знаем, обратима ли окончательная (наблюдаемая, т. е. укрупненная) последовательность.

В этом случае для укрупненной последовательности простая марковость либо марковость вообще может теряться, но гарантировано сохранение марковского признака.

Т е о р е м а V.3. Если исходная последовательность является стационарной и эргодической цепью Маркова первого порядка и одно из равенств а) или ) выполняется в полосе I матрицы Р, то после укрупнения переход через I обладает марковским признаком (см. гл. IV).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Требуется показать, что выполнение одного из равенств а) или ) в (V.2.6) влечет равенство = P ( 4 м I 4 h - 1 ] )· р (eW I (V. 2. 13)

–  –  –

что и требовалось доказать.

Распространяя выполнение условий теоремы V.3 на все полосы, т. е. на всю матрицу P в целом, из теоремы V.2 получаем следующее.

311' С л е д с т в и е. Если условия а) или ) из (V.2.6) выполняются для каждой полосы матрицы Р, то после укрупнения гарантировано сохранение марковского признака для перехода через любое состояние. Настоящая марковость может при этом теряться.

Мы подробно остановились на условиях сохранения марковского признака при слабом укрупнении, так как в этих условиях могут возникать случайные последовательности, весьма опасные с точки зрения правильности интерпретации значений статистических тестов, проверяющих порядок марковости.

Действительно, пусть при применении тестов, проверяющих марковские альтернативы, которые далее подробно рассматриваются в гл. VI, производится браковка нулевого порядка в пользу первого, затем второй порядок бракуется в пользу первого. Если на этом остановиться, то можно принять неправильное решение о первом порядке марковости, хотя фактически мог иметь место только марковский признак. Возможно, что дальнейшая статистическая проверка альтернатив дала бы решение в пользу третьего порядка в альтернативе второго порядка против третьего.

Подчеркнем еще раз, что для получения последовательности с марковским признаком, но без марковского свойства требуется, чтобы для полос матрицы P выполнялись условия а) или ) и в то же время укрупненная последовательность не обладала обратимостью. Это следует из теоремы V.3. Отметим также, что для возникновения подобного рода случайной последовательности необходимо укрупнение не менее чем трех состояний в одном классе. Это утверждение оказывается простым следствием теоремы V.4, которая будет дана в следующем параграфе.

П р и м е р V.5. Рассмотрим еще раз схему слоеобразования, приводящую к последовательности пакетов (), () и (), которую мы уже изучали во второй части примера V.2. При этом мы предположим, что последовательность пакетов является бернуллиевской. Наблюдаемая последовательность слоев в разрезе получается, как отмечалось в примере V.2, за счет стирания границ между пакетами. Опираясь на материалы этого параграфа о достаточных условиях сохранения марковости, рассмотрим, какой марковской структурой будет обладать наблюдаемая последовательность слоев.

Последовательности пакетов отвечает следующая матрица переходных вероятностей:

() () () Равные вероятности в каждом из столбцов соответствуют предположению, что пакеты образуют последовательность Бернулли.

Обозначим, как и ранее в примере V. 2, Tt1 — песчаный слой из 312' пакета (); 2 — песчаный слой из пакета (); — глинистый слой из пакета () и 2 — глинистый слой из пакета (). Тогда на множестве состояний 2 — ( 2 Та}« к а к У ж е было показано rt в примере V.2, возникнет простая марковская цепь, стационарная и эргодическая, с матрицей переходных вероятностей

–  –  –

Рассмотрим теперь достаточные условия Кемени и Снелла (1970, с. 176). Поскольку, как в JP2, так и в P ^ J равенства сумм по строчкам внутри клеток не выдерживаются, эти условия не выполняются. В силу того что условия эти достаточные, вывод о наличии или отсутствии марковской структуры у последовательности на состояниях и сделать нельзя.

Перейдем теперь к теореме V.2.

В матрице P2 имеется равенство сумм по строкам внутри клетки в полосе. В матрице JP 2 - ' наблюдается равенство сумм по строкам внутри клетки в полосе. Таким образом, условия теоремы V.2 выполняются. В результате мы можем утверждать, что наблюдаемая последовательность слоев должна обладать марковским признаком для перехода как через, так и через.

313'

I

Наличие марковского признака в отличие от марковости легко проверяется статистически по наблюдениям. Отметим, что фактическая проверка переходов через состояния (слои) и в реально изучавшихся разрезах (Челекен; о : в Жилой, Азербайджан) показала, что переход через одно состояние обладал марковским признаком, а через другое состояние он этим признаком не обладал. Из этого следует, что для изучавшихся разрезов либо схема седиментации пакетами не верна, либо предположение о том, что пакеты чередовались бернуллиевским способом, ошибочно. Этот вопрос подробно будет рассмотрен во второй части этой книги.

Используем теперь теорему V.I.

Нетрудно показать, что окончательная последовательность слоев (т. е. на множестве (, }) будет обратимой, если последовательность пакетов была бернуллиевской. Так, например, установим, что P (T1(A-I)1 ()) = ( -, ),

–  –  –

Подставляя в (V.2.15) и в (V.2.16) безусловные и переходные вероятности соответственно из Р, psi и P2, убеждаемся, что (4-1, ffc) = P ("('''-1', «).

Точно так же легко доказать обратимость относительно других сочетаний слоев.

Таким образом, условия теоремы V.1 выполняются, и мы можем сделать заключение, что в случае бернуллиевского чередования пакетов чередование слоев, наблюдаемое в разрезе, должно отвечать простой марковской цепи.

V.2.3. Критерий слабого укрупнения при дополнительных ограничениях Для получения критериев слабого укрупнения рассмотрим следующие дополнительные ограничения:

а) исходная цепь является обратимой,

б) укрупненная последовательность является обратимой,

в) состояния укрупняются не более, чем по два.

S14 Иными словами, в случае в) разбиение таково, что либо Ej- = = {IV I2), либо E 7 = ( Z ).

В геологических исследованиях вопрос о том, обратима ли исходная цепь, определяется природными соотношениями и, как правило, не может быть проверен статистическими методами.

В силу каких причин окончательная последовательность (после укрупнения) может считаться обратимой, рассмотрено в п. V.2.2.

Наконец, случай, когда проводится укрупнение состояний по два, имеет решение и представляется естественным во многих задачах геологии. Например, при изучении горных пород естественно различать первичные и вторичные минералы (одного состава), в сериях осадочных пород — аналогичные породы трансгрессивных и регрессивных членов серии и т. д.

Рассмотрим сначала случай, когда исходная цепь предполагается обратимой. В книге Кемени и Снелла (1970, теоремы 6.4.6—6.4.8) для него доказан следующий критерий: если исходная эргодическая и стационарная простая марковская цепь обратима, то критерий слабого укрупнения совпадает с критерием сильного укрупнения, приведенным нами на с. 304 под номером V.2.2.

П р и м е р V.6. Рассмотрим снова кристаллизацию тройной системы с эвтектикой, разбиравшуюся нами в начале примера V.1, с зернами I1, выделившимися на цервой стадии кристаллизации, с зернами J2, J2, выделившимися на второй стадии, и с зернами J3, J3, K3 в эвтектической точке. Если в шлифе через агрегат, образованный указанными индивидами, провести прямую, то естественно будет предположить, что последовательность зерен на этой прямой окажется обратимой.

В примере V.1 было высказано предположение, что эта последовательность является простой марковской цепью, это предположение мы примем и здесь. В силу изотропности расплава, из которого кристаллизуются индивиды, для любой прямой, проходящей через агрегат, кажется, что обратимость этой цепи совершенно банальна. Однако предположение об обратимости последовательности приводит к некоторым далеко идущим следствиям относительно* процесса кристаллизации.

Рассмотрим матрицу переходных вероятностей для исходной последовательности

–  –  –

315' Предположим, что исходная цепь обратима. Кроме того, на основании статистических расчетов примем, что окончательная последовательность — простая марковская цепь. Тогда из только что приведенного критерия будет следовать, что сумма по строчкам внутри клеток постоянна. Взяв клетки IK, IK, получим P (K3 111) =р (Ks I It) =р (К, I /,); (K3 | Jt) =р (K3 \ I3).

Таким образом, вероятность перехода на состояние K3 не зависит от генерации, с которой осуществляется переход на K3.

Эти равенства переходных вероятностей не выводятся непосредственно из модели кристаллизации (см. гл. IV и особенно работу автора (Vistelius, 1972)). Поэтому должен существовать некоторый специфический механизм размещения зерен по генерациям в пространстве, занятом кристаллизующимся расплавом.

Перейдем теперь к случаю, когда состояния укрупняются по два. Приведем сначала необходимые условия сохранения марковости в этом случае.

Т е о р е м а V.4. Пусть в исходной стационарной эргодической цепи Маркова первого порядка подмножество содержит два состояния I1 и Ii. Для того чтобы при укрупнении частный переход черев I сохранил марковский признак или ограниченно марковское свойство, или марковское свойство, необходимо, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий а) или ) в V.2.6.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если переход через I после укрупнения частный марковский или ограниченно марковский, то тем более этот переход должен обладать марковским признаком, т. е.

должно выполняться равенство

–  –  –

Обозначим одинаковые выражения в квадратных скобках в (V.2.19) и (V.2.20) как (i, J). Учитывая, что i может принимать только значения 1 и 2, мы видим, что (V.2.19) вместе с (V.2.20) представляет линейную однородную систему из двух уравнений с двумя неизвестными х(1, / ) ж (2, / ). Известно, что однородная линейная система либо имеет только нулевое решение, либо ее определитель равен нулю. В первом случае мы имеем «(1, =х (2, 7) = 0, (У. 2. 2 1 )

–  –  –

Если (V.2.21) выполняется при всех QS0, то это эквивалентно условию а) из (V.2.6).



Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |

Похожие работы:

«красавiк 2014 ТУРИСТИЧЕСКИМИ ТРОПАМИ ПРИРОДЫ БЕЛАРУСИ Сад мечты Вы бывали когда нибудь в круп нейшем ботаническом саду Евро пы? Оказавшись в Минске, такую возможность ни в коем случае нельзя упустить, даже если вы ут вердительно ответите на этот во прос. Каждое новое посещение Центрального ботанического сада НАН Беларуси — это незабывае мая встреча с необычным миром природы, которую представляют более 10 тысяч наименований рас тений, размещенных на 100 гекта рах площади. Ботанический сад имеет...»

«РАСПОРЯЖЕНИЕ СОВЕТА МИНИСТРОВ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ от 25 августа 2015 года № 780-р О внесении изменений в распоряжение Совета министров Республики Крым от 11 марта 2015 года № 199-р и закреплении имущества В соответствии со статьями 83, 84 Конституции Республики Крым, статьями 2, 28, 41 Закона Республики Крым от 29 мая 2014 года № 5-ЗРК «О системе исполнительных органов государственной власти Республики Крым», статьёй 2 Закона Республики Крым от 08 августа 2014 года № 46-ЗРК «Об управлении и...»

«ОТКРОВЕНИЯ НЕБЕС и АДА: данное семи Колумбийским подросткам, и другим.Источник: Служение Благословение Отца – http://imbf.info, автор: The international ministry «Light for the Nations», перевод: Дмитрий Лео – http://imbf.info/docs/biography dmitryleo.htm, дата: 04.2007, Международное служение пробуждения «Благословение Отца»Используя материалы, просим делать ссылку на сайт Служение Благословение Отца – http://imbf.info Посещение ада. Все вместе они были взяты Иисусом Христом и видели небеса и...»

«ЭНЦИКЛОПЕДИЯ РУССКОЙ МЫСЛИ ТОМ ДОКЛАДЫ РУССКОМУ ФИЗИЧЕСКОМУ ОБЩЕСТВУ, (Сборник научных работ) Москва «Общественная польза» Русское Физическое Общество Издание выходит с 1993 г. Ответственный за выпуск В. Г. Родионов (главный редактор журнала «Русская Мысль») Энциклопедия Русской Мысли: Русское Физическое Общество. Издательство «Общественная польза»: М.: Общественная польза, 1993 ISBN 5-85617-100-4. Т. 21.: (Доклады Русскому Физическому Обществу, 2014). – 2014. 216 с. ISBN 5-85617-021-0....»

«Bankovn institut vysok kola Praha Katedra bankovnictv a pojiovnictv Bankovn rizika a metody jejich men Bakalsk prce Shatilova Oleksandra Autor: Bankovn management Vedoucprce: doc. Guley A.I., CSc. Praha erven 201 «Банковни институт Высока школа» (Прага) Кафедра банковского дела и страхования Банковские риски, методы их измерения Бакалаврская работа Шатилова Александра Автор: Банковский менеджмент Руководитель работы: к.э.н., Анатолий Гулей Прага червень, 20 Заявление: Я заявляю, что я,...»

«Эмиль Брагинский, Эльдар Рязанов Берегись автомобиля От автора Мне довелось заниматься литературной работой в содружестве с Григорием Гориным, Владимиром Войновичем, Людмилой Разумовской, Генриеттой Альтман, Алексеем Тиммом и, как в последнем случае, даже с двумя соавторами одновременно. Киносценарий фильма «Старые клячи», съемки которого я закончил летом 1999 года, создавался коллективно с молодыми сценаристами Владимиром Моисеенко и Александром Новотоцким. Был в моей биографии случай, когда...»

«Объем дисциплины госпитальная хирургия, детская хирургия и виды учебной работы: Общая трудоемкость дисциплины составляет 360/10 зачетных единиц. Семестр Всего Вид учебной работы часов 9 10 11 ГХ ДХ ГХ ДХ ГХ ДХ Аудиторные занятия (всего) 216 46 26 40 31 73 В том числе: Лекции (Л) 72 16 8 10 14 24 Клинические практические занятия (КПЗ) 144 30 18 30 17 49 Самостоятельная работа (всего) 108 23 13 20 12 40 Экзамен 36 36 Общая трудоемкость (час.) 360 69 39 60 43 149 Примечание: ГХ – госпитальная...»

«МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ДЕЛАМ ГРАЖДАНСКОЙ ОБОРОНЫ, ЧРЕЗВЫЧАЙНЫМ СИТУАЦИЯМ И ЛИКВИДАЦИИ ПОСЛЕДСТВИЙ СТИХИЙНЫХ БЕДСТВИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ВСЕРОССИЙСКИЙ ОРДЕНА “ЗНАК ПОЧЕТА” НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ПРОТИВОПОЖАРНОЙ ОБОРОНЫ» РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ЛЕГКОСБРАСЫВАЕМЫХ КОНСТРУКЦИЙ ДЛЯ ВЗРЫВОПОЖАРООПАСНЫХ ПОМЕЩЕНИЙ ПРОМЫШЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ РЕКОМЕНДАЦИИ Москва УДК 624.01 ББК 38.96 Р2 Авторский коллектив: канд. техн. наук Д.М. Гордиенко, А.Ю. Лагозин, А.В....»

«ООО «Центр гражданского анализа и независимых исследований «ГРАНИ» (Центр ГРАНИ) Исследование специфики ведения в Азербайджане предпринимательской деятельности Обзор рынка товаров и услуг Азербайджана, актуальных для малого и среднего бизнеса Прикамья ЗАКАЗЧИК: ИСПОЛНИТЕЛЬ: / / М.П. М.П. Специфика ведения в Азербайджане предпринимательской деятельности. Обзор рынков товаров и услуг Азербайджана, актуальных для малого и среднего бизнеса Прикамья Исследование специфики ведения в Азербайджане...»

«Янко А. Р. Рэдклифф-Браун СТРУКТУРА И ФУНКЦИЯ В ПРИМИТИВНОМ ОБЩЕСТВЕ   «УНИВЕРСИТЕТСКАЯ БИБЛИОТЕКА» Издание выпущено при поддержке Института «Открытое общество» (Фонд Сороса) в рамках мегапроекта «Пушкинская библиотека» This edition is published with the support of the Open Society Institute within the framework of Pushkin Library megaproject Редакционный совет серии «Университетская библиотека»: Н.С.Автономова, Т.А.Алексеева, М.Л.Андреев, В.И.Бахмин, М.А.Веденяпина, Е.Ю.Гениева, Ю.А.Кимелев,...»

«BS OHSAS 18001 :2007 БРИТАНСКИЙ Второе издание СТАНДАРТ июль 2007 СЕРИЯ ПО ОЦЕНКЕ ГИГИЕНЫ И ОХРАНЫ ТРУДА Системы менеджмента гигиены и охраны труда — Требования Occupational healthand safety management systems — Requirements Номер для ссылки: BS OHSAS 18001:2007 © BSI 2007 © ЗАО «Технорматив», 2007, перевод на русский язык BS OHSAS 18001:2007 Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ВВЕДЕНИЕ 1 ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ 2 НОРМАТИВНЫЕ ССЫЛКИ 3 ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 4 ТРЕБОВАНИЯ К СИСТЕМЕ МЕНЕДЖМЕНТА ГИГИЕНЫ И ОХРАНЫ...»

«Алексей Яшин АДМИНИСТРАТИВНЫЙ ВОСТОРГ, ИЛИ КАРТИНКИ С ВЫСТАВКИ Алексей Афанасьевич Яшин родом из Заполярья. В числе его высших образований — Литинститут им. А. М. Горького. Член Союза писателей России (СССР) с 1988 года. Автор 25 книг прозы и свыше 500 публикаций в периодике Москвы, Тулы, Воронежа, Екатеринбурга и др. городов. Главный редактор всероссийского ордена Г. Р. Державина литературного журнала «Приокские зори», член редколлегий ряда московских и тульских периодических изданий. Лауреат...»

«Утверждено решением Совета Директоров АО «КазАгроФинанс» от «30» сентября 2015 года № 16 Положение о Службе внутреннего аудита АО «КазАгроФинанс» г. Астана 2015 г. Содержание 1. Термины, определения и сокращения 2. Общие положения 3. Статус 4. Миссия и цели 5. Задачи и функции 6. Ограничения в деятельности 7. Квалификационные требования 8. Права и полномочия 9. Ответственность 10. Наложение взысканий 11. Взаимодействие с Советом директоров и Комитетом по аудиту. 16 12. Взаимодействие с...»

«Internet-Банкинг для корпоративных клиентов (web-интерфейс) Краткое руководство пользователя 2.0.23 Internet-Банкинг для корпоративных клиентов (web-интерфейс) Общие сведения Требования Правила безопасной работы Установка плагина «Bifit Signer» Вход в сервис Сеансы работы Регистрация клиента Интерфейс сервиса Форма документа Настройки Описание настроек Работа с документами Общие принципы работы с документами Виды и статусы документа Операции над документами Шаблоны Отзывы Выписка Письма...»

«ОБ ИААФ МЕЖДУНАРОДНАЯ АССОЦИАЦИЯ ЛЕГКОАТЛЕТИЧЕСКИХ ФЕДЕРАЦИИ КОНСТИТУЦИЯ ВСТУПАЕТ В СИЛУ С 1 НОЯБРЯ 2013 ГОДА НОЯБРЬ 2013 КОНСТИТУЦИЯ ИААФ МЕЖДУНАРОДНАЯ АССОЦИАЦИЯ ЛЕГКОАТЛЕТИЧЕСКИХ ФЕДЕРАЦИИ КОНСТИТУЦИЯ ВСТУПАЕТ В СИЛУ С 1 НОЯБРЯ 2013 ГОДА 17, rue Princesse Florestine BP 359 MC 98007 MONACO Cedex Tel.: +377 93 10 88 88 Fax +377 93 15 95 15 http://www.iaaf.org КОНСТИТУЦИЯ ИААФ НОЯБРЬ 2013 НОЯБРЬ 2013 КОНСТИТУЦИЯ ИААФ СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ КОНСТИТУЦИЯ ИААФ СТАТЬЯ 1 Международная Ассоциация...»

«СПИСОК ИСПОЛНИТЕЛЕЙ Руководитель: Председатель Правления А. В. Марковский Введение, основная часть, РОО «СПОК» заключение, приложения Исполнители: Руководитель Лесного О. В. Ильина Основная часть, отдела приложения РОО «СПОК» Сотрудник Лесного отдела А. В. Лычагина Основная часть, РОО «СПОК» приложения Консультант А. В. Родионов Введение, основная часть, РОО «СПОК» заключение, приложения СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 1. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ РАБОТ 2. ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ ТРОПЫ «В ГОСТЯХ У ЕЛКИ» 3....»

«Введены в действие приказом Начальника УГОЧС и ПБ Администрации города Абакана от 06.07.2015 №43 МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА проведения занятия с работающим населением в области гражданской обороны и защиты от чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера Тема 3. «Сигналы оповещения об опасностях, порядок их доведения до населения и действия по ним работников организаций». Беседа Время: 1 час (45 минут) Разработана сотрудниками УГОЧС и ПБ Администрации города Абакана под общей редакцией...»

«Павел Алексеевич Каплин Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Географический факультет Каплин П.А.ВОПРОСЫ ГЕОМОРФОЛОГИИ И ПАЛЕОГЕОГРАФИИ МОРСКИХ ПОБЕРЕЖИЙ И ШЕЛЬФА Избранные труды Москва 2010 УДК 551.41 (210.5) ББК 26.8 М Редакционная коллегия: Т.А. Янина, А.В. Поротов, С.С. Фаустов Печатается по постановлению Ученого совета географического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова ISBN Каплин П. А. Вопросы геоморфологии и палеогеографии...»

«АКАДЕМИЯ НАУК СССР ИНСТИТУТ ЭТН ОГРАФ И И ИМ. И. И. М ИКЛУХО-М АКЛАЯ СОВЕТСКАЯ ЭТНОГРАФИЯ Ж У Р Н А Л О С Н О В А Н В 1926 Г О Д У ВЫХОДИТ 6 РАЗ В ГОД Март — Апрель И З Д А Т Е Л Ь С Т В О «НАУКА» М осква Гос, П убличная библиотека \ Ленинграде Редакционная коллегия: Ю. П. Петрова-Аверкиева (главный редактор), В. П. Алексеев, Ю. В. Арутюнян, Н. А. Баскаков, С. И. Брук, JI. Ф. Моногарова (зам. главн. редактора), Д. А. Ольдерогге, А. И. Першиц, JI. Г1. Потапов, В. К. Соколова, С. А. Токарев, Д....»

«ПРОТОКОЛ № 23 / 24.01.2013 Г. РЕШЕНИЕ № 367 ОТНОСНО: Прекратяване на договор за възлагане на управление на „МБАЛ – Бяла Слатина“ ЕООД, сключен с д-р Ивка Георгиева, оттегляне овластяването на прокуриста – Николай Димов и възлагане на управлението на временно изпълняващ длъжността управител на „МБАЛ – Бяла Слатина“ ЕООД. ОБЩИНСКИ СЪВЕТ БЯЛА СЛАТИНА На основание Докладна от Кмета на Общината с изх. № 9400-21-2 / 15.01.2013 г., чл. 62, ал. 3 във връзка с чл. 64, ал. 1, т. 1 от ЗЛЗ, чл. 21, ал.1 т....»








 
2016 www.nauka.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.