WWW.NAUKA.X-PDF.RU
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, издания, публикации
 


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 12 |

«А.Б. В И СТЕЛИ УС ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ГЕОЛОГИИ (определение предмета, изложение аппарата) ЛЕНИНГРАД «Н А У К А» ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ УДЩ5 Основы математической геологии ...»

-- [ Страница 4 ] --

Пусть случайный вектор имеет нормальное распределение с вектором математических ожиданий a = (аг,..., а„) и ковариационной матрицей A = ( X ^ ) n x,,. В важных для геохимии случаях, когда вектор отражает абсолютное содержание компонент, значения величин ^ не могут быть отрицательными. Однако их распределения можно считать нормальными, так как они близки к нормальным с очень большими отношениями математических ожиданий к стандартным отклонениям. При выводе приближенного распределения случайной величины мы будем учитывать это предположение. Из него следует, что вероятность события { I I,. ^ o j пренебрежимо мала. При этом

–  –  –

Итак, мы получили, что распределение случайной величины при указанных выше предположениях приблизительно равно распределению Бернштейна. Этим же способом можно вывести приблизительное распределение для отношения E1Zl2! которое мы получили выше в предположении, что E E2 достаточно велико, из точного выражения для плотности распределения этого отношения.

Исследуем свойства симметрии распределения Бернштейна.

Мы называем функцию распределения F симметричной, если при любом 0 F (а — х) = 1 — F (a -f х),

–  –  –

П р и м е р II.4. Г е н е т и ч е с к и е соотношения между концентрациями элементов и процентный пересчет Если взять минерал, основа кристаллической решетки которого образована кремнекислородными тетраэдрами, и зафиксировать объем пробы, то очевидно, что колебания в содержании, скажем, редких щелочей, входящих в изоморфные примеси, не связаны с количеством Si в пробе. Построение совместного распределения по большому числу однородных проб покажет, что количество Si постоянно, а содержание щелочи варьирует. Если произвести процентный пересчет или «замкнуть сумму анализа», скажем, считая содержание компонентов в граммах на тонну или в числе частиц на миллион, то график совместного распределения покажет линейную связь между содержаниями Si и изучаемой щелочи;

коэффициент корреляции между ними будет —1. Это хорошо известно минералогам и кристаллохимикам, которые при пересчете анализа дают цифры, отнесенные к числу атомов кислорода, входящих в элементарную ячейку.

Каково влияние процентного пересчета в случае минералов, имеющих некоторый постоянный элемент (скажем, число атомов кислорода), ясно. Однако как поступать при изучении горных пород, исследуя соотношения между составляющими их химических анализов, неизвестно. Все способы пересчета в петрохимии (Харкера, Ниггли и Заварицкого) этот вопрос игнорируют.

Исключительная важность его была понята Бартом, предложившим пересчитывать анализ на постоянное число атомов в некоторой кислородной ячейке. Это предложение, в основе совершенно верное, иногда отвергалось из-за споров об упаковке кислородных атомов.

Обобщая сказанное, следует отметить, что геохимиков и петрологов, особенно изучающих редкие и рассеянные элементы, совершенно не интересуют содержания элементов, представляющие их относительное количество в некотором постоянном весе.

Эти отношения сами по себе несут искаженную информацию о геохимических явлениях. Интерес представляют отношения между количеством элементов, содержащихся в некотором элементарном объеме. Элементарным объемом мы называем объем такого минимального куба, для которого вероятность того, что свойства породы находятся в пределах, определяющих ее принадлежность к данному классу пород, больше заданного, близкого к единице уровня (например, больше 0.999). Очевидно, что в абсолютных единицах элементарные объемы будут различны — 110' в крупнозернистых породах они больше, в мелкозернистых — меньше. Однако для данного типа породы и ее фациальной разности, именно для элементарного объема, функция распределения вероятностей химических компонентов или минералов несет наименее искаженную информацию о геохимических явлениях.

Для практического изучения породы нужно разбивать ее на некоторые части (скажем, кубы), из которых каждая заведомо охватывает элементарный объем, и изучать результаты не пересчитанных, а непосредственно определенных (взвешенных)

–  –  –

количеств элементов в этих объемах. В этом случае результаты анализов допускают наиболее простую предметную трактовку.

Подчеркнем еще раз, что это особенно важно при изучении поведения в породах и минералах редких и рассеянных элементов.

Эти элементы могут занимать в породе весьма разнообразное положение, а пересчет на постоянную сумму смазывает это различие.

Рисунок II.4 поясняет сказанное. Разъяснения имеются также в статье Иванова и Подольского (1971).

Ниже приводятся численные примеры того, как влияет на маргинальные распределения, в частности на их симметрию, процентный пересчет величин, имеющих многомерное нормальное распределение в элементарном объеме.

а). Случайный вектор (I 1, I2, I3, I4), представляющий веса компонент в элементарном объеме, имеет математические ожидания EI 1 =TO, Е | 2 = 1 4, Е | 3 = 4 И | 4 = 2 5 · 1 0 ~ 6 и ковариационную матрицу 111' Л=

–  –  –

Рис. II.5. Возникновение асимметрии под влиянием процентного пересчета, а — рассеянный элемент в аналоге гранита, умеренная правая асимметрия; б — то же для другой ковариационной матрицы; в — изменена ковариационная матрица, симметричная плотность; г — рассеянный элемент в аналоге дацита, заметная правая асимметрия;

в — рассеянный элемент в аналоге руды, резко выраженная правая асимметрия. Me — медиана.

–  –  –

В проверяемом неравенстве О и · 0. Следовательно, а · и функция распределения имеет правую асимметрию (см. рис. II. 5, а).

б). Пусть случайный вектор (S1, S2, S3, S4) имеет нормальное распределение с тем же вектором математических ожиданий, что и в II. 5, а, но с другой ковариационной матрицей 112' л= В этом случае а = 2. 8 4, а =0.0019, =0.0310, =0.8264. Так как · = 0. 0 0 5 3, то · и, следовательно, имеет место левая асимметрия (рис. 11.5, б).

в). Снова изменим ковариационную матрицу, положив A14 = X 41 = — 2-" 5. Тогда получим =0.0019, =—0.0206, =0.8264 и а = 2. 8 4. Имеет место правая асимметрия; функция распределения близка к симметричной (рис. II.5, в).

г). Рассмотрим теперь соотношение тех же компонент, более или менее близкое к тому, что наблюдается у дацитов. При этом E I 1 = 6 2, E I 2 = 2 0, E | s = 2, E 4 =25·10" 6 и матрица ковариаций 4 1.2 Л= 1.2 6 0.36 —8 · 10-»

Соответствующий закон распределения Бернштейна имеет параметры =2.84, а = 0. 0 1 9 2, = —0.1033, =0.8264. Ha рис.

II.5, г видна еще более резкая, чем в предыдущих примерах, правая асимметрия.

д). Рассмотрим случай, когда в породе (или в руде) определяется только содержание рассеянного элемента и общее количество проанализированного вещества. Пусть I 1 соответствует общему количеству вещества, a I 2 — рассеянному элементу.

Случайный вектор (I 1, I2) распределен нормально с параметрами EI1=S, |2=3·10-6 И

–  –  –

Так как ковариационная матрица случайного вектора I=(IA1,..., IAJ неотрицательно определена (см. II.5.3 (б)), то последнее слагаемое неотрицательно. Следовательно,

–  –  –

В геологических задачах суперпозиция распределений встречается очень часто (Вистелиус, 1948; Романова, 1971). В первой из этих работ при изучении формы обломочных частиц исследуется коэффициент окатанности Вадела. В рамках принятой модели этот коэффициент является случайной величиной. Распределение этой случайной величины, как следует из проведенной статистической обработки материала, хорошо описывается некоторым абсолютно непрерывным распределением с двугорбой кривой плотности. При более подробном анализе обнаруживается, что это распределение в основном является суперпозицией двух нормальных распределений:

F(X) = PF1 (x) + ( l - p ) Fi (х).

В данном случае удается грубо оценить параметры компонент — функций распределения F1 и F2, а также коэффициент усреднения р.

Хорошим примером подобного исследования является работа Романовой (1971), где проводится разложение суперпозиции распределений спектральной яркости песков Кара-Кумов (рис. II.6).

8*

II.7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ

В Е Л И Ч И Н И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

При составлении моделей геологических явлений иногда удобно представлять параметры модели в виде предела последовательности некоторых случайных величин.
Ряд важных законов распределения находит обоснование с помощью предельного перехода. Почти вся техника математической статистики основана на законе больших чисел для последовательностей независимых случайных величин и, значит, на предельных теоремах. Из сказанного ясна роль раздела теории вероятностей, изучающего пределы последовательностей случайных величин. Мы затронем только две важнейшие предельные теоремы: закон больших чисел и центральную предельную теорему в ее простейшей форме.

–  –  –

{-|}( ) = 1. 1· Полученное неравенство, которое можно переписать в виде (|-|)·-, называется неравенством Чебышева.

Пусть (I 1, I2,...) — последовательность независимых случайных величин. Это означает, что для любого случайные величины I1,..., In взаимно независимы. Пусть эти случайные величины имеют ограниченные вторые моменты. Рассмотрим среднее арифметическое из первых членов этой последовательности 1 i— 116 В этом случае имеем

–  –  –

Ясно, что среднее из первых случайных величин при со сходится в некотором смысле к постоянной величине а. Говорят, что последовательность случайных величин (I n )" сходится по вероятности к случайной величине |, если для любого е О при - оо ( | « - | ·)-»-0.

117' Таким образом, последовательность случайных величин ( ) ", где = — 2 ; при указанных предположениях сходится по =1 вероятности к постоянной величине а, а в более общем случае можно утверждать, что последовательность разностей \ — сходится по вероятности к нулю.

Доказанные свойства последовательностей независимых случайных величин являются частными случаями так называемого закона больших чисел. Закон больших чисел, в частности, устанавливает связь между вероятностью события и частотой появления события в последовательности однородных испытаний.

Действительно, пусть в последовательности независимых испытаний вероятность события А при i-том испытании имеет одну и ту же величину для всех i. Обозначив AI = [А при г-том испытании}, мы можем записать P = P(Ai) = EIjli.

Тогда IA0 IA1,... — последовательность независимых случайных величин. Частота уа события А в последовательности первых испытаний, очевидно, равна — ^ IAi- Закон больших чисел •=1 в этом частном случае утверждает, что при любом сколь угодно малом 0 (-|)-0, т. е. частота события А сходится по вероятности к величине вероятности события А при отдельном испытании. Значит, при очень большом событие {| — | ^ } будет событием очень малой вероятности.

Мы уже говорили (с. 25), что теорию вероятности с практикой сближают события очень малой и очень большой (близкой к единице) вероятности. В этом отношении закон больших чисел очень практичен, его выводы можно проверить, и они многократно проверялись. И если в какой-либо ситуации получаются выводы, противоречащие закону больших чисел, то в большинстве случаев причина этого не в том, что осуществляется событие малой вероятности, которое возможно теоретически, а в том, что в действительности оказываются не выполненными исходные предпосылки этого закона.

Закон больших чисел обосновывает частотную интерпретацию вероятности. Типичным статистическим ансамблем при такой интерпретации является последовательность независимых случайных величин. Определение независимости в свою очередь производится на основании свойств совместных распределений вероятностей. Таким образом, при построении теории вероятностей по Колмогорову понятие «вероятность» является первичным.

Этот подход коренным образом отличается от подхода, предложение ного Мизесом (1930), который предлагал в качестве исходного понятия взять статистический ансамбль со всеми свойствами, которые в нашем понимании свойственны последовательности независимых случайных величин. Одна из характеристик этого ансамбля — частота некоторого события в бесконечной последовательности, взятой из этого ансамбля, — объявлялась вероятностью этого события. Теория Мизеса, несмотря на внешнюю привлекательность, содержит ряд противоречий, а ее исходные предпосылки в действительности трудно проверяются.

II.7.2. Центральная предельная теорема При условиях закона больших чисел последовательность средних арифметических из случайных величин сходится по вероятности к неслучайной величине или, как говорят, к случайной величине, но с вырожденным распределением, сосредоточенным в одной точке. Если эта точка равна нулю, то оказывается, что, домножая на \jn среднее арифметическое из случайных величин, можно получить последовательность случайных величин, стремящихся к случайной величине с невырожденным распределением. Это невырожденное распределение во многих случаях оказывается нормальным, каковы бы ни были распределения исходных случайных величин. Эта сходимость настолько быстрая, а предельный закон настолько устойчив к различным изменениям исходных данных, что факт сходимости может быть проверен эмпирическим путем, а сам нормальный закон часто может служить хорошим описанием реальных распределений в тех случаях, когда по смыслу явления исследуемая случайная величина равна сумме нескольких независимых случайных величин.

Пусть (Eji)J0 — последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин с математическими ожиданиями El i = а и дисперсиями Dl i = 2. Рассмотрим последовательность случайных величин (Ch)Jd, где —ап г Очевидно, „=0 и DC il =I. Это так называемая центрированная и нормированная сумма случайных величин I i. Необходимо показать, что последовательность функций распределения ( F ^ r где Fn(x)=P(Cb ), равномерно относительно (—оо со) сходится к функции распределения нормального закона с параметрами (0, 1).

Последовательность распределений с такими свойствами называется асимптотически нормальной. Наиболее короткое доказательство получается, если использовать теорему о непрерывном соответствии между распределениями и их характеристическими функциями (Боровков, 1972, с. 276). Согласно этой теореме, достаточно доказать, что последовательность значений в любой точке t характеристических функций, где рс (f) = Ее*'"·», сходится к что является характеристической функцией стандартного нормального распределения.

По независимости и одинаковой распределенности случайных величин I i имеем

–  –  –

2 /2\\ г2 / 3 \ г2 / я 0 0 = \г+ WJJ = - т + * · Kirh-—· Отсюда (t) —• е~''12 и асимптотическая нормальность последовательности функций распределения (Fn)f доказана.

Доказанное свойство последовательности случайных величин ( SJ" НОСИТ название центральной предельной теоремы. Под этим же названием известно много результатов, устанавливающих сходимость распределений центрированных и нормированных сумм независимых (и не только независимых) случайных величин к нормальному распределению. Иногда центральной предельной теоремой называют также свойство сходимости к другим законам.

Например, естественный вариант центральной предельной теоремы при сложении углов на плоскости состоит в сходимости последовательности распределений на окружности к равномерному распределению (см. II.4.2 (б)).

II.8. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

До сих пор мы изучали распределения конечномерных случайных векторов. В предыдущем параграфе мы имели дело с бесконечномерными случайными векторами — последовательностями независимых случайных величин. Но и в этом случае мы интересовались распределениями лишь первых элементов последовательности. В этом параграфе мы определим и изучим свойства распределений бесконечномерных случайных векторов, которые в зависимости от вида параметрического множества называют случайными последовательностями, случайными процессами, случайными, полями и т.д.

Наиболее типичным объектом в геологии является, по-видимому, случайное поле, т.е. такой бесконечномерный случайный вектор, параметрическим множеством которого является двух- или трехмерное пространство, с каждой точкой которого — параметром — сопоставлена случайная величина.

Однако в некоторых случаях моделью геологических явлений является случайный процесс, развивающийся во времени. Наиболее просты случайные последовательности, которые встречаются в геологических моделях как в первичном виде, например, случайная последовательность слоев в разрезе осадочной породы, так и в виде сечений случайных полей, например, последовательность зерен гранита, расположенных вдоль линейного сечения трехмерного случайного поля, которое представляет собой гранит в рамках естественной математической модели (Vistelius, 1972).

II.8.1. Случайные последовательности Пусть на вероятностном пространстве (, Р ) задана последовательность случайных величин ( ^ ) ^ = ( ^, S2,...), называемая также случайной последовательностью. Согласно общей концепции случайных векторов, S=(S s )" — это отображение в бесконечномерное пространство Rco, т.е. в пространство всех числовых последовательностей вида X = ^ 1, х 2,...) (X i ^R 1 ).

Борелевской -алгеброй Ba подмножеств множества Rco называют наименьшую -алгебру, содержащую все так называемые цилиндрические множества, т.е. множества вида S1XS2X...X XSmXR1XR1X...(m.—1, 2,...; Si^M1), где только конечно»

число «сторон» бесконечномерного «прямоугольника» отлично от R1, т.е. от максимально возможной «длины стороны». Отображение предполагается измеримым относительно M c o и. Тогда это отображение — случайный бесконечномерный вектор — индуцирует вероятностую меру на измеримом пространстве (Rco, Mm), которая называется распределением случайной последовательности :

5 ) = (6) (4 6*®).

При изучении распределений случайных последовательностей на первый план выступают конечномерные маргинальные распределения, которые называют частными распределениями.

Пусть (J1, I2,..., ik) — подмножество чисел из множества Z+ =.Проекцией Ttfi1, „..., соответствующей множеству индексов {ilt..., ik), называется отображение Rco в Rk, при котором 121' с вектором (X1, х2,...)(: Rco сопоставляется вектор (xit, xi2,...

-•• х 'к) € составленный из координат с номерами Z1,..., г'&.

Очевидно, "(• '»•··. щ — измеримое отображение относительно SS^ и SSco, и, следовательно, ^ fc) () = (I ii,..., Iifc) является случайным вектором размерности к. Распределение случайного вектора (Ii1,..., Ifi.), т. е. совместное распределение случайных величин Ii1, · · ·, Iifc, называется частным распределением данного случайного бесконечномерного вектора, соответствующим данному набору индексов.

В отличие от конечномерных случайных векторов распределения бесконечномерных случайных векторов, кроме самых простых случаев, нельзя задать ни в виде плотности на пространстве R00, ни в виде таблицы, дающей в соответствие некоторым элементам Rco положительные значения вероятности. Задают распределения бесконечномерных случайных векторов путем задания всех его частных распределений. Очевидно, все частные распределения заданы, если заданы частные распределения для возрастающей последовательности подмножеств множества +, стремящейся к +, например, для такой: (1), (1, 2), (1, 2, 3},...

Распределение является маргинальным для распреfc) „)(«)' е с л и ^ 1 ' ' ' с ' ' ' ' ' m ^ и' следо" деления g вательно, оно может быть по нему однозначно восстановлено.

Итак, для задания распределения случайного вектора строится последовательность конечномерных распределений (1), 2), •(3),..., где () —А-мерное распределение, которое соответствует набору индексов ( 1, 2,..., к ). Эти распределения не могут быть совсем произвольны. Колмогоров (1974, с. 48) доказал, что существует одно и только одно распределение, случайного вектора |, для которого для любого к («(!,„.», 6 4) = *'(4) (€*) в том и только в том случае, если каждое предыдущее распределение является маргинальным для последующего, т. е.

–  –  –

122' колмогоровское условие согласованности частных распределений.

Итак, существует одно и только одно распределение, частные распределения которого совпадают с заданными.

Если при любом i I i принимает только два значения, например,.

1 и 2 с одними и теми же вероятностями ^ 4 ( ( I ) ) = J - H.({2}) = 1 - (0il), то случайная последовательность =( состоящая из независимых случайных величин,·, называется последовательностью Бернулли. Частные распределения последовательности Бернулли являются дискретными распределениями, сосредоточенными на точках (Ci1,..., ап), где Oii {1, 2), вероятность которых я

–  –  –

Частные распределения такой случайной последовательности являются дискретными распределениями, определяемыми по той же формуле, что и в случае к=2, где a.f. {1, 2,..., к).

Функция распределения суммы первых членов последовательности независимых случайных величин, согласно II.6.1, является сверткой функций распределения одномерных частных распределений:

=1

–  –  –

В этом случае распределение марковской, цепи задается двумя параметрами:

вектором начальных вероятностей — ( p v р 2,.. -,р к ), где р { = =M(O)=^1=*).

и матрицей так называемых переходных вероятностей — ( p i t j) k x k.

124' в. Г а у с с о в с к и е последовательности. Так называются случайные последовательности, для которых все частные распределения являются нормальными. Как известно (см. II.4.5 (б)), нормальное распределение порядка характеризуется вектором математических ожиданий (alf..., а) и ковариационной матрицей Л порядка X п. Нетрудно показать, что частные распределения ^ t f t ' гауссовской последовательности согласованы тогда и только тогда, когда вектор математических ожиданий распределения [xft) является частью соответствующего вектора для u (fe+1) (если E (I1,..., 1 ^ ) = ( а к+1 ), то E (I1,..., !*) = (% · · · в»)).

а ковариационная матрица распределения () является подматрицей ковариационной матрицы распределения (если Л (I1,..., I f t t l ) = = (М*+и(*+1' т о А ( к • • У = (Ь {/ ) к х к )· Таким образом, гауссовская последовательность характеризуется бесконечным вектором математических ожиданий а = (а 1; а 2,... ), где O i = EI i, и бесконечной ковариационной матрицей A(I) = S = ^ 0 0 X 00. где I i j =--cov (I,., I y ).

Гауссовская последовательность может быть одновременно марковской последовательностью, в том числе и последовательностью независимых случайных величин. Это добавочное свойство гауссовской последовательности отражается на виде ее ковариационной матрицы.

Гауссовским процессам, частным случаем которых является гауссовская последовательность, посвящена большая литература {Ибрагимов, Розанов, 1970, и др.). Эти процессы и соответствующие поля могут служить моделью различных геологических явлений, которые в этой книге не рассматриваются.

» *

–  –  –

Приведем одно достаточное условие эргодичности стационарной случайной последовательности. Предположим, что существуют 126' вторые моменты случайных величин,·. При этом элементы ковариационной матрицы ^iy==COV (,·,,·) (, j Z )

–  –  –

называется корреляционной функцией стационарной случайной последовательности. Пример графика этой функции, наблюдавшегося при конкретных геологических исследованиях, приведен на

–  –  –

событий см. Гнеденко, 1961, с. 211), т. е. последовательность (ijng-z является эproдической.

Простой пример неэргодической последовательности можно получить следующим образом. Имеются две неслучайные последовательности х' = (1, 1, 1,...) и х " = (0, 0, 0,...).

Пусть ~ и 0 P (А) 1. Составим третью последовательI i x = (1АХ[ + I i x v IAX12 + I i x v...) которая, как ность \ = I А х' нетрудно показать, будет стационарной случайной последовательп ностью. Однако Zj = Iim — является случайной величиной, П К-+СО =1 принимающей значения 0 и 1, причем P ( A = I ) — Р (А).

Д л я эргодических последовательностей, так же как и для последовательностей независимых и одинаково распределенных случайных величин, частные распределения любой размерности могут быть в принципе определены по одной «типичной» траектории, причем вероятность «типичной» траектории равна единице. Если стационарная случайная последовательность не является эргодической, то при некоторых условиях, которые практически всегда выполняются, ее можно разложить на эргодические составляющие.

При этом пространство разбивается на некоторые измеримые пересекающиеся множества, образующие разбиение 93 так, что Iim — I i равен E (Ii 193) — условному математическому ожиДанию I i относительно разбиения 93. Так что, грубо говоря, если фиксирован элемент разбиения В 93, то последовательность является эргодической по отношению к новому вероятностному пространству (, Ж, P (· |Д)).

В приведенном выше примере разбиению на эргодические составляющие соответствует разбиение 9 3 = {А, А]. По отношению к любому из условных распределений вероятностей P (· | 4 ) и P (· |Л) эта последовательность является эргодической.

На практике часто возникает необходимость сопоставлять две стационарные последовательности. Их можно представить как стационарную последовательность пар („, „)™, заданную на одном и том же вероятностном пространстве. Помимо обычных характеристик для такой последовательности рассматривают функцию взаимной корреляции, определяемую по формуле „,, coy (, +),,„.

RlAn) =VDir^T ( ' ' 128' Д л я независимых последовательностей (?„)" и ( ) " R\% ( п ) = 0 для всех п. В общем случае значения R12 () могут служить мерой их зависимости. Эргодичность такой последовательности определяется аналогично. Д л я эргодической последовательности пар функцию взаимной корреляции можно оценить путем усреднения «вдоль траектории» по формуле т R »w-ni 2 ^ * »•=1 где =, ^ = E t j 1, C^=Di 1, o | = D %, которые также могут быть оценены по одной траектории с точностью тем большей, чем больше т. С анализом эргодических последовательностей можно познакомиться в работе Хеннана (1964). G помощью такого анализа случайных последовательностей можно обнаружить зависимость на первый взгляд совершенно не связанных друг с другом последовательностей. Простая идея взаимной корреляции во многих случаях кажется очень соблазнительной при решении геологических задач. Однако опыт работы по сопоставлению разрезов (метод скользящей корреляции; Вистелиус, Романова, 1962) показал, что могут возникнуть очень большие статистические трудности при оценке значимости R12 ().

И. 8. 3. Случайные процессы Пусть T — некоторое множество значений параметра t. Рассмотрим функцию двух аргументов (·,·) определенную на множестве, со значениями в R1. При фиксированном Q (,·) является обычной неслучайной функцией, определенной на Т, со значениями в R1. При фиксированном t T (·, t) является функцией от со, которую мы предполагаем измеримой.

Таким образом, ( ·, t) — это случайная величина. Такую функцию двух аргументов (·,·) называют случайной функцией. Ее можно трактовать как семейство ( ( ·, t))t е т случайных величин. Если T = Z, = {1, 2,...} или T=Z= {0, + 1, ±2,...}, то в соответствии с 11.8.1 случайная функция называется случайной последовательностью·, если T~Rl+= [0, сю) или T = Z Z 1 = I - O O, оо], иго случайная функция называется случайным процессом·, если T = i ? " (n ^ 2), то случайную функцию называют случайным полем. Рассматривают также векторные случайные функции (·,·), для которых при любых и (со, t)Rm, где т 2.

Реализациями случайной функции, т. е. значениями S (ш,·), являются функции х=х (·), где (t) ^ R1 ). Множество всех таких функций мы обозначим Rt. Если на этом множестве определить -алгебру подмножеств S f к а к наименьшую о-алгебру, содержащую все конечномерные цилиндрические множества, т. е.

множества вида {х б Д» s ^ 1 (X) 6 S 1, ( ) 6, 9 А. В. Вистелиус 129, SI (й 0%1 и щ (Х)=Х (T) (значение функции где = 1, 2,...;

(·) в точке t), то случайную функцию можно трактовать как измеримое отображение в Rt. Для такой а-алгебры при любом Л ( множество { : (, ·) А) принадлежит §F. Следовательно, I = ( ·, · ) индуцирует распределение на множестве RT, которое называется распределением случайной функции (случайной последовательности, процесса, поля). Обычный (но не единственный) способ задания распределения ^, в случае если T = R n ( ^ 1) (или T CLR ), состоит в конструировании согласованной системы N частных конечномерных распределений, которая в соответствии с теоремой Колмогорова определяет одно и только одно распределение на RR с данными частными распределениями.

Рассмотрим несколько примеров.

а. Б е л ы й ш у м. Пусть T = Z i 1 и для любых га=2, 3,... и t{ T (— оо \..7„ [ оэ) случайные величины (·, ^ 1 ),..., (·, i„) взаимно независимы и одинаково распределены. При этом случайные величины ! ( ·, ) называются независимыми в совокупности, а сам случайный процесс называется стационарным белым шумом. Частные распределения белого шума вычисляются по формуле <

–  –  –

где *з· Это уравнение называется уравнением Колмогорова—Чепмена или обобщенным уравнением Маркова. Марковский процесс называется однородным, если условная вероятность N (E) 11^l ® = ж ) зависит лишь от разности i 2 — J1.

Если обозначить в этом случае

–  –  –

Конечномерные частные распределения марковского процесса находятся так же, как и у марковской последовательности. В частности, для однородного марковского процесса

–  –  –

0, к, и = 0, 2, 1,... Это означает, что распределение приращения траектории на интервале длины t является распределением Пуассона с параметром It. Следовательно, траектории процесса с вероятностью единица не убывают. Так как переходные вероятности Pt (к |и) зависят лишь от разности к—п, то приращения траектории на интервале (a, a-\-t) и значение траектории в момент а являются независимыми случайными величинами.

Таким образом, процесс Пуассона относится к классу процессов с независимыми приращениями, для которых приращения не зависят от предшествующей траектории до момента а. Обычно исследуют процесс Пуассона при начальном распределении () ({0})=1. Тогда случайная величина (t) совпадает со случайным числом скачков траектории процесса на интервале (0, t].

Чтобы показать это, достаточно проверить, что с вероятностью единица траектория не имеет скачков с величиной больше единицы.

Пусть А (а, Ь] — событие, состоящее в том, что на интервале (а, Ъ] отсутствуют скачки с величиной больше единицы. Тогда Из свойств независимости приращений процесса следует, что события A (t, t — - J (к = 0, I f..., — 1) взаимно независимы.

Следовательно, но 132' и Так как (+/ге)" " при re - оо, то 1 P (А (0, ) ] 1.

Следовательно, с вероятностью единица значение реализации в момент t совпадает с числом разрывов реализации на интервале (О, ]. Доказанное свойство называют также свойством ординарности процесса.

Математически свойство ординарности выражается следующим образом:

1 yPt({n + 2, re + 3,... } I п ) - * 0 п р и - » · 0.

Интересно отметить, что три свойства целочисленного случайного процесса — независимость приращений, однородность и ординарность — полностью характеризуют класс процессов Пуассона (Гнеденко, 1961, с. 295).

Обозначим I 1, х2,... — моменты скачков процесса Пуассона.

Это положительные случайные величины, причем X1 [ ха...

Распределение случайной величины - определяется просто:

[*(«*) = · ( ( ·. О и, следовательно, X1 имеет экспоненциальное распределение с параметром. Можно доказать, что для пуассоновского процесса любая разность „ — н е з а в и с и м а от траектории до момента х„ и также имеет экспоненциальное распределение, т. е. после каждого скачка приращения процесса ведут себя точно так же, как если бы он начинался с момента нуль. В этом проявляется так называемое строго марковское свойство пуассоновского процесса (Дынкин, 1963, с. 142). Траектория пауссоновского процесса, очевидно, будет задана, если будут указаны моменты скачков.

Таким образом, дуассоновский процесс может быть интерпретирован как последовательность случайных моментов времени X1, х2,..., где 0 [ X1 X С · · · причем случайные величины X1, a х2—X11X3—X2 взаимно независимы и имеют одно и то же экспоненциальное распределение. Приращение процесса Пуассона на интервале (а, Ь], очевидно, равно числу моментов %t, попадающих в этот интервал. Из свойства независимости приращений процесса Пуассона следует, что распределение числа моментов х, попадающих в любое объединение конечного числа непересекающихся интервалов, является распределением Пуассона с параметром, равным, умноженным на'сумму длин этих интервалов. То же будет для любого борелевского множества, принадлежащего [0, оо).

Число попадающих в него точек, имеет распределение Пуассона с параметром, пропорциональным «длине» этого множества. Кроме того, числа точек х„ попадающие в два непересекающихся борелевских множества, являются независимыми случайными величинами. Это свойство пуассоновского процесса на полупрямой лежит 133' в основе всех его обобщений. Во-первых, с выполнением этого свойства можно продолжить процесс Пуассона на всю прямую — множество R1. Во-вторых, можно определить пуассоновское поле (называемое также многомерным пуассоновским процессом) как такое случайное распределение меченых точек в пространстве Rn (га 2), что числа меченых точек N (·, А), попадающих в борелевское множество А, являются случайными величинами, имеющими пуассоновское распределение с параметром, пропорциональным «объему» множества А, причем для непересекающихся борелевских множеств A1 и A2 случайные величиныN (·, Ах) и N (-,A2) независимы.

д. В и н е р о в с к и й п р о ц е с с. Другим случайным процессом, который, так же как и пуассоновский процесс, может найти применение при построении математических моделей в геологии, является винеровский процесс. Рассмотрим только одномерный случай.

Винеровский процесс можно определить как однородный марковский процесс на полупрямой T = [0, оо), условное распределение которого Pt (· \х) при фиксированном ( R1 и 0 совпадает с нормальным распределением с математическим ожиданием а; и с дисперсией t. Отсюда следует, что приращения винеровского процесса на любом интервале (а, Ь] независимы от предшествующей траектории до момента а. Обычно исследуют винеровский процесс при начальном распределении () ({0))=1. При этом условии винеровский процесс можно отнести к классу гауссовских процессов, для которых, согласно определению, все конечномерные частные распределения нормальны. Но он не является стационарным гауссовским процессом. Дисперсия распределения пропорциональна времени t. Вероятность как бы «растекается»

из начальной точки х = 0 по всей прямой.

Траектории винеровского процесса непрерывны, поэтому он может служить моделью движения материальных тел. Именно для этой цели — для описания броуновского движения — такой процесс был впервые определен и исследован Эйнштейном и Смолуховским (1936). Однако траектории винеровского процесса очень нерегулярны. Например, с вероятностью единица они не имеют производных ни в одной точке множества Т. На практике чаще используется преобразованный винеровский процесс I 1 (t)=at-\t), где a ^R1 и 0. Параметр а называется сносом, а Ь — локальной дисперсией.

Рассматривают также аналоги винеровского процесса с переменными сносом и локальной дисперсией, называемые диффузионными процессами. Как следует из названия, эти процессы хорошо описывают диффузию частиц одного вещества внутри другого.

Подробнее о винеровских и диффузионных процессах см.

работу Ито и Маккина (1968), а также любой курс теории случайных процессов.

134' II.8.4. Точечные^процессы При изучении процесса Пуассона мы встреча мся со случайным распределением точек на прямой или в пространстве R" ( 2).

Исследованием таких случайных распределений занимается теория случайных точечных процессов и случайных точечных полей (последние называются также случайными многомерными точечными процессами, причем слова «случайный» и «многомерный»

иногда опускаются). Наиболее простое определение точечных процессов получится, если интерпретировать их как случайные целочисленные меры,. Пусть в пространстве Rn некоторым неслучайным образом выбраны точки так, что в любом параллелепипеде Ix1, г/х] X [хг, г/21X... X [хп, у„] содержится только конечное число выбранных точек.

Рассмотрим систему всех ограниченных борелевских множеств пространства R". Ограниченным называется множество, включенное в некоторый параллелепипед. Д л я любого A ^ n 0 определено и конечно число (Л) выбранных точек, принадлежащих А. Очето (/I 1 LM 2 ) = (^i) ~Ь v (i^2)1 и более видно, если A1RA2= того, если (A n )^ — система попарно непересекающихся множеств, принадлежащих S3", то Мы видим, что функция множеств (.) обладает всеми свойствами меры, с которыми мы имели дело до сих пор, за исключением, может быть, одного, а именно: мера всего пространства R" — число (Rn) — не обязано быть конечным. Говорят, что является целочисленной о-конечной мерой. Очевидно, эта мера принимает только целые значения на ограниченных множествах. Точечный процесс (поле) — это случайная целочисленная -конечная мера, т. е. такая функция от двух аргументов N=N ( ·,.), заданная на декартовом произведении множеств X что для любого о T (, · ) — целочисленная -конечна^ мера на 33*, а при любом V А(+Ж в N (' А) — случайная величина, принимающая неотрицательные целые значения.

Пусть off — множество всех целочисленных -конечных мер (неслучайных) на M n. Если определить -алгебру оM подмножеств множества off как наименьшую -алгебру, содержащую все «цилиндрические» множества, т. е. множества вида т П -.I(Ai) = Iti), =1 где т = 1, 2,..., Ai Mna-, Ai 6 (0, 1, 2,... }, то нетрудно заметить, что N является измеримым отображением в # относительно я-алгебр и оМ· 135' Следовательно, N индуцирует распределение, на множестве off'.

iK(S) = P(NS).

где S оМ.

Конечномерными частными распределениями распределения ^ называются совместные распределения случайных величин N (', A1),..., N (-, An), где т — любое целое положительное число и А {( Ш". Для случайных целочисленных -конечных мер — точечных процессов и полей, — также как и для случайных функций, существуют условия согласования конечномерных частных распределений, необходимые и достаточные для существования некоторого распределения ^ на множестве реализаций точечных процессов (Kallenberg, 1974).

Точечный процесс (поле) называется стационарным, если все его конечномерные частные распределения не изменяются при одновременном сдвиге всех параметров — множеств A1,..., Am — на один и тот же вектор х - Rn:

f V (·, A1),..., N (·, Am)) = (V (·, i,+x),.... * (·, 4»«0)»

где A - f - x = (х' + х : х ' б А).

Точечный процесс (поле) называется изотропным, если его конечномерные частные распределения не изменяются при замене параметров A1,..., Am на их образыZXd 1,..., DAm при любом вращении D пространства R". Стационарные и изотропные точечные процессы (поля) называются инвариантными относительно евклидовых движений. В этом случае «объем» преобразуемых областей не меняется.

Важнейшей характеристикой точечного процесса (поля) является его математическое ожидание, т. е. мера M (·), заданная на соотношением M (A)=EN (., А) (А Меру M ( · ) называют мерой интенсивности точечного процесса (поля). Мера интенсивности называется абсолютно непрерывной, если существует такая функция т ( · ), что для любого А M ( А ) = J т ( х ) d x.

А Функция т ( · ) называется интенсивностью точечного процесса (поля).

Другой важной характеристикой точечного процесса является аналог ковариационной функции — моментная функция множеств второго порядка V (·, ·), определяемая равенством V (A1, A2) = cov (N (., A), N (., Л2)).

Рассмотрим некоторые частные случаи.

а. П у а с с о н о в с к о е п о л е. Пуассоновским (однородным) полем называется случайная -конечная целочисленная мера N, значения которой на непересекающихся множествах являются независимыми случайными величинами, причем случайная величина N (·, A) (A &??") имеет распределение Пуассона с параметром, пропорциональным объему \А | множества А. В результате мы имеем

Р(ЛГ(·, А) = *) = MliMiili.

Следовательно, EiV (·, Л) = Х|Л| (см. 2.4.1 (б)), т. е. для пуассоновского поля определена интенсивность, и эта интенсивность равна. Отсюда же следует, что пуассоновское поле инвариантно относительно всех евклидовых движений пространства R". Из определения следует, что F ^ 1, A 2 )=О, если A1CiA2=0 и V (А, Прочие значения функции множеств F ( ·, · ) легко могут быть подсчитаны с использованием свойства аддитивности N (·,. d j U - ^ ) = ^ (·, ^ ) +. ^ ( -, A2) (A1C)A2= 0) и независимости N (·, ^ 1 ) и N (·, A2).

Пуассоновское поле на пространстве R* = [0, оо) является процессом Пуассона, как это следует из интерпретации процесса Пуассона в виде последовательности { — случайных моментов скачков траектории процесса. Д л я двухмерного и больших размерностей пуассоновского поля трудно указать аналогичное представление в виде случайной функции. Однако, как и для любого случайного точечного процесса (поля), реализацию пуассоновского процесса (поля) можно задать, указав отмеченные точки (или, как говорят, «атомы» меры). Д л я пуассоновского процесса условное распределение отмеченных точек в данном параллелепипеде при условии, что число этих точек фиксировано и равно к, совпадает с распределением, которое получается, если каждая из к точек выбрана в этом параллелепипеде случайно и независимо от других в соответствии с равномерным распределением. Мера интенсивности однородного пуассоновского поля пропорциональна объему или, как говорят, лебеговой мере в /г-мерном пространстве.

Д л я любого параллелепипеда А = Ia 1, b j X... X [ап, Ъ„] лебегова мера I А | равна J J (Ь{ — а(). Лебегова мера является примером »=1 бесконечной на всем пространстве, но -конечной меры. Пусть ( · ) — любая другая -конечная мера на пространстве Rtt.

С этой мерой можно связать точечный процесс, для которого целочисленная случайная -конечная мера N имеет независимые значения на пересекающихся множествах, причем случайная величина N1I-, А) (А а??") имеет распределение Пуассона с параметром (Л). Такое точечное поле также называется пуассоновским (неоднородным, если мера (·) не пропорциональна мере Лебега).

Очевидно, мера является мерой интенсивности пуассоновского поля (процесса).

б. П р о ц е с с в о с с т а н о в л е н и я. Для процесса Пуассона на полупрямой длины интервалов между точками 0, ^1, 137' 2,... являются независимыми, случайными величинами с одним и тем же экспоненциальным распределением. Процессы восстановления отличаются от процессов Пуассона лишь тем, что для них допускается любое, а не только экспоненциальное распределение длин интервалов между скачками. Простейшее преобразование процесса Пуассона — последовательность четных точек ( ™ — является процессом восстановления с функцией распределения где F (х) = 1 — ё~и (х 0). Нетрудно выписать формулу Fi=FxF, для распределений значений на интервалах случайной меры, связанной с процессом восстановления. В данном случае — это распределение числа точек х(, попадающих в некоторый интервал, скажем, в интервал (а, Ь), которое определяется по формуле со PL(N (.,(, 61) А) = ^P({N(., (0, А]) = ) П {N ( ·, (0, Ъ]) + к}) = я—0 со = 2 J F« W f F I№ *~* (b-h- h) я=0 (интеграл берется по области 0 J1 ^ а, а х+а Ь), где к ^ 1, F1 — функция распределения длины интервала между точками T1 процесса восстановления, Fn=F*? — га-кратная свертка функций распределения F1, F0 — вырожденная функция распределения, для которой F (ж)=0 при ^ 0 и F (я) = 1 при х^ 0.

Процесс восстановления, для которого T1 имеет то же распределение, что и длина каждого*из^последующих интервалов, в общем случае не является стационарным точечным процессом. Чтобы сделать его стационарным точечным процессом, нужно изменить распределение длины начального интервала. При не слишком ограничительных условиях это стационарное начальное распределение равно пределу при t - оо распределений случайных величин (t)—t, где (t) — ближайшая справа к t точка Xi. Очевидно, *) = P(iV(., (, * + *])!).

P(z{t)-t Свое название,-процессы восстановления получили по первоначальному применению их в технике, где точки Xi соответствовали моментам замены вышедшей из строя детали новой, причем время безотказной работы^новой детали — случайная величина с функцией распределения F1.

П р и м е р II.5. При исследовании соотношения между периодами активности вулкана S1 и длительностью пауз между этими периодами S2 было установлено, что случайные величины независимы (Wickman, EI-Hinnawi, 1963). Каждая из этих величин имеет экспоненциальное распределение с параметрами X1 и 2 соответственно.

Таким образом, последовательность моментов начал периодов активности образует процесс восстановления с функцией распределения длин интервалов F=F1* F2, где F1 (x) = i—e~x^, F2 (ж) = = 1 —е~1'х.

138' Можно показать, что стационарная функция распределения F0 начального интервала в этом процессе восстановления представляет собой суперпозицию функций распределения F1 и F2 вида F + 2 ( f i * F*) + o= X1^2 где 5—р-т стационарная вероятность активности вулкана в момент t, которая от t не зависит.

Различные аспекты теории процессов восстановления исследуются в книгах Кокса и Смита (1967), Феллера (2, 1967) и др.

Иногда различают еще один тип точечных процессов — точечные процессы с маркированными точками. В этом случае с каждым моментом времени. сопоставляется марка (или метка) Xi — случайная точка, выбранная из некоторого множества X. Если X = R ", то маркированный точечный процесс, очевидно, является частным случаем точечного процесса в Rn+1. Обычно X — конечное множество. Тогда маркированный точечный процесс можно пред ставить как систему ( N J x e x точечных процессов и каждый из них будет состоять из точек с метками только одного вида.

П р и м е р. II.6. О р а з н о с е обломочного материала в с е д и м е н т а ц и о н н о м б а с с е й^н е Как'было отмечено выше, различные виды случайных процессов могут служить моделью геологических явлений. Модель процесса накопления обломочного материала, в которой используются маркированные точечные процессы, диффузионные процессы, остановленные в случайные моменты времени, и случайные меры, исследуется в ряде работ (Вистелиус и др., 1976; Харламов, 1978).

Рассмотрим процесс концентрации акцессорного минерала А в терригенных отложениях — в слое конгломерата, мощном песчаном пласте и т. п.

Пусть в некоторой точке в пределах области питания имеется источник интересующего нас вещества А, из которого оно поступает в бассейн осадконакопления и фиксируется в осадке вместе с остальным обломочным материалом. При этом предполагается, что накопление материала компенсирует прогибание дна бассейна. Нас будет интересовать содержание вещества А по разрезу и по площади бассейна. Типичная геологическая ситуация может быть заимствована, скажем, из описания исследования спессартина в осадках апт-сеноманского возраста на Юго-Востоке СССР (Вистелиус и др., 1976).

Рассмотрим следующий случайный механизм образования меры вещества А. Источник вещества характеризуется случайной последовательностью (*. *)Г.

139' где { — масса i-той частицы (Zi ^ 0), at. — момент отрыва частицы от источника. Для определенности мы отсчитываем время от настоящего в прошлое, т. е. t{ равно «возрасту» частицы — разности между настоящим временем и моментом отрыва частицы от источника. Большим номерам соответствует больший возраст частиц:

0*2»....

Каяедая частица блуждает в окружающем пространстве в течение случайного отрезка времени { ( { ^ 0). Это блуждание представляет собой случайный процесс с фазовым пространством Ri (точнее — блуждание вдоль земной поверхности), со случайными моментами начала и остановки. Предполагается, что мощность накопленного осадка пропорциональна времени его накопления. В момент остановки блуждания частица вещества А остается на уровне осадка, соответствующего данному моменту.

Таким образом, каждая частица данного вещества, распределенного в исследуемом осадке, характеризуется пятеркой величин:

(«. *. Xi, у,·), где (Xi, yt) — точка на плоскости, соответствующая i-той частице в момент ее остановки; если время измеряется мощностью накопления осадка, то три координаты i-той частицы, погребенной в осадочной толще, равны (Xi, у(, {— ^i) (условие t{ { означает, что i-тая частица не содержится в осадочной толще, она еще продолжает блуждать).

Случайная мера 9ft накопленного вещества А в слое R2X [0, оо) определяется равенством

–  –  –



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 12 |

Похожие работы:

«№ 0 Сборник материалов по вопросам социального обеспечения Принципы оценки факторов риска и уязвимости Карин Хайцманн (Karin Heitzmann) Судхаршан Канагараджа (R. Sudharshan Canagarajah) Пол Зигель (Paul B. Siegel) Июнь 2002 г. Отдел Социального Обеспечения Населения Отдел Человеческого Развития Всемирный банк Сборник материалов по вопросам социального обеспечения населения не являются официальными публикациями Всемирного банка. Они представляют первичные и недоработанные результаты анализов,...»

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» Библиотека Информационный бюллетень новых поступлений №2 (154) «Информационный бюллетень новых поступлений» выходит с 1997 г.Периодичность: в 1997 г. – 4 номера в год с 1998 г. – 10 номеров в год с 2003 г. – 12 номеров в год с 2007 г. – только в электронном варианте и размещается на сайте Научной библиотеки ЧелГУ (http://www.lib.csu.ru) в разделе...»

«Те хник а лы ылымдар 8. Babkyn V.V. Antijamming extractor of basic tone of speech. Reports of DSPA 2005, page 175-178.9. Vocoders 600-7200 bit/p. Developments of CenterЦОССПбГУТ. http://www.dsp.sut.ru.10. Babkin V.V., Ivanov V.N., Lanne A.A., Pozdnov I.B. Internet Telephony Vocoders, Proc. Second European DSP E&R Conference, Paris, Sept.1998, p.83-87.11. Babkyn V.V., LanneА.А., ShaptalaВ.С. Optimization task of choice of speech and channel encryption. Reports of DSPA 2005, page 123-127, Moscow...»

«МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОВЕТ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ, МЕТРОЛОГИИ И СЕРТИФИКАЦИИ (МГС) INTERSTATE COUNCIL FOR STANDARDIZATION, METROLOGY AND CERTIFICATION (ISC) ГОСТ МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ 2.053— СТАНДАРТ Единая система конструкторской документации ЭЛЕКТРОННАЯ СТРУКТУРА ИЗДЕЛИЯ Общие положения Издание официальное БЗ 12—2005/375 1—155 ГОСТ 2.053—200 Предисловие Цели, основные принципы и основной порядок проведения работ по межгосударственной стандартизации установлены ГОСТ 1.0—92 «Межгосударственная система...»

«Пролетарии всех стран, соединяйтесь! СОРОК ДЕВЯТЫЙ СЪЕЗД КОММУНИСТИЧЕСКОЙ ПАРТИИ УКРАИНЫ 27 декабря 2014 года Стенографический отчёт КИЕВ УДК 329(477)КПУ(062.536) ББК 66.69(4Укр)КПУя43 С65 Редакционная коллегия: П.Н.Симоненко (председатель), А.И.Мартынюк, Г.К.Крючков, В.Н.Оплачко, В.Ф.Харченко Сорок девятый съезд Коммунистической партии С65 Украины, 27 декабря 2014 г. Стенографический отчёт/ Редкол.: П.Н.Симоненко (председатель) и др. — К., ООО «Друкарня «Бізнесполіграф» 2015 — 208 с. ISBN...»

«Рон Джонс ТРЕТЬЯ ВОЛНА Из книги: Jones, Ron. Third Wave. Из: Jones, Ron. No Substitute for Madness. A Teacher, His Kids & The Lessons of Real Life. Island Press, Covelo, California, 1977 (San Francisco, Calif.: Zephyros, 1977). Примечание редактора. Часто замечают, что группа может стать чем-то большим, чем совокупность ее отдельных членов, и превратиться в организм, поведение которого в корне отличается от обычного индивидуального поведения этих членов. Это может произойти в результате...»

«СОБРАНИЕ ДЕПУТАТОВ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТВЕРСКОЙ ОБЛАСТИ «КАЛИНИНСКИЙ РАЙОН» РЕШЕНИЕ от «12» февраля 2014 г. г. Тверь № 30 О годовом отчете Контрольно-счетной палаты муниципального образования Тверской области «Калининский район» за 2013 год Собрание депутатов муниципального образования Тверской области «Калининский район» решило: Принять к сведению отчет о деятельности контрольно-счетной 1. палаты муниципального образования Тверской области Калининский район за 2013 год. Опубликовать...»

«УДК 316.421 : 339.9 : 327.8 ГЛОБАЛИЗАЦИЯ: КОНЦЕПТУАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ Н.В. Мамон ФБГОУ ВПО Костромской государственный технологический университет А.С. Завьялова Администрация Костромской области В статье представлены теоретические аспекты глобализации, проведен контент-анализ определений понятия «глобализация» с классификацией по однородным группам и дано авторское определение термину. Полученные в результате ознакомления с трудами современных ученых знания дают основания утверждать, что впервые...»

«Civil law; business law; family law; international private law 9 Publishing House ANALITIKA RODIS ( analitikarodis@yandex.ru ) http://publishing-vak.ru/ УДК 347.77 Проблемы защиты интеллектуальной собственности при реализации договора коммерческой концессии Цыза Андрей Григорьевич Аспирант, Российская государственная академия интеллектуальной собственности, 117279, Российская Федерация, Москва, Миклухо-Маклая ул., 55А; e-mail: Tsyza.Andrei@Yandex.ru Аннотация Статья посвящена вопросам охраны и...»

«Исследованиe Всемирного Банка гшргшр Информационные системы финансового менеджмента и открытые бюджетные данные Отчитываются ли правительства о том, куда идут деньги? Открытый бюджет ИССЛЕДОВАНИЕ ВСЕМИРНОГО БАНКА Информационные системы финансового менеджмента и открытые бюджетные данные Отчитываются ли правительства о том, куда идут деньги? Всемирный банк Вашингтон, О.К. © 2013 Международный банк реконструкции и развития/Всемирный банк 1818 H Street NW, Washington DC 2043 Телефон: 202-473-1000;...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина» (УрФУ) Типовое положение о кафедре УрФУ СМК-ПСПИ-ТПК-062013 Экземпляр № 1 стр. 1 из 17 ПРОЕКТ УТВЕРЖДАЮ Ректор В. А. Кокшаров «_» 2013 ТИПОВОЕ ПОЛОЖЕНИЕ О КАФЕДРЕ УрФУ Екатеринбург © УрФУ Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное...»

«Всегда уверенный результат!TM Тест-системы IDEXX – эффективный инструмент в диагностике, мониторинге и профилактике болезней Сомнения не приемлемы! Содержание Возможности и применение тестов IDEXX 1 Компоненты ИФА набора IDEXX Информация из протокола исследования IDEXX 2 Оценка положительных и отрицательных контролей 1. Характеристика отдельных титров и титрогрупп 2. Значения коэффициента вариации %CV, среднего титра антител 3. 5 (AMean/GMean), стандартного отклонения (SD) Результаты...»

«33 Фонды библиотеки ЕРАХТОРИН М.В. г. Москва РАСЧЕТ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ОБЕСПЕЧЕННОСТИ УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРОЙ Один из важнейших показателей тодике составления и использования работы библиотеки коэффициент картотеки книгообеспеченности – обеспеченности учебной литераписьмо учебно-методического управтурой. Однако, несмотря на его поления по высшему образованию Министоянное использование в библиостерства высшего и среднего специтечной отчетности, остается неального образования СССР от 26...»

«Утвержден Общим собранием акционеров ОАО «ТРК» Протокол № 14 от «28» июня 2013 г. Проект предварительно утверждн решением Совета директоров ОАО «ТРК» Протокол № 16 от «07» мая 2013 г. ГОДОВОЙОТЧЕТ Открытого акционерного общества «Томская распределительная компания» по результатам 2012 финансового года Управляющий директор – Первый заместитель генерального директора ОАО «ТРК» О.В. Петров Заместитель генерального директора по финансам – главный бухгалтер ОАО «ТРК» И.Н. Разманова г. Томск, 2013...»

«® Бр. 8, април 2009 г., № 129 ИЗЛИЗА ВСЕКИ МЕСЕЦ БЕЗ ЯНУАРИ И АВГУСТ СЕМЕЙСТВОТО НА РОТАРИАНСКИТЕ СПИСАНИЯ СВЕЖИ ИДЕИ ЗА СВЕТА СЪДЪРЖАНИЕ/CONTENTS АПРИЛ 2009 Обръщение на президента на РИ 3 Месечно писмо на гуверньора USAID и Ротари в нов съюз за водата 5 Да спрем полиомиелита сега Интервю с архиепископ Дезмънд Туту 7 Април – Месец на ротарианските списания 11 Планета Ротари 1 Акценти от решенията на борда на РИ, януари 009 г. 16 Семинар на лидерите в Дистрикт 48 17 РК Видин пред финала на...»

«Сейсмические проявления в рельефе северо-запада Мурманской области Николаева С.Б. (1), Евзеров В.Я.(1), Петров С.И. (2) 1.Геологический институт Кольского научного центра РАН, Апатиты, Россия 2.Кольский филиал Геофизической службы РАН, Апатиты, Россия Кольский регион в геологическом отношении представляет собой северовосточную часть Балтийского щита. Новейшая геодинамика этого региона характеризуется тектоническими (основными рельефообразующими), гляциоизостатическими и сейсмотектоническими...»

«Гендерная фракция РОДП «ЯБЛОКО» Выпуск №13 Январьмарт ЗНАК РАВЕНСТВА -2НОВОСТИ ГЕНДЕРНОЙ ФРАКЦИИ.. 3 Новости Гендерной фракции..3 Галина Михалева: об обязательствах Гордона:«У нас это считается нормой»..3 Уличные акции..5 Антивоенная акция в память о Б.Немцове..5 Гендерная фракция приняла участие в марше в память о Б.Немцове..7 Митинг в защиту прав российских женщин..9 Региональные новости..18 Архангельск: Прошла серия пикетов за равноправие женщин...12 Новосибирск: Пикет против дискриминации...»

«ИНФОРМАЦИЯ о реформах, проведенных в Республике Беларусь с целью совершенствования предпринимательского климата в рамках методологии исследования ”Ведение бизнеса“ РЕГИСТРАЦИЯ ПРЕДПРИЯТИЯ 1. С 1 января 2013 года вступил в силу Закон Республики Беларусь от 26 октября 2012 года ”О внесении дополнений и изменений в Налоговый кодекс Республики Беларусь“, которым отменена обязанность заявителей по уплате государственной пошлины за электронную государственную регистрацию, снижены ставки...»

«государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области средняя общеобразовательная школа №7 города Похвистнево городского округа Похвистнево Самарской области УТВЕРЖДАЮ Директор ГБОУ СОШ №7 города Похвистнево _ Д.А. Козлов «» 2014 г Приказ № 123-ОД от «30» июня 2014 г. ПУБЛИЧНЫЙ ОТЧЁТ ГБОУ СОШ №7 города Похвистнево за 2013-2014 учебный год г. Похвистнево Содержание: 1. Общая характеристика ОУ_ 3-5 Формальная характеристика ОУ 1.1 Место нахождения ОУ 1.2. Фактические адреса...»

«КОНЕЧНОМЕРНЫЙ ИНТЕРВАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ С. П. Шарый Институт вычислительных технологий СО РАН Издательство XYZ Новосибирск – 2015 Ирине Шарой (1962–2015), любимой жене, коллеге и другу Монография по интервальным алгебраическим задачам и их численному решению, отражающая как классические результаты в этой области, так и плоды новейших исследований. Текущая версия книги находится на веб-сайте http://www.nsc.ru/interval. c С.П. Шарый, 2003–2015 гг. Оглавление Введение Обозначения Глава 1. Интервальные...»








 
2016 www.nauka.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.