WWW.NAUKA.X-PDF.RU
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, издания, публикации
 


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 12 |

«А.Б. В И СТЕЛИ УС ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ГЕОЛОГИИ (определение предмета, изложение аппарата) ЛЕНИНГРАД «Н А У К А» ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ УДЩ5 Основы математической геологии ...»

-- [ Страница 3 ] --

11.3.1. Вероятностное пространство и случайные величины Во многих практических задачах, где естественно применять теорию вероятностей, приходится иметь дело с несчетным пространством элементарных событий. Примерами могут служить выбор направления на плоскости (одномерная задача) или в пространстве (двумерная задача), выбор точки в некотором объеме (трехмерная задача), выбор непрерывной функции, заданной на отрезке (бесконечномерная задача), и т. д. Можно было бы попытаться взять в качестве основного вероятностного пространства произвольное множество и задать на классе всех его подмножеств iSl функцию множеств Р, обладающую приведенными в II.

2 свойствами вероятностного распределения. К сожалению, даже в случае простейшего несчетного множества — отрезка единичной длины — невозможно без противоречий задать вероятности всех его подмножеств так, чтобы распределение вероятностей обладало естественными свойствами. Этот факт хорошо известен в теории меры, где приводятся примеры неизмеримых множеств (Колмогоров, Фомин, 1972, с. 248). Значит, в случае произвольного множества класс всех его подмножеств нельзя взять в качестве области задания вероятности. С другой стороны, слишком бедный класс подмножеств, выбранный для этой цели, использовать также непрактично. Во-первых, нельзя выбросить из задачи все многообразие возможностей, которое предполагает несчетное множество элементарных событий. Во-вторых, класс подмножеств можно замкнуть относительно некоторых теоретико-множественных операций, используя свойства вероятности, и, следовательно, можно предположить, что он уже замкнут.

Пусть — множество элементарных событий. Класс подмножеств множества называется полем событий или а-алгеброй событий, если он обладает следующими свойствами:

1)

2) если то А = \ Л сГ; »

48 со то IJ A t Sr%

3) если A1, A2,... б »= Таким образом, класс, на котором разумно задавать вероятность, замкнут относительно дополнения и счетного объединения множеств. Богатство -алгебры 3 " диктуется содержанием задачи.

Т а к, например, при задании вероятности на 2 = [0, 1 ] и случайном выборе точки из этого интервала обычно берется класс ST, содержащий все открытые интервалы внутри интервала [0, 1]. Этот класс, называемый борелевским, содержит уже такое разнообразие подмножеств множества Q1 которого с большим запасом хватает д л я всех практических задач.

П р и м е р II.2. Испытанием является извлечение из некоторого статистического ансамбля образца обычных карбонатных пород, в котором определяется химический состав. Исходом будет то или иное процентное содержание кальцита (GaCO3) и доломита Рис. II.1. Вероятностное пространство, совпадающее с точками треугольника составов карбонатных пород ( к а л ь ц и т доломит).

Заштрихованное множество отвечает событию:

кальцита больше, чем доломита.

(Ca, Mg)(C0 3 ) a. Пространство 2 элементарных событий здесь может быть взято в виде множества точек равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами длиной в 100%, направленными по осям координат (рис. II.1). Декартовы координаты точки, взятой внутри треугольника или на его границе, представляют собой соответственно процентное содержание двух компонент, например кальцита и доломита. Событием в данном случае естественно назвать любое борелевское подмножество множества 2. Напомним, что -алгеброй борелевских подмножеств пространства Rn (=1, 2,...) называется наименьшая -алгебра, содержащая все re-мерные параллелепипеды (для =1 — это отрезки, для =2 — прямоугольники). Событием будет, например, подмножество А, выделенное условием: «кальцита не менее, чем доломита». Этому событию соответствует множество точек (, у) треугольника, для которых ^ у. Д л я решения задач, когда используется только это условие или дополнительное условие «кальцита меньше, чем доломита», достаточно использовать «бедную» -алгебру, состоящую из четырех событий {А, А, 2, Q }.

Если раньше мы называли событием любое подмножество А С 2, то теперь событиями мы назовем лишь элементы -алгебры cW, которая в большинстве случаев не совпадает с -алгеброй всех 4 А. Б. Вистелиус 49 подмножеств множества. Каждому событию А ~ должна соответствовать некоторая вероятность (значение вероятности).

В II.2.1 мы определяли это значение путем суммирования вероятностей элементарных событий, входящих в событие А. Теперь такой путь неприемлем, так как событием! может содержать несчетное множество элементарных событий, а каждое элементарное событие может иметь вероятность нуль. В современной аксиоматической теории вероятностей задание вероятностей на элементах -алгебры г?Г рассматривается как исходное данное, а именно: задается функция множеств P на аГ такая, что

1) P ( A ) " ^ 0 для любого A ^ Ж, причем.() = 1;

2) осли A1, A2,... е ^ Г и Ai П Aj j), то P ( {j Ai \·=1 O O = V p (A1) (счетная аддитивность вероятности).

|'=1 Функция,заданная на -алгебре подмножеств и подчиняющаяся условиям 1) и 2) (кроме условия нормировки P ( Q ) = I ), называется мерой. Таким образом, P — это вероятностная мера. Слово «вероятностная» означает нормированность, т. е. равенство единице значения меры всего пространства. Синонимом термина «вероятностная мера» является термин «вероятностное распределение»

или, коротко, «вероятность». Все свойства вероятности, приведенные в II.2.1, для такого задания вероятности остаются справедливыми. В частности, если -алгебра содержит одноточечные подмножества {} ( ), то функция P задана и на элементарных событиях: P ({ }) ^ 0.

Совокупность пространства элементарных с о б ы т и й ^, -алгебры событий иГ и вероятности P, заданной на этой -алгебре, т. е. тройка (, sT, Р), называется вероятностным пространством.

Совокупность множества и -алгебры его подмножеств (в данном случае пара (, называется измеримым пространством (в этом случае не предполагается, что на классе подмножеств данного множества задана вероятность или какая-либо другая мера). В каждой конкретной задаче можно указать более или менее определенный вид этого пространства. Однако при усложнении условия задачи, например при переходе от единичного испытания к последовательности испытаний, приходится строить все новые и новые вероятностные пространства. Иногда предполагают, что существует универсальное вероятностное пространство, относительно которого измеримы все встречающиеся в задаче или в ее возможных обобщениях случайные величины. В теоретических построениях вообще не рассматривают природу вероятностного пространства, так как основной интерес представляют распределения случайных величин, заданных на этом пространстве. Система исходных понятий теории вероятностей, при которой событиям поставлены в соответствие подмножества н е к о т о р о г о множества, а вероятностям событий — вероятностная (нормированная) мера на классе подмножеств,

–  –  –

В геологической практике используются также распределения смешанного типа, при котором Fi (х) =^aFi1' (х) -f- ( 1 — ) F { 2 ( x ) ( 0 1 ) и Flv — дискретная, a Fi^ — абсолютно непрерывная функция распределения.

П р и м е р II.3. Пусть в данном статистическом ансамбле, состоящем из образцов карбонатной породы, содержатся образцы чистого доломита, чистого известняка (кальцита) и образцы всевозможных смесей доломита с известняком. Типичное распределение вероятностей, характеризующее этот статистический ансамбль, сосредоточенное на отрезке [0, 100] (по числу процентов доломита в образце), имеет две точки 0 и 100 с положительными значениями вероятности P (С) ж P (D), а на интервале (0, 100) — абсолютно непрерывное распределение вероятности со значением на этом интервале I-P (C)-P (D). Функцию распределения в настоящем примере можно представить в виде F1 (х) = (Р (С) + P (D)) FD () + (1 - P ( C ) - P (D)) F^ (),

–  –  –

ного распределения с некоторой !плотностью ^ () (рис. 11.2).

Прежде чем перейти к примерам распределений, покажем, как строится интеграл, называемый интегралом Лебега, от измеримой функции, определенной на пространстве с мерой. В теории вероятностей интеграл Лебега служит для выражения математического ожидания случайной величины в форме, общей для разных видов распределений, и главное — для доказательства различных соотношений, использующих усреднение по вероятностной мере.

–  –  –

вытекающей из 2) и 3).

5). Д л я л ю б о й измеримой функции () существует последовательность си (со) простых функций, сходящаяся к I () равномерно.

–  –  –

Доказательство вытекает из 2) и определения 6).

Мы определили интеграл Лебега от измеримой функции ()»

по мере Р. В теории вероятностей измеримая функция носит название случайной величины, а интеграл от нее по вероятностной мере — математического ожидания случайной величины.

»

Таким образом, ЕЕ = JI (со) P (dw) — математическое ожидание.

е Если этот интеграл не существует, т. е. расходится интеграл ^ I () IP (dw), то говорят, что случайная величина не имеет матеs матического ожидания.

Пусть / — некоторая измеримая вещественная функция, заданн а я на В 1.

а). Если случайная величина имеет дискретное распределение, т. е., согласно определению, является простой функцией, то мы имеем

–  –  –

где (C1, 2,... ) — значения, принимаемые случайной величиной.

б). Если случайная величина E имеет плотность распределения JP^ (х), которую естественно считать неотрицательной функцией, я fn — простая функция, принимающая значения C1, с2,..., то

–  –  –

который имеет смысл для функции распределения Fi (х) общего вида. Не вдаваясь в теорию интегралов Стильтьеса, заметим лишь, что в случае, когда мы имеем смешанный тип распределения, этот интеграл распадается на два, из которых первый сводится к ряду, а второй — к интегрированию в обычном смысле (в смысле Римана). Этот случай охватывает практически все возможные варианты.

II.3.3. Числовые характеристики случайных величин Полная информация о случайной величине содержится в ее функции распределения. Однако в том случае, когда эта функция не имеет достаточно простого аналитического вида, эта информация трудно обозрима. В некоторых случаях хорошее представление о распределении случайной величины дают различные числовые характеристики этих распределений. Важнейшая из этих характеристик — математическое ожидание — упоминалась выше:

CD = j () P (da) = ^ xdV^(x).

а —от Кроме того, как и для дискретного вероятностного пространства,, в общем случае характеристикой рассеяния случайной величины относительно естественного центра может служить дисперсия D = (—El) 2. Величина = \ / называется среднеквадратичным, или стандартным, отклонением. Основные свойства математического ожидания и дисперсии перечислены в 11.2. Перейдем к другим характеристикам случайных величин.

а). Моментом k- порядка случайной величины (или ее распределения) называется величина *1 (&=1, 2,...). Эти моменты называются также начальными.

б). Центральным моментом k- порядка случайной величины (или ее распределения) называется величина E (—)* (fc=2, 3,...). Второй центральный момент — это дисперсия.

Линейные функции от третьего и четвертого центральных моментов носят специальные названия:

E (-)».

— — асимметрия (смысл характеристики отражен в наЕ звании); ^ 3 — эксцесс (характеризует превышение «крутизны» функции распределения по отношению к «нормальной»;

о нормальном распределении и его свойствах будет сказано далее).

в). Абсолютные моменты случайной величины:

E I I — начальный, используется для проверки условия существования математического ожидания;

E I — I — центральный, иногда используется для характеристики рассеяния; в аналитическом отношении менее удобен, чем дисперсия.

г). Дискретное распределение может быть охарактеризована наиболее вероятным значением случайной величины, называемым модой Mo () = о, где случайная величина принимает значения из множества {a t, a 2,... } и P ( — а) — maxP(l = a{).

1«со Модой абсолютно непрерывного распределения называется точка х г при которой плотность распределения () достигает максимума.

Могут быть одномодальные распределения, двухмодальные, трехмодальные и т. д.

5Т д). Квантиль Xp уровня р, где 0 1, — это такое значение R1, при котором функция распределения принимает значение р, т. е. Fi(Xp) = P- Квантиль уровня 1/2 называется медианой Me (I) = ж, если F1 () = 1/2.

Квантили уровней 1/4 и 3/4 называются нижней и верхней квартилями. Они широко использовались в седиментологии после работ Траска.

е). Энтропией дискретного распределения называется величина ™ / ах а2... \ Pf г Д е ? имеет распределение H^ = I.

»= \Pi Pz · · ·/ Энтропия абсолютно непрерывного распределения — это ВеЛИС О чина H21 = — ^ () log ()dx, где plogp = 0, если p = Q.

—о с Обе эти величины могут служить мерой рассеяния распределений случайных величин. Для упрощения операций со случайными величинами часто вводятся специальные технические средства. К ним относятся производящая, характеристическая функции и преобразование Лапласа.

ж). Пусть случайная величина I принимает неотрицательные OO

–  –  –

ция fi (s) = Es, заданная на интервале [О, 1], называется производящей функцией случайной величины |. Она содержит полную информацию о распределении случайной величины и в принципе, зная ее, можно восстановить распределение. В терминах производящих функций некоторые преобразования случайных величин выглядят особенно просто.

з). Д л я неотрицательных, но не обязательно целочисленных случайных величин роль производящей функции играет преобразование Лапласа, которое для любого ^ 0 определяется как величина

–  –  –

называемая характеристической функцией распределения (или случайной величины). Это есть не что иное, как преобразование Фурье распределения случайной величины (Колмогоров, Фомин, 1972, с. 397). Так же как для производящей функции и преобразования Лапласа, соотношение между распределениями случайных величин и их характеристическими функциями взаимно однозначно и непрерывно. Свойства преобразования Фурье аналогичны свойствам преобразования Лапласа. Характеристические функции — это основной инструмент для доказательства предельных теорем теории вероятностей и, в частности, знаменитой центральной предельной теоремы.

.4. ПРИМЕРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Приведем несколько примеров часто встречающихся распределений случайных величин. Подробные сведения об одномерных распределениях содержатся в книге Кендалла и Стьюарта (1966).

–  –  –

где A 1 — н а и м е н ь ш е е и з тех А, д л я которых т. е.

D г ( = -+-1) ^ — 1. При A1 = X — 1 распределение имеет две моды:

Mo = — 1 и M0 =.

Наиболее естественно распределение Пуассона возникает в так называемых точечных процессах Пуассона. Рассмотрим, например, однородный точечный процесс Пуассона на прямой. При этом по всей прямой случайным образом размещены отмеченные точки так, что при любом для любой системы попарно непересекающихся интервалов A1, Аг,..., An (где Ai f | Aj= 0, Ai с R1) количества отмеченных точек (Si1,..., 1лв) в этих интервалах — это взаимно независимые случайные величины, причем распределение случайной величины 4 зависит только от длины интервала А, а не от его положения на прямой.

Если к тому же распределение случайной величины 4 подчинено условию ординарности (смысл которого состоит в том, что для малой длины интервала вероятность попадания в этот интервал более одной точки есть величина более высокого порядка малости), то Ij1 имеет распределение Пуассона с параметром а· | А |, где а 0 и I А I — длина интервала А (Гнеденко, 1961, с. 295).

Аналогично определяется многомерный точечный процесс Пуассона. В геологической практике точечные процессы Пуассона могут служить моделью многих явлений. Показано, например, что распределение количества зерен акцессорного минерала в шлихах из песчаных отложений с большой степенью точности соответствует распределению Пуассона (Вистелиус, 1968). Вместе со свойствами независимости количеств зерен в непересекающихся пробах это приводит к модели трехмерного точечного процесса Пуассона, где отмеченными точками являются зерна акцессорного минерала.

в. Г е о м е т р и ч е с к о е распределение. Это дискретное распределение, сосредоточенное на множестве неотрицательных целых чисел, причем ( = /) = (1 — )* (fc = 0, 1, 2, где « (0 1) — параметр распределения. Этот параметр равен условной вероятности P ( ^ А + 1 | ^ А), которая не зависит от к.

Действительно, по определению условной вероятности (см. II.2.1), С О

–  –  –

Равномерное распределение является предельным для суммы по модулю M (M=T^=O) независимых и равно распределенных случайных величин при стремлении числа слагаемых к бесконечности.

Пусть, например, угол поворота единичного вектора на плоскости получен в результате последовательных приращений угла:

я ря=2я· где случайные величины а. независимы и одинаково распределены.

Регистрируется угол Ф„ = — 2пк, где A — целая часть величины -Ц-, т. е. Ф я = 2,·(2) (сумма по модулю М, где г=1 = 2 ). При некоторых очень слабых предположениях о функции распределения слагаемых а { последовательность распределений случайных величин Ф в сходится (в некотором смысле) к равномерному распределению на интервале (0, 2). Идея сложения по модулю M большого числа малых случайных величин заложена в основу практической рекомендации — считать ошибку округления, например, с точностью до второго десятичного знака, случайной величиной с равномерным распределением на интервале между двумя допустимыми значениями округления.

Равномерное распределение имеет все моменты и квантили, вычислить которые предлагается читателю.

в. Н о р м а л ь н о е распределение. Характеризуется плотностью распределения случайной величины Jx-aT_ = ** (-»*")·

–  –  –

где ( — последовательность взаимно независимых случайных величин с одной и той же функцией распределения и с конечной дисперсией, сходится к функции распределения () при п— со.

Существует много других форм центральной предельной теоремы к а к для независимых, так и для зависимых случайных величин.

Нормальное распределение имеет все моменты. Д л я их подсчета мы используем свойства характеристических функций. Согласно определению характеристической функции случайной величины с функцией распределения F i ()

–  –  –

Отсюда асимметрия нормального распределения равна 0. Эксцесс также равен нулю:

Как отмечалось выше, нормальное распределение служит образцом, с которым сравниваются все другие одномодальные распределения по степени сглаженности.

г. Г а м м а - р а с п р е д е л е н и е. Оно определяет распределение положительной случайной величины с плотностью распределения (см. рис. II.3)

–  –  –

68' Асимметрия положительна и тем меньше, чем больше параметр а.

Для распределения 2, где а = га/2, последнее свойство вытекает также из центральной предельной теоремы, из которой следует, что ^ распределено асимптотически нормально при - со.

д. Р а с п р е д е л е н и е К о ш и. Это распределение случайной величины с плотностью

–  –  –

Рассматриваются конечномерные векторные случайные величины и связанные с ними понятия: произведение вероятностных пространств, индуцированные вероятностные распределения, маргинальные распределения, характеристики и примеры распределений векторных случайных величин, условные распределения относительно случайных величин.

I I. 5. 1. Произведение вероятностных пространств

К а к уже отмечалось, одна из задач теории вероятностей — нахождение вероятностей одних событий по заданным вероятностям других событий. Иногда требуется расширить исходное множество элементарных событий и класс измеримых множеств.

Один из методов конструирования нового вероятностного пространства из заданных — произведение вероятностных пространств.

Пусть ((Q1, ^ 1, P1),..., (2„, g-n,Pn))(n = 1, 2,... ) - з а д а н ная система вероятностных пространств. Их произведением называется вероятностное пространство (2, Р), где = Q 1... 2 В — множество всех конечных последовательностей = (шг,..., ои) (Oi 2), называемое декартовым произведением множеств S 1,..., 2 В, & — наименьшая -алгебра, содержащая все и-мерные «параллелепипеды» A1X A2X... X An (Ai т. е. декартовы произведения множеств A1,..., An. Эту -алгебру обозначают ^F1 (g)... 0 еГ„.

P — вероятностная мера, заданная на zf, такая, что для любых A i G J r 1 - (« = 1, · · ·. п)

–  –  –

Существование и единственность такой вероятностной меры, которую обозначают P1X... X Pn, доказаны, например, в книге Неве (1969, с. 113). Часто все (2,., Pi) (i = i,..., ) — это экземпляры одного и того же вероятностного пространства (Qi, оГ,, ^ ) = (2,, оГь P1).

Так поступают при конструировании вероятностного пространства в схеме Бернулли, когда ищут вероятности событий в последовательности независимых испытаний. В обычных обозначениях множество A1X... X An означает событие, при котором происходит и событие A1 при первом испытании, и событие A2 при втором испытании, и событие An при п-м испытании, т. е. это пересечение событий ^ A J (г = 1,..., п), где () =,. — функция от 0) = ((,.. ( о я ), сопоставляющая каждому его г'-тую координату. Событие Ai) состоит в том, что i-тая координата вектора принадлежит множеству Ai.

Тогда

–  –  –

где Ai = (,.,·} ^ ^T i. Но события {^ ^ Ai) взаимно независимы.

Следовательно, и Ei взаимно независимы.

В теории вероятностей часто приходится иметь дело с последовательностями случайных величин. Предыдущее построение показывает, что всегда можно построить вероятностное пространство, на котором заданы случайные величины, имеющие те же самые распределения, и на котором они будут взаимно независимы (мы показали это для конечных последовательностей, но то же справедливо и для бесконечных). Поэтому часто не заботятся о конкретном виде вероятностного пространства и считают, что на нем можно построить сколь угодно большую систему взаимно независимых случайных величин.

11.5.2. Распределение векторных случайных величин

Мы определили случайные величины к а к измеримые функции, отображающие измеримое пространство ( 2, в измеримое пространство (R1, S1), где (Ш1 — -алгебра борелевских подмножеств па прямой. Это означает, что для случайной величины (ее значения () называются реализациями случайной величины ) полный прообраз любого борелевского множества А S31, т. е. множество = { : () ^ А}, принадлежит -алгебре Теперь мы определим векторную случайную величину как измеримое отображение пространства ( 2, в измеримое пространство (R", (SSn), где Rn — обычное n-мерное векторное пространство, ' о%п — -алгебра борелевских подмножеств пространства Rn. Это «кшачает, что для любого А М " множество ' 1 А принадлежит з плгебре o f.

Ранее мы говорили о распределениях одномерных случайных поличин. Теперь мы уточним это понятие, рассмотрев распределение векторных случайных величин.

Пусть (, o f, Р ) — вероятностное пространство, на котором нндана векторная случайная величина.

71' Распределением случайной величины называется вероятностная на борелевских подмножествах A f Mn мера определенная равенством Pi(A) = P № В) = Р{$-Щ.

–  –  –

Абсолютно непрерывным распределением называется распределение для которого существует такая неотрицательная измеримая функция р^, называемая плотностью распределения что для любого борелевского множества А с Rn J j ^ () dx.

А В этом выражении справа стоит интеграл Лебега от функции P^ по так называемой мере Лебега на множестве А.

Мы не будем у точнять понятие «мера Лебега». Отметим только, что га-мерная мера Лебега — это га-мерный объем данного множества. Все практически используемые плотности распределения — это непрерывнее или кусочнонепрерывные функции, а для таких функций интеграл Лебега по мере Лебега совпадает с обычным интегралом 1'имана. Следовательно, если мы будем обозначать точку Rn и обычной координатной форме = (,..., х„), то предыдущий интеграл, записанный в виде J (*1. ···. x„)dxi... dx„, А можно вычислять, как обычный га-кратный.

Распределение смешанного типа не нуждается в специальных комментариях. Заметим, что полное описание распределения произвольного типа можно дать с помощью га-мерной функции распределения Fi. Применяя, как и выше, символ () для обониачения i-той координаты случайного вектора, определим р (*1 = ( п {*(5)0}) = ·((-».*i)X(-®. z a )·· -·(-00,X n )).

Нетрудно выразить значение меры через Fi на га-мерном ипрпллелепипеде. В отличие от одномерного случая выражение получается громоздкое и неудобное для практического использоIIiiмня. Кроме того при преобразовании системы координат функции F преобразуется чрезвычайно сложно (Тутубалин, 1972, с. 72).

73' В общем случае га-мерная функция распределения применяется мало. Исключение составляет случай, когда координаты случайного вектора являются взаимно независимыми случайными величинами. Тогда.

F^ (хи..., х„) = Д Fii(Xi), »'= где = (!) — одномерная случайная величина.

Часто требуется охарактеризовать векторную случайную величину некоторым числом. В общем виде это делается по следующей схеме. С каждой точкой пространства R" сопоставляется вещественное число. Иными словами, задается функция / () ( R").

Предположим, что / — это измеримая функция, т. е. для любого А б^1 Г1 ( A ) ^ 1 где SS1 — это борелевская -алгебра подмножеств из области значений функции /, а Щ*— борелевская -алгебра подмножеств из области определения функции /. Тогда функция от / () — это одномерная случайная величина (с реализациями / (E ( ш )))· Действительно, для любого A ^ SS1 {/()6^) = 5"1 {/€^)€osr так как] { / € ^ } = /" 1 WCoffи — случайная векторная величина.

Следовательно, / () — измеримая функция, т. е. случайная величина. Математическое ожидание этой случайной величины

–  –  –

последний интеграл для случая, когда функции / и P i непрерывны, всюду, за исключением, может быть, некоторых точек и линий, сводится к re-кратному интегралу

–  –  –

Это частный случай свойства линейности математического ожидания. Пользуясь обозначением интеграла Лебега от векторнозначной случайной величины по мере Р, который определяется покоординатно так, как это делается в II. 3. 2, можно записать:

–  –  –

II.5.3. Характеристики векторных случайных величин Рассмотрим векторную случайную величину (со) на вероятностном пространстве (, JT, Р). Такие величины, естественно, возникают, когда исследуются совместные распределения случайных величин (E1,..., EJ, которые можно считать координатами вектора — =(S 1,..., EJ или — в других обозначениях — ICi (E)= Ei. Выше мы определили математическое ожидание векторной случайной величины «).

Е|=к где Oi = Ei i = E ^ ( I ).

Естественно ожидать, что характеристики распределения векторной случайной величины не сводятся к характеристикам распределений его координат Ei. В общем случае это действительно так, за исключением немногих характеристик, таких как E 5, и случая взаимной независимости координат случайного вектора. Мы перечислим некоторые из этих характеристик.

а. М о м е н т ы в е к т о р н о й с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы. Моментами векторной случайной величины E (или ее распределения) называются интегралы (если они существуют)

–  –  –

для абсолютно непрерывного распределения с плотностью Ч и с л о A = A 1 -)-... -\-к п ( A i ^ O ) называется порядком момента. Моменты первого порядка — это математические ожидания координат случайного вектора (или его маргинальных распределений)

–  –  –

{А б M2), является распределением случайного вектора ntJ (). Оно также называется маргинальным по отношению к распределению [. Пусть теперь маргинальные распределения и абсолютно непрерывны, т. е. существуют плотности этих распредеPtzj-(Z) и PxtJ (· Тогда определена величина, называемая ний количеством информации одной компоненты Iti () случайного век тора относительно другой компоненты ^.():

dxdy.

I J j Очевидно, эта величина симметрична относительно перестановки и /. Она отражает меру стохастической зависимости случайных величин Ki () и,(). Если эти случайные величины независимы, т о Jij(I) = 0.

Действительно, пусть A = A1 A2 (A1, A2 M1) — «прямоугольник», лежащий в плоскости R2, со «сторонами» A1 и A2. Тогда

–  –  –

78' Так как это равенство справедливо для всех A1 и A2 и, согласно предположению, Ph^ и кусочно-непрерывны, то P-ijwl*· ")=·4(« всюду на плоскости R 2 и поэтому J i j - () = 0.

Аналогично доказывается, что совмгстная плотность независимых случайных величин равна произведению плотностей этих случайных величин, если только совместная плотность существует.

Кроме матрицы (J i j - (|)Их11 в работах по математической геологии для характеризации многомерных распределений используется также матрица, составленная из элементов

–  –  –

Натуральные числа N и п, а также вероятности pv •.., ря_г являются параметрами полиномиального распределения (рп = 1 — — P1 —... — Pt^1 не является независимым параметром). Вероятность P (к () = ) является коэффициентом при... *» в разложении полинома (P1OL1 - } -... + „)· Биномиальное распределение является частным случаем полиномиального при = 2.

Оно же является маргинальным для полиномиального.

80' Действительно,

–  –  –

= (I-Pi)*-*'.

т. е. случайная величина A1 () имеет биномиальное распределение с параметрами P 1 и N.

То же относится к любой другой компоненте Iei () вектора к () (ее параметры р{ и ).

Тем же методом легко подсчитать, что маргинальное двумерное распределение, например вектора (Ai (), Jcj ()), — это полиномиальное распределение третьей степени с параметрами N, р (, P j.

Подсчитать ковариационную матрицу случайного вектора к () можно непосредственно, воспользовавшись аналитическим выражением для совместных распределений пар компонент. Но лучше это сделать с помощью следующего приема. Заметим, что

–  –  –

6* (b{j) также диагональная, и плотность (II.5.1) представляется в виде произведения плотностей одномерных нормальных распределений, т. е. компоненты,· — независимые нормально распределенные величины.

До сих пор мы говорили о невырожденном нормальном распределении, при котором определители матриц (JbiJ) и (CiJ) не равны нулю. Нормальным распределением называют также распределение с характеристической функцией вида (II.5.2), у которого ковариационная матрица имеет определитель, равный нулю.

Это так называемое вырожденное, или несобственное, нормальное распределение.

Пусть ранг ковариационной матрицы равен г (1 ^ г п).

Известно (Крамер, 1975, с. 327), что в этом случае существует линейное множество (ЛИНИЯ, плоскость, гиперплоскость) Lr размерности г такое, что все распределение сосредоточено на Lr (т. е. fie (L r ) = I) и не сосредоточено ни на каком другом линейном множестве меньшей размерности. В этом случае существует ровно —г линейных соотношений между компонентами I i, которые выполняются с вероятностью единица.

Вырожденное нормальное распределение не является абсолютно непрерывным. Однако каждая из компонент Sf может быть представлена в виде линейной функции от г независимых и нормально распределенных величин, совместное распределение которых абсолютно непрерывно в пространстве Rr.

Рассмотрим линейное преобразование пространства Rn в пространство Rm с х * * ( = 1 · 2 т Vi = 2 ) к=\ с матрицей C = ( c i k ) m X n, где т не обязательно равно п. В матричном обозначении это преобразование имеет вид у = х С т (для удобства в качестве основного обозначения для вектора мы выбрали вектор-строку); таким образом, у=(г/ х,..., ут), x=(xlt..., хп)\ индекс «т» сверху обозначает транспонирование; таким образом, у 1 и х т — это соответствующие векторы-столбцы, и предыдущее равенство можно записать в виде | у т = Схт.

Это преобразование определяет новую векторную случайную величину с иг-мерным распределением.

Пусть T5(I) = Eei *·» (t = ( дбЛ») является характеристической функцией случайного вектора = = (S 1,..., Ib). Определим характеристическую функцию преобразованного случайного вектора = ( 1,..., )=:. Так как (t, ) можно записать в матричном виде как t| T, то, определив вектор t ит) ( Rm, получим как t = иС, где и = (и17..

84' (t, ) = (иС, ) = uC • Г = u. (С • = u · (*)· = (, 4) (здесь мы использовали сочетательный закон умножения матриц и правило транспонирования).

Следовательно, характеристическая функция с л у ч а й н о г о вектора вычисляется по правилу 9 (U) =T i (UC) · Пусть теперь имеет нормальное распределение с характеристической функцией

–  –  –

Очевидно, иСЛС т и т — неотрицательно определенная квадратичная форма, и, следовательно, случайный вектор имеет нормальное (может быть, вырожденное) распределение. В частности, линейная функция от п компонент случайного вектора, распределенного нормально, также распределена нормально. Оказывается верен гораздо более глубокий обратный результат: если сумма двух независимых случайных величин распределена нормально, то каждая из этих случайных величин также распределена нормально (Феллер, 1967, с. 600).

Рассмотрим плотность невырожденного нормального распределения (II.5.1). Она представляет собой непрерывную положительную функцию с максимумом в точке = = ( 5..., а п ), убывающую до нуля на бесконечности. При любом 0 уравнение я b —a№j ~ "··) = с 2 2 *j, J=1 определяет поверхность уровня одинаковой плотности вероятности P i (х). Эта поверхность представляет собой эллипсоид с центром в точке а. С помощью поворота координатной системы можно сделать главные оси эллипсоида параллельными координатным осям. Этому повороту соответствует ортогональное преобразование пространства R", а новому положению эллипсоидов одинакового уровня — независимость компонент преобразованного случайного вектора. Эллипсоид, определенный для с 2 = г а + 2, назыдается эллипсоидом рассеяния. Он может определяться для любого га-мерного распределения с конечными вторыми моментами и служит для сравнения распределений по степени сосредоточения вероятности около центра (Крамер, 1975, с. 331). Квадрат его объема пропорционален D " 1 = | Л | (определитель ковариационной матрицы). Эта величина называется обобщенной дисперсией.

К а к было отмечено, маргинальные распределения нормально распределенного вектора также нормальны. Однако нормальность одномерных маргинальных распределений не является достаточной для того, чтобы распределение вектора было нормальным. Приведем пример.

Пусть и Ij — двумерные случайные векторы, распределенные нормально с математическими ожиданиями E = E i j = ( 0, 0) и кова

–  –  –

так как это плотности одного и того же нормального распределения с параметрами 0 и 1. Отсюда P1 (х) и р2 (х) — плотности нормального распределения с параметрами 0 и 1. В то же время р(х, у) не является плотностью нормального распределения, так как соотfcM), ветствующая характеристическая функция равна -у е 1

–  –  –

В этой форме распределение Коши имеет только один п а р а метр — размерность п. Иногда распределением Коши называют также распределение случайного вектора = + - В при любом векторе a ^ i ? "и матрице В порядка Xn, которые в этом случае являются параметрами распределения.

Распределение Коши представляет собой пример распределения, которое не имеет математического ожидания и тем более моментов высших порядков. Плотность р^ симметрична относительно начала координат, где она имеет максимум. Поверхности одинакового уровня плотности представляют собой сферы. Все маргинальные распределения Коши являются также распределениями Коши меньшей размерности. Показать это проще всего с помощью' характеристической функции. Докажем, что Е е · (t, х) __ e - | t | ( где It I = +... +, если t = (tlt..., t„).

Для этого в интеграле

–  –  –

где С = S '_)dy2,...,(Jcp f j j (интеграл берется ( Р,..О 2 по области всех возможных углов ср2,..., Cpflj в сферической системе координат, которая одна и та же для любых г и рх).

Теперь перейдем обратно к декартовой системе координат, положив Tcostp 1 =-U и г sin Cp1 = v. Якобиан этого преобразования равен г"1, и мы имеем

–  –  –

В отличие от одномерного случая 111 = \jt\ -j-... + 1 \ и, следовательно, любое маргинальное распределение — это распределение Коши. Д л я доказательства достаточно приравнять нулю соответствующие координаты вектора t.

88' Распределение Коши можно получить с помощью проекции поверхности сферы на касательную плоскость, осуществляемой лучом, проходящим из центра сферы. Пробегая все точки поверхности сферы, луч осуществляет взаимно однозначное соответствие полусферы и плоскости. Пусть теперь на полусфере задано равномерное распределение вероятностей. Это такое распределение, что значение вероятности на любой области полусферы пропорционально площади этой области. Заданная проекция индуцирует вероятностное распределение на плоскости. Можно показать, что это индуцированное распределение и есть распределение Коши с размерностью, на единицу меньшей, чем размерность сферы.

Очевидно, плотность р^ (хх,..., хп) не равна произведению плотностей одномерных распределений Коши. Поэтому компоненты случайного вектора = ( I 1,..., I J — зависимые случайные величины. Ковариация компонент I i, Iy не определена.

Д л я численной оценки зависимости можно применить информационный коэффициент корреляции (см. I I. 5. 3 (в)).

–  –  –

В п. II.2.1 мы определили условную вероятность P (А \ В) события А относительно события В как отношение предполагая, что P (В) · 0. Рассмотрим условные вероятности относительно события В для всех A ^ S". Очевидно, функция множеств P (· I ) подчиняется условиям 1) и 2) из 11.3.1. Таким образом, мы получаем новое вероятностное пространство (, с, P (· | В))Особенностью вероятностной меры P (· | В) является лишь то, что она сосредоточена на множестве В (которое предполагается измеримым, т. е. так как P (В) Р ( В | В ) = - р ^ = 1.

Рассмотрим случайную величину |, т. е. измеримую функцию, заданную на измеримом пространстве (, S1")- При новой вероятностной мере P (· I В) у нее будет новое распределение (· | В), где для любого R ' ((-, )|) = (|),

–  –  –

где ak = P(A\Bik) и P (9 = ак) = Р (Bik).

Эта аналогия, а также потребность в определении условных вероятностей относительно случайных величин приводит к новому подходу к условной вероятности. В современной теории вероятностей и в ее приложениях значительно более важную роль, чем условные вероятности относительно отдельных событий, играют условные вероятности относительно систем событий. Примером раздела теории вероятностей, который основан на условных вероятностях относительно системы событий, является теория марковских процессов.

В предыдущем примере в качестве этой системы событий удобно взять разбиение 33=CBi, ·.., B n ) и определить условную вероятность P (А I 93) относительно этого разбиения. При этом P (А | 93) считается такой случайной величиной, которая принимает постоянные значения на каждом Bi, равные P (А ) Bi).

90' Тогда Р(АВ) = Р(А\В)Р(В) = Р{А\ВДР(ч=Р(А\В)) =

–  –  –

Это определение теряет свою ясность при переходе от конечных:

разбиений к бесконечным, и в частности к несчетным. Нас будут интересовать в первую очередь разбиения, производимые на множестве элементарных событий 2 случайными величинами, принимающими несчетное множество значений.

Пусть — такая случайная величина, которая принимает все значения из интервала (а, Ъ). Несчетным разбиением будет разбиение : е (а, Ъ)}.

Условной вероятностью события А относительно разбиения производимого случайной величиной (или относительно случайной величины ), называется такая случайная величина, измеримая относительно -алгебры что д л я любого В JT^ P(AB)= J ().

В В этом определении ^ означает «-алгебра, порожденная случайной величиной ». Так называется под--алгебра -алгебры содержащая все события вида { } (аR1), причем это наименьшая из всех таких -алгебр. Случайной величиной, измеримой относительно некоторой -алгебры ^ 1 с o f, называется функция, определенная на 2, такая, что для любого a ^R1 { • а} J f 1.

В тех случаях, которые представляют интерес, Jf^ не совпадает с &. Условную вероятность события А относительно случайной величины обозначают к а к P (А ] ). Значения этой новой случайной величины в точке 2 обозначаются как P (А | ) ().

Основное равенство, определяющее эту условную вероятность,.

P(AB) = E ( (А I ) - Ib), где В Возникает вопрос о существовании таких условных вероятностей для данных А & и случайных величин. Положительный ответ на этот вопрос дается известной теоремой Радона— Никодима (Колмогоров, 1974, с. 72).

Следующим шагом является определение условных распределений вероятностей относительно случайной величины. Так называется функция P ( · I ) (отсутствующий аргумент ее обозначен точкой) такая, что при любом А J f P (A j ) — это определенная выше условная вероятность события А относительно случайной величины, а для любого (точнее, почти для всех ^ 2, т. е. для всех, за исключением, принадлежащих множеству,, вероятность которого равна 0) функция P' (·)= (· IS) (°)— 91;

это вероятностное распределение на (, гЖ). Не слишком ограничительные достаточные условия существования таких условных распределений вероятностей относительно I приведены, например, в книге Гихмана и Скорохода (1971, с. 51).

Если определено условное распределение вероятностей, то естественно определить условное математическое ожидание случайной величины относительно случайной величины I, которое обозначается E (/) и равно ^ i\P (cZo| ), а также условное распределение случайной величины относительно случайной величины. Мы будем обозначать это распределение как (. | ).

Таким образом,

–  –  –

где [ 2,... } С R1, то E ( 11) также принимает счетное множество значений:

E(TiI^ = C1), ( | = 2 ),..., где E ( | S =,.) — условное математическое ожидание относительно события (S = Cii), имеющего положительную вероятность, причем

–  –  –

Эта формула для плотности условного распределения (или условной плотности, как ее иногда называют) аналогична формуле условной вероятности относительно события положительной вероятности.

В качестве примера вычислим плотности условных распределений одной координаты двумерного случайного вектора относительно другой координаты, когда этот вектор имеет распределение: а) нормальное, б) К о п т, а). Пусть

–  –  –

и, следовательно, Отсюда видно, что условное распределение относительно уже не является распределением Коши. В частности, существует условное математическое ожидание ( | = ), равное нулю при любом R1, так как условная плотность симметрична относительно нуля и

–  –  –

висимы.

Однако P (A1AiA^) = P (о4) =, в то время как P ( ^ 1 ) X X P (Л2) P (Л3) = -g-. Следовательно, эти события не являются взаимно стохастически независимыми, и, значит, то же можно сказать о случайных величинах IA1, IA,, IAS· Нетрудно показать, что случайные величины I1,... Sb стохастически независимы в совокупности, если для любого i { l,..., / i } ^(«| S-i) = ({), т. е. условное распределение каждой компоненты относительно случайного вектора, составленного из предыдущих компонент, равно безусловному распределению этой компоненты (т. е. соответствующему маргинальному распределению). Действительно, если указанное свойство имеет место, то

–  –  –

В общем случае для задания распределения вектора достаточно знать распределение первой компоненты и условные распределения (-IS1, · · ·, (i = 2,..., ). При этом {,}) = *((-00' ) · · · Х ( - ° ° - «)) =

–  –  –

Рассмотрим некоторые преобразования случайных величин.

Если — n-мерная векторная случайная величина и / — измеримая функция, заданная на Rn со значениями в Rm, то /() — га-мерная векторная случайная величина с распределением которое вычисляется по правилу p/ujW-M/"1^)) где Г1 (A) = {(,...,xn):f (xlt..., хп) 6 А), (см. И. 5. 2) Как было отмечено выше, многомерные функции распределения находят ограниченное применение потому, что не существует удобных формул, связывающих функции распределения преобразованных и не преобразованных векторных случайных величин. Более удобны в этом отношении плотности распределений.

Пусть — абсолютно непрерывное распределение и ^ — плотность распределения случайного вектора.

Тогда iV(5)(^)= \ Pj (* х„) dXl... dx„.

Пусть т = п я g [X1 хп) = (g1 (X1 хя),..., gn (xv..., хв)), где gf — гладкие функции. Как известно из курса дифференциального и интегрального исчисления (Фихтенгольц, 1960, с. 388), предыдущий интеграл в этом случае равен

–  –  –

W*) = S V»-**)^»!).· —O O где интеграл Стильтьеса, стоящий справа, равен интегралу Лебега от функции Ff, (X-X1) по мере Pii(Clx1) (замечание об интеграле Стильтьеса см. в.3.2). Эта операция над функциями распределения, а также аналогичная операция над самими распределениями, соответствующая сложению независимых случайных величин, называется композицией функций распределения (а также соответствующих распределений), или, так же как и для плотностей, — сверткой. Пишут также, что

–  –  –

Эта формула, так же как и формула для свертки двух плотностей, может быть обобщена на случай распределений общего вида. Очевидно, формула верна и для X1 0.

б. О т н о ш е н и е д в у х случайных величин. Пусть

–  –  –

где () — полином, называемый дисперсионной функцией, рассмотрено Бернштейном (Bernstein, 1925).

Полученная оценка функции распределения отношения I 1 /1 2 двух случайных величин, имеющих нормальное распределение, при больших значениях E | 2 = а 2 может применяться на практике в том случае, когда 2/2 достаточно велико, так что можно с большой практической достоверностью предположить, что I2 принимает только положительные значения.

Пусть известно, например, что I 2 не может принимать отрицательные значения и нуль. Вместе с тем распределение I 2 по крайней мере в окрестности математического ожидания близко к нормальному. Если отношение математического ожидания к стандартному отклонению этого нормального закона достаточно велико, то при расчетах принимают распределение случайной величины I 2 равным этому нормальному, пренебрегая тем фактом, что при этом допускаются с положительной вероятностью (очень малой) отрицательные значения величины I 2. В такой ситуации хорошим приближением для распределения отношения Hi/S2, где I 1 также распределено нормально, является полученное выше распределение Бернштейна.

В геологической практике с такими случайными величинами приходится иметь дело при решении задач о распределении состава горной породы, где I 1 и I 2 или абсолютные величины массы двух компонент в данном объеме, или относительные величины, выраженные в процентах или в других долях.

Так, при определении абсолютного возраста породы устанавливается содержание в ней двух изотопов. Возраст породы является функцией отношения этих количеств. Если содержание изотопов варьирует от одной пробы к другой, сохраняя некоторую статистическую устойчивость, то естественно считать его случайным вектором. Распределение этого вектора можно оценить. Хорошие оценки получаются при предположении, что абсолютное содержание изотопов имеет нормальное распределение. При этом можно полагать, что распределение отношения содержания изотопов очень близко к рассмотренному выше распределению Бернштейна.

в. П р о ц е н т н ы й п е р е с ч е т. Так мы будем называть преобразование 106' x 1 n) = l · · · · ~ /(* \=1 ·=1 x когда i 0· При таком преобразовании по вектору абсолютного содержания компонент, скажем, в данном образце горной породы определяется вектор относительного содержания компонент, который обычно выражается в процентах. В этом случае мы не будем давать выражение для преобразованной плотности, а ограничимся исследованием распределения величины = ———, =1 когда известно распределение случайного вектора = ^ 1,..., In).



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 12 |

Похожие работы:

«ЦЕРКОВЬ ХРИСТИАН ВЕРЫ ЕВАНГЕЛЬСКОЙ “СЛОВО ЖИЗНИ” АРМЕНИИ ОСНОВЫ СОЦИАЛЬНОЙ КОНЦЕПЦИИ Слово к читателю Уважаемый читатель, Данной публикацией представляем вашему вниманию важный и насущный церковный документ – “Социальную концепцию” Церкви Христиан Веры Евангельской “Слово Жизни” Армении. Учитывая, что исповедание и отношение к общественным вопросам церкви зачастую преподносится искаженно, иногда по незнанию, а иногда нарочито тенденциозно, считаем публикацию данного документа велением времени,...»

«7 июня 2007 г. Неофициальный перевод Disease Information Том 20 – № 23 Содержание Лихорадка долины Рифт, Танзания: последующий отчет № 3 430 Инфекционная анемия лошадей, Франция: срочная нотификация 431 Высокопатогенный грипп птиц, Соединенное Королевство: последующий отчет № 17 432 Классическая чума свиней, Венгрия: последующий отчет № 3 433 Контагиозный метрит лошадей, Соединенное Королевство: последующий отчет № 3 (окончательный) 434 Слабопатогенный грипп птиц (домашняя птица), Соединенное...»

«Оглавление Введение 3 1. Цель и задачи дисциплины 3 2. Требования к освоению содержания дисциплины 3 3. Соответствие образовательных компетенций и требований к знаниям, умениям и владениям 6 4. Объем дисциплины и виды учебной работы 7 5. Содержание дисциплины 7 6. Самостоятельная работа студентов 17 7. Контроль результативности учебного процесса по дисциплине 17 8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины 20 Приложение 1 Примерные вопросы для подготовки к семинарским занятиям...»

«Тема 1. Предмет, цели, задачи прикладной экологии Лекция 1. Ежедневно огромное число статей, специальных журналов и книг предупреждает людей о том, что прогрессирующий рост населения, исчерпывание природных ресурсов, разрушение и загрязнение окружающей среды чреваты серьезными последствиями и могут поставить под угрозу жизнь человечества. Все это – результат возрастающих потребностей индустриальной цивилизации. Однако улучшение условий жизни отдельного человека или целого общества ничего не...»

«244. Вячеслав (03.02.2013 02:23) Добрый вечер! Спасибо за книги. У меня есть все сборники Былого (в т.ч. лондонские и парижские), кроме самого первого лондонского номера. Я бы их сам разместил, да все руки не доходят создать сайт. Если Вас заинтересует, могу отсканировать. С уважением, Вячеслав. Ответ: Добрый день, благодарю Вас за предложение, но я сейчас, если и изредка тружусь для этого сайта, то обрабатываю только собственные книги. Успеха! Леон 243. Leon (02.02.2013 13:25) Библиотека...»

«Мирзакарим Санакулович Норбеков Победи болезни силой духа. Практические приемы самооздоровления и омоложения Серия «Библиотека Норбекова (АСТ)» http://www.litres.ru/pages/biblio_book/?art=8685741 Мирзакарим Норбеков. Победи болезни силой духа. Практические приемы самооздоровления и омоложения: АСТ; Москва; 2015 ISBN 978-5-17-087668-6 Аннотация «Победителем во всем можно стать, лишь победив самого себя», – говорит Мирзакарим Норбеков, мастер науки побеждать. Многие из нас не знают своих сил и...»

«Федеральное агентство по образованию Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского РАЗВИТИЕ НАУЧНОГО ПОТЕНЦИАЛА ПРИВОЛЖСКОГО ФЕДЕРАЛЬНОГО ОКРУГА: ОПЫТ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ Выпуск Нижний Новгород Издательство Нижегородского госуниверситета УДК 37 ББК Ч 48 Р-1 Развитие научного потенциала Приволжского федерального округа: опыт высших учебных заведений. Сборник статей. Выпуск 5. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2008. – 283 с. ISBN 978-5-91326-059-8...»

«УПОЛНОМОЧЕННЫЙ ПО ПРАВАМ РЕБЕНКА В САНКТ-ПЕТЕРБУРГЕ Светлана Юрьевна Агапитова ЕЖЕГОДНЫЙ ДОКЛАД ЗА 2013 ГОД Санкт-Петербург ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ...6 ОБЩИЕ ИТОГИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В 2012 ГОДУ.8 Направления деятельности..8 Об обращениях граждан..13 ГЛАВА I ЗАЩИТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ПРАВ ДЕТЕЙ В САНКТПЕТЕРБУРГЕ..2 Раздел 1.1. Защита права ребенка на семью..21 О семьях и детях, проживающих в СанктПетербурге Социальная поддержка семьи. Профилактика социального сиротства...2 Определение места жительства...»

«Санкт-Петербургский государственный университет Греческий институт в Санкт-Петербурге Институт лингвистических исследований РАН Музей антропологии и этнографии РАН (Кунсткамера) St. Petersburg State University Hellenic Institute in St Petersburg Institute of Linguistic Studies, Russian Academy of Sciences Museum of Anthropology and Ethnography (Kunstkammer), Russian Academy of Sciences POETICS OF TRADITION Edited by Yaroslav Vasilkov and Maxim Kisilier Introduction by Yuri Kleiner EVROPEISKIJ...»

«ВВЕДЕНИЕ Содержание 1. Краткий обзор основных результатов предшествующих исследований окружающей среды Арктического региона в России и за рубежом 2. Обоснование цели выполнения ДАОС АЗРФ 3. Основные принципы методологического подхода к ДАОС АЗРФ..4. Основные отечественные и зарубежные источники информации 5. Список основных источников для выполнения ДАОС АЗРФ, включая Интернет-ресурсы. Принятые сокращения: АЗРФ – Арктическая зона Российской Федерации; ДАОС – диагностический анализ состояния...»

«2011 ПРОБЛЕМЫ АРКТИКИ И АНТАРКТИКИ № 4 (90) УДК 595.315-99 Поступила 24 октября 2011 г. ПЕРЕОПИСАНИЕ ТРЕХ ВИДОВ МНОГОКОЛЕНЧАТЫХ (PYCNOGONIDA) РОДА AUSTROPALLENE ИЗ ЮЖНОГО ОКЕАНА С ТАБЛИЦЕЙ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВСЕХ АНТАРКТИЧЕСКИХ ВИДОВ РОДА А.Ф.ПУШКИН Зоологический институт РАН, Санкт-Петербург, smiris@zin.ru, antarct@zin.ru В статье дается переописание трех антарктических видов рода Austropallene, для которых приведены морфологические рисунки, отсутствовшие при первоописании, приводится...»

«Янко Слава (Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru/ 1Сканирование и форматирование: Янко Слава (Библиотека Fort/Da) || slavaaa@yandex.ru || yanko_slava@yahoo.com || http://yanko.lib.ru || Icq# 75088656 || Библиотека: http://yanko.lib.ru/gum.html || Номера страниц вверху update 24.12.0 Зигмунт Бауман Глобализация последствия для человека и общества ИЗДАТЕЛЬСТВО Москва 200 Бауман 3. Глобализация. Последствия для человека и общества / Пер. с англ. — М.: Издательство «Весь Мир», 2004.— 188 с....»

«СПЕЦИАЛЬНОЕ ИЗДАНИЕ ДЛЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ СИСТЕМЫ ГАРАНТ. Новости от «22» марта 2010 г. Горячая линия поддержки пользователей: 634034, г. Томск, ул. Красноармейская, 20, тел. 25-32-69, 25-32-7 Сервисный центр: 634034, г. Томск, ул. Красноармейская, 20, тел. 52-74-45, 52-73-34, 52-72-91 Филиал в г. Стрежевой: ул. Строителей, 192, тел/факс (38259) 3-61-10, E-mail: strj@garant.tomsk.ru Филиал в г. Северск: ул. Транспортная, 32, офис 129, тел. (3823) 99-05-01, E-mail: garants@mail.tomsknet.ru АКЦИЯ:...»

«рУссКАя жИвОпИсь И грАфИКА XIX-XX вЕКОв АУКЦИОН № 20 (60) 18 ИюНя 2013 русская живопись и графика XIX – XX вЕков Аукцион № 20 (60) 18 июня 2013 года в 18.00 Аукцион состоится по адресу: Центральный дом художника (ЦДХ) Москва, ул. Крымский Вал, д. 10, аукционно-выставочный зал, 1-й этаж Предаукционная выставка С 11 июня по 17 июня по адресу: Москва, ул. Крымский вал, д. 10, выставочный зал Аукционного дома «КАБИНЕТЪ», 1-й этаж ежедневно с 11.00 до 19.00. Заявки на просмотр лотов, участие в...»

«Ученье свет, а неученье тьма народная мудрость. Да будет Свет! сказал Господь божественная мудрость NataHaus Знание без границ: Скромное воплощение народной и божественной мудрости.:-) библиотека форум каталог Евтушенко В.Г.ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ГИПНОТИЧЕСКИХТЕХНИК ББК8 УДК 159.9.0 Е 2 Евтушенко В.Г. Е 27 ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ГИПНОТИЧЕСКИХТЕХНИК. М.: Издательство Института психотерапии, 2005. 400 с. В книге собраны многочисленные техники гипнотизирования, применявшиеся разными школами гипноза в разное время,...»

«УТВЕРЖДАЮ Глава администрации области п/пО.И.Бетин « 26 » сентября 2012г. Сводный доклад Тамбовской области о результатах мониторинга эффективности деятельности органов местного самоуправления городских округов и муниципальных районов по итогам 2011 года Общая информация о муниципальных районах Тамбовской области Наименование Среднегодовая численность Административный центр Информация муниципального постоянного населения в муниципального района о размещении доклада главы района отчетном году,...»

««5-100»: цена провала комплексный анализ результатов проекта по повышению конкурентоспособности ведущих российских университетов Экспертный доклад На повышение позиций ведущих российских университетов в международных рейтингах Правительство России выделило беспрецедентное для сферы образования финансирование. Вместо роста рейтингов российских вузов мы видим объяснения и отговорки чиновников Минобрнауки о том, почему снова и снова рейтинги вузов не растут, а зачастую и падают. Кто из чиновников...»

«Агеносов В.В. «Чтоб плыть и плыть, захлебываясь в звездах.»: Н. Моршен (Марченко) // Агеносов В.В. Литература русского зарубежья (1918-1996). — М.: Терра. Спорт, 1998. НИКОЛАЙ МОРШЕН (МАРЧЕНКО) (род. 1917) «ЧТОБ ПЛЫТЬ И ПЛЫТЬ, ЗАХЛЕБЫВАЯСЬ В ЗВЕЗДАХ.» Николай Муршен называет себя «истинным ровесником Октябрьской революции»: он родился 8 ноября 1917 года в Киеве и прошел все испытания, которые выпали детям интеллигенции в революционной России. Сам поэт писал об этом так: Он прожил мало: только...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный университет ВЫСОКОПРОЗВОДИТЕЛЬНЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ НА КЛАСТЕРНЫХ СИСТЕМАХ Материалы шестого Международного научно-практического семинара Том 1 12–17 декабря 2006 г. Издательство Санкт-Петербургского госуниверситета Санкт-Петербург УДК 681.3.012:51 ББК 32.973.26–018.2: В 93 В93 Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах. Материалы...»

«BankovninstitutvysokkolaPraha Katedrabankovnictv a pojiovnictv Bankovn rizika a metody jejich men Bakalsk prce Shatilova Oleksandra Autor: Bankovn management Vedoucprce: doc. Guley A.I., CSc. Praha Duben 2011 «Банковни институт Высока школа» (Прага) Кафедра банковского дела и страхования Банковские риски, методы их измерения Бакалаврская работа Шатилова Александра Автор: Банковский менеджмент Руководитель работы: к.э.н., Анатолий Гулей Прага апрель, 2011 Заявление: Я заявляю, что я, бакалавр,...»








 
2016 www.nauka.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.