WWW.NAUKA.X-PDF.RU
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, издания, публикации
 


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 11 |

«Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистже Издание девятое, стереотипное Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве ...»

-- [ Страница 3 ] --

4) не поступило ни одного вызова. Эти события несовместны, по­ этому применима теорема сложения вероятностей несовместных со* бытии:

Яз (k 4) = Р, ( 3 ) + Я, (2) + Я, (1) + Я, (0) = б ^ е - * б^-е-* б е - * = 0,0025.61 =0,1525.

в) События «поступило менее четырех вызовов» и «поступило не менее четырех вызовов» противоположны, поэтому искомая вероят­ ность того, что за 2 мин поступит не менее четырех вызовов, Я ( Л ^ 4 ) = 1—Я(;^ 4) = 1—0,1525 = 0,8475.

186. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 мин поступит: а) три вызова; б) менее трех вызовов; в) не менее трех вызовов. Поток вызовов пред­ полагается простейшим.

187. Доказать, что для простейшего потока событий У к а з а н и е. Использовать теорему о сумме вероятностей про­ тивоположных событий:

При отыскании искомого предела применить правило Лопиталя.

§ 3. Числовые характеристики дискретных случайных величин Характеристикой среднего значения случайной величины слу­ жит матема1ическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

М (X) = XiPi + X2P2+ *.. +ХпРпЕсли дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то M(X)=^j;^XiPi, причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами.

С в о й с т в о 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М(С)==С.

С в о й с т в о 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ)==^СМ{Х).

С в о й с т в о 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

М (Х1Х2...Хп)=-М (Xi) М {Хг)..*М (Xnh С в о й с т в о 4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М(Хг + Х2+...+Хп) = М{Хг)+М(Х2)+..^+М(Хп).

Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события

Б одном испытании:

М(Х) = пр.

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее матема­ тического ожидания:

D(X) = Af[X—Af(X)j2.

Дисперсию удобно вычислять по формуле D(X) = iW(X2)~[M(X)]2.

Дисперсия обладает следующими свойствами.

С в о й с т в о 1. Дисперсия постоянной равна нулю:

D(C)=0.

С в о й с т в о 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

0(СХ) = СЮ(Х).

С в о й с т в о 3. Дисперсия суммы независимых случайных вели­ чин равна сумме дисперсий слагаемых:

0(Хг + Х2+...+Хп) = 0{Хг) + 0{Х^)+...+0(Хп).

Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

D(X) = npq.

Средним квадратичеасим отклонением случайной величину на­ зывают квадратный корень из дисперсии:

а(Х):=}ГЩх).

188. Найти математическое ожидание дискретной слу­ чайной величины X, заданной законом распределения:

а) X —4 6 10. б) X 0,21 0,54 0,61 р 0,2 0,3 0,5 • р 0,1 0,5 0,4 ' Р е ш е н и е, а) Математическое ожидание равно сумме произ­ ведений всех возможных значений X на их вероятности:

М (X) = ~ 4 0,2 + 6 0,3 +10 0,5 = 6.

189. Найти математическое ожидание случайной вели­ чины Z, если известны математические ожидания X н Y:

а) Z = X 4 - 2 y, M(X) = 5, M(Y) = 3; б) Z = 3 X + 4 y, Л1(Х) = 2, Л1(К) = 6.

Р е ш е н и е, а) Используя свойства математического ожидания (математическое ожидание суммы равно сумме математических ожи­ даний слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания), получим M(Z)r=M(X + 2Y)==M(X) + M(2V)==M(X) + 2M(Y)== = 5 + 2 3 = 11.

190. Используя свойства метематического ожидания, доказать, что: а) М{Х — Y) = M{X)—М (У); б) матема­ тическое ожидание отклонения X—Л1(Х) равно нулю.

191. Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: A:I = 4 С вероятностью р^ = 0,5;

А:З = 6 С вероятностью Pj = 0,3 н х^ с вероятностью р,.

Найти А:, И р,, зная, что М{Х)==8.

192. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: Xi = —1, х^ = 0, д а = Ь ^ также Г известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: Л1(Х) = 0,1, М(Х^)==0,9. Найти вероятности Pi^ p2 Pa» соответствующие возможным значениям x^^ Р е ш е н и е. Пользуясь тем, что сумма вероятностей всех воз­ можных значений X равна единице, а также принимая во внима­ ние, что Л1(ЛГ)=0,1, Л1(Х*)=0,9, составим следующую систему трех линейных уравнений относительно неизвестных вероятностей:

Р1 + Р2 + Рз = 1, ( — l ) P i + 0. p a + b P s = 0, I, ( ~ l ) V i + 0 «. p 2 + l ^ P 3 = 0,9.

Решив эту систему, найдем искомые вероятности: Pi==0,4, Ра = 0, 1, р, = 0, 5.

193. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: л:, = 1, да = 2, ;Сз = 3, а также с известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: Л1 (Х) = 2,3, М(Х^) = 5,9. Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X.

194. В партии из 10 деталей содержится три нестан­ дартных. Наудачу отобраны две детали. Найти матема­ тическое ожидание дискретной случайной величины X — числа нестандартных деталей среди двух oTo6paHjfiHX.

Указание. Воспользоваться решением задачи 17, гл. 1, § 1.

195. а) Доказать, что математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании равно вероят­ ности р появления события А.

У к а з а н и е. Дискретная случайная величина X—число появ­ лений события в одном испытании — имеет только два возможных значения: JC] = 1 (событие А наступило) и дга = 0 (событие А не наступило).

б) Доказать, что математическое ожидание дискрет­ ной случайной величины X—числа появлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых ве­ роятность появления события равна р—равно произве­ дению числа испытаний на вероятность появления собы­ тия в одном испытании, т. е. доказать, что математи­ ческое ожидание биномиального распределения М(Х)^пр.

196. Найти математическое ожидание дискретной слу­ чайной величины X—числа таких бросаний пяти играль­ ных костей, в каждом из которых на двух костях по­ явится по одному очку, если общее число бросаний равно двадцати.

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой М(Х)=^пР.

где п—общее число испытаний (бросаний пяти костей); X—число появлений интересующего нас события (на двух костях из пяти появится по одному очку) в п испытаниях; Р—вероятность появления рассматриваемого события в одном испытании.

По условию, /1=20. Остается найти Р—вероятность того, что на гранях двух из пяти костей появится по одному очку. Эту вероятность вычислим по формуле Бернулли, учитывая, что вероят­ ность появления- одного очка на грани одной кости рае 1/6 я, сле­ довательно, вероятность непоявления q=^l—l/ess5/6:

--.»)-!. (i)"-(l)=f^=^Искомое математическое ожидание iM (X) = пР = 20 ~ 2ы 3.

197. Устройство состоит из п элементов. Вероятность отказа любого элемента за время опыта равна р. Найти математическое ожидание числа таких опытов, в каждом из которых откажет ровно m элементов, если всего про­ изведено iV опытов. Предполагается, что опыты незави­ симы один от другого.

Р е ш е н и е. С)бозн;ачим через X число опытов, в которых отка­ жет ровно m элементов. Так как опыты независимы н вероятности интересующего нас события (в одном опыте откажет ровно m эле­ ментов) в этих опытах одинаковы, то применима формула M(X)^NP, С) где N—общее число опытов; Р—вероятность того, что в одном опыте откажет ровно т элементов.

Найдем вероятность Р по формуле Бернулли:

P^C'Sp'^q^"^. (••)

Подставив (**) в (*), получим искомое математическое ожидание:

–  –  –

Очевидно, все величины X/ имеют одинаковое распределение, а следовательно одинаковые числовые характеристики и, в частнос­ ти, одинаковые математические ожидания, т. е. M(Xi) = Af (ХЙ = =...=iM(A:„).

В силу ( ) получим * M(X)^nM(Xi). (•*) Таким образом, достаточно вычислить математическое ожидание величины Xi, т. е. математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости. Для этого напишем закон распре­ деления Xii Xj 1 2 3 4 5 р 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Найдем М (Хг):

М (;^1) = Ы / 6 + 2.1/6 + 3.1/6 + 4.1/6 + 5.1/6 + 6.1/6 = 7/2. ( • • • ) Подставив (***) в (••), окончательно получим М(Х)^(7/2)п.

200. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стан­ дартно, равна 0,9. В каждой партии содержится пять изделий. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X — числа партий, в каждой из которых окажется ровно четыре стандартных изделия,— если проверке подлежит 50 партий.

201. Доказать: 1) M{Y) = aM{X) + b, если V = aX+b;

п п

2) M{Y)=^atM{Xt) + b, если К=2(а/Х/) + 6.

202. События i4i, Л^,..., Л„ несовместны и образуют полную группу; вероятности появления этих событий соот­ ветственно равны /?!, /7j,..., рп- Если в итоге испытания появляется событие Л/ (i = 1, 2,..., п), то дискретная случайная величина X принимает возможное значение х^, равное вероятности pi появления события Л/. Доказать, что математическое ожидание случайной величины X имеет наименьшее значение, если вероятности всех событий одинаковы.

Р е ш е н и е. Возможные значения величины X по условию равны вероятности р/ событий Л,-; вероятность возможного значе­ ния Pi, очевидно, также равна р/. Таким образом, X имеет следую­ щее распределение:

X Pi Pt *•• Ptt Р Pi Pa •** Pn

Найдем математическое ожидание X:

Рассматриваемые события образуют полную группу, поэтому P i + P s + Из дифференциального исчисления известно, что если сумма независимых переменных постоянна, то сумма квадратов этих пере­ менных имеет наименьшее значение в случае равенства переменных.

Применительно к рассматриваемой задаче это означает: сумма (*), т. е. математическое ожидание М (X), имеет наименьшее значение, если вероятности всех событий, образукицих полную группу, равны между собой, что и требовалось доказать.

203. Доказать, что математическое ожидание диск­ ретной случайной величины заключено между наимень­ шим и наибольшим ее возможными значениями.

–  –  –

204. Дискретная случайная величина X принимает k положительных значений jc^, х,,...^Xf^c вероятностями, равными соответственно Pi, р^,. •., р/^. Предполагая, что возможные значения записаны в' возрастающем порядке, доказать, что

–  –  –

Xi + ^2+ • • • + Хп Заметим, что знаменатели этих дробей не могут быть равными нулю, поскольку величины X/ (/ = 1, 2,..,, п) положительны.

По условию, величины X/ одинаково распределены, поэтому и величины Yi также одинаково распределены и, следовательно, имеют одинаковые числовые характеристики, в частности, одинаковые математические ожидания:

М (Гх) = М (К.) =... = Л! (YnY (••) Легко видеть, что У 1 + ^ « + • • • + ^ i i = l. следовательно.

–  –  –

20в. Доказать, что если случайные величины Х^, Х,, Х^, Х^, Х^ независимы, 'положительны и одинаково рас­ пределены, то ^^ L Хг + Хг + Xs + X^ + X^ J 5 • У к а з а н и е. Представить дробь» стоящую под знаком матема­ тического ожидания, в виде суммы трех дробей и воспользоваться решением задачи 205.

207. Найти математическое ожидание дискретной слу­ чайной величины X, распределенной по закону Пуассона:

X О 1 2... k...

–  –  –

Учитывая, что при ^ = 0 первый член суммы равен нулю, при­ мем в качестве наименьшего значения k единицу:

Положив k—l=m, получим Принимая во внимание, что \ \ тТ^^^^' окончательно имеем msO Af (Х)=Х.е-^.е^=Л.

Итак, Af (Х)==Х, т. е. математическое ожидание распределения Пуассона равно пара­ метру этого распределения К.

208. Случайные величины X и V независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 3X + 2V, если из­ вестно, что D(X) = 5, D{Y) = 6.

Р е ш е н и е. Так как величины X н Y независимы, то незави­ симы также и величины ЗХ и 2К. Используя свойства дисперсии (дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат), получим D (Z) = D (ЗХ+2У) = D (3X)+D (2K)=9D (X) + 4D(K)r=9.5+4.6=69.

209. Случайные величины X и У независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 2 X + 3 K, если из­ вестно, что D(X) = 4, D(K) = 5.

210. Найти дисперсию и среднее квадратическое от­ клонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

X —5 2 3 р 0,4 0,3 0,1 0,2 Р е ш е н и е. Дисперсию можно вычислить исходя из ее опреде­ ления, однако мы воспользуемся формулой которая быстрее ведет к цели*

Найдем математическое ожидание X:

Л1(Х) = —5.0.4 + 2 0. 3 + 3.0.14-4.0.2 = ~.0,3.

Напишем закон распределения Х^:

Х« 25 4 9 р 0,4 0,3 0.1 0,2

Найдем математическое ожидание Х^:

Л1(Х2)=25.0.4 + 4.0,3 + 9.0,1 + 1б.0,2=15,3,

Найдем искомую дисперсию:

D(X) = Af(A:2) — [M(X)l2 = 15,3—(—0,3)* ==15,21.

Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

а (X) == I/'DTX) = У^15Ж=3,9.

211. Найти дисперсию и среднее квадратическое от­ клонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

а) X 4,3 5,1 10,6. б) X 131 140 160 180.

р 0,2 0,3 0,5' р 0,05 0,10 0,25 0,60

212. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения х^ и Xj, причем равновероят­ ных. Доказать, что дисперсия величины X равна квад­ рату пол у разности возможных значений:

Р е ш е н и е. Найдем математическое ожидание X, учитывая, что вероятности возможных значений Xi и Х2 равны между собой и, следовательно, каждая из них равна V2:

М (X) = лгх. (1 /2) + ^2 • (1 /2) = {XI + х,)/2.

Найдем математическое ожидание X*:

M(X^)^xl(l/2) + xl{\/2)^{xl + xl}/2.

Найдем дисперсию X:

213. Найти дисперсию дискретной случайной вели­ чины X—числа появлений события А в пяти независи­ мых испытаниях, если вероятность появления событий А в каждом испытании равна 0,2.

Р е ш е н и е. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях (с одинаковой вероятностью появления события в каж­ дом испытании) равна произведению числа испытаний на вероятнос­ ти появления и непоявления события:

D(X)=^npq.

По условию, л = 5; р = 0, 2 ; = 1—0,2 = 0,8.

Искомая дисперсия D (Х) = прдг = 5.0,2.0,8 = 0,8.

214. Найти дисперсию дискретной случайной величи­ ны X—числа отказов элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.

215э Найти дисперсию дискретной случайной вели­ чины X—числа появлений события А в двух независи­ мых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что Л1(Х) = 1,2.

Р е ш е н и е. П е р в ы й с п о с о б. Возможные значения величи­ ны X таковы: Xi = 0 (событие не появилось), д:2 = 1 (событие по­ явилось один раз) и дсз = 2 (событие появилось два раза)..

Найдем вероятности возможных значений по формуле Бернулли:

Я,(0) = (7*; P2(l) = Clpq^2pq; Ра(2) = р2.

Напишем закон распределения X:

возможные значения О вероятности д^ 2pq р^

Найдем М (X):

M(X)^2pq+2p^^2p{q+p)^2p.

В силу условия Л1(Х)==1,2, т. е. 2 р = 1,2. Отсюда р = 0,6 и, сле­ довательно, 7==1—0,6 = 0,4.

Искомая дисперсия ЩХ) = лр^ = 2 0, 6. 0, 4 = 0,48.

Второй способ. Воспользуемся формулой М (X) = пр.

По условию, Л1(Х) = 1,2; л = 2. Следовательно, 1,2 = 2р. Отсюда р = 0,6 и, значит, = 0»4.

Найдем искомую дисперсию:

D(X) = /ip^ = 2.0,6.0,4 = 0,48.

Разумеется, второй способ быстрее ведет к цели.

72 21в. Найти дисперсию дискретной случайной величи­ ны X—числа появлений события А в двух независи­ мых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что Л4(Х)=0,9.

217. Производятся независимые испытания с одина­ ковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события Л, если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях^ равна 0,63.

218. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: х^ и х^, причем х^ х^. Веро­ ятность того, что X примет значение Xi, равна 0,6.

Найти закон распределения величины X, если матема­ тическое ожидание и дисперсия известны: Л1(Х)=1,4;

D(X) = 0,24.

Р е ш е н и е. Сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины равна единице, поэтому вероятность того, что X примет значение JC2, равна 1—0,6 = 0,4.

Напишем закон распределения X:

X Хх Х2 Р 0,6 0,4 Г) Для отыскания Xi и Х2 надо составить два уравнения, связываю­ щие эти числа. С этой целью выразим известные математическое ожидание и дисперсию через Xi и Х2.

Найдем М (Х):

А! (X) = 0,6;ci + 0,4je2.

По условию, /И(Х) = 1,4, следовательно, 0,6Л:Х + 0,4А:2 = 1.4. Г*) Одно уравнение, связывающее Xi и Х2, получено. Для того чтобы получить второе уравнение, выразим известную дисперсию через Xi и Х2Напишем закон распределения Х^:

Х^ х\ х1 р 0,6 0,4

Найдем М{Х^):

Л!(Х2)=0.6л:|+0,4;с2.

Найдем дисперсию:

D(X) = M(X2)—[Ai(X)]2 = 0,6;c?+0,4;cl —1,42.

Подставляя D(X) = 0,24, после элементарных преобразований получим 0,6;с1 + 0, 4 4 = 2.2. С**)

–  –  –

Л ( Ь = 1 4+4 4+^ 4+^^ 4+25 4+^^ 4 = Т ' ^Х D(Xi) = Al(Xi) — [Af(Xi)]« = 91/6—(7/2)2 = 35/12. (*•*)

Найдем искомую дисперсию, для чего подставим (***) в (**):

D(X)=:(35/12)n.

222*. Вероятность наступления события в каждом испытании равна р ( 0 р 1). Испытания производятся до тех пор, пока событие не наступит. Найти: а) мате­ матическое ожидание дискретной случайной величины X—числа испытаний» которые надо произвести до появ­ ления события; б) дисперсию величины X.

Р е ш е н и е, а) Составим закон распределения величины X — числа испытаний, которые надо произвести» пока событие не наступит:

–  –  –

«^(1+2^+31/»+..•+Л^*-1+...)==7/(1-^)* [см. О ].

Дифференцируя обе части равенства по (/, получим i«+2«^+3V+...+*V"-^+..- = (i+^)/(i-^)*.

223. Производятся многократные испытания некото­ рого элемента на надежность до тех пор, пока элемент не откажет. Найти: а) математическое ожидание дискрет­ ной случайной величины X—числа опытов, которые надо произвести; б) дисперсию X. Вероятность отказа эле­ мента в каждом опыте равна 0,1.

У к а з а н и е. Воспользоваться результатами задачи 222.

224, Доказать неравенство М [X—(х/+A:^)/2J* D (Х)^ где л / и Xj^—любые два возможных значения случайной г величины X.

Р е ш е н и е. 1) Допустим, что (xi+Xk)l2^M {X). Тогда

–  –  –

225. Доказать, что если случайная величина X имеет наименьшее и наибольшее возможные значения, соответ­ ственно равные а и 6, то дисперсия этой случайной ве­ личины не превышает квадрата пол у разности между этими значениями:

D(X)r(6-a)/2J^ Р е ш е н и е. Воспользуемся неравенством (см. задачу 224) D ( X ) i M [ X ~ ( a + ^)/2]2. (*) Докажем теперь» что М [ Х - ( а + Ь)/2]а;[(6-а)/2]а.

(Отсюда и из (*) следует справедливость доказываемого неравенства.)

С этой целью преобразуем математическое ожидание:

Af [(^—a)/2]« = M[X —(а + ^)/2+(6—Л')]2 = = Л1 [X —(а + 6)/2]2 + Л1 [(б—Х) (X—а)].

Второе слагаемое правой части равенства неотрицательно (это следует из того, что b—наибольшее и а — наименьшее возможные значения), поэтому первое слагаемое не превышает всей суммы:

М [X —(а + ^)/2]* М [(6—а)/2]^ Учитывая, что математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, окончательно получим Ai [X —(a + &)/2ia;[(6-~a)/2]a.

226. Доказать, что если X и Y — независимые случай­ ные величины, то D {XY)^D{X)'D (К) +пЮ {Х)+тЮ (К), где т = Л1(Х) и /г = Л1(У).

Р е ш е н и е. По формуле для вычисления дисперсии D (XY)^ М [(XY)^]^[M {XY)]\ Учитывая, что X и Y — независимые величины и, следовательно, X' и К^ также независимы и что математическое ожидание произве­ дения независимых случайных величин равно произведению ихматематических ожиданий, получим

–  –  –

Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

У к а з а н и е. Найти предварительно начальные моменты и выра­ зить через них центральные моменты.

232. Доказать, что центральный момент второго по­ рядка (дисперсия) \1^ = М[Х—M(X)Y меньше обычного момента второго порядка iil = MlX—С]^ при любом С«?^^ ФМ{Х).

Р е ш е н и е. Для простоты записи введем обозначение М {Х)^т,

Прибавим и вычтем т под знаком математического ожидания:

^2 = M [X—С]« = М [(X—m) + (m—С)]2== « М [(X—m)2+2(m —С)(Х—m) + (m —С)2].

Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, поэтому ji;=:Af [X —m]2 + M [2(/7i—С)(Х —m)l + M [m—CJ».

Вынося постоянную величину 2(m—С) за знак математического ожи* Дания и учитывая, что математическое ожидание постоянной (т—С)* равно самой постоянной и что по определению Л1 [X—mj*=|i2, получим |г;=гц,+2(т—C).M [ X -. m ] + ( m - C ) a.

Принимая во внимание, что математическое ожидание отклонения X—m равно нулю, имеем Ма = Ц2 + {/п—С)2.

^ Отсюда

–  –  –

234. Доказать, что центральный момент четвертого порядка связан с начальными моментами равенством fii = v^—4V3 Vi + evjvj,—3vJ.

235. Пусть X = Xi + X^, где X^ и X,—независимые случайные величины, имеющие центральные моменты третьего порядка, соответственно равные jij и ц|. Дока­ зать, что Ц8 = И8 + И8, где fig—центральный момент треть­ ^ его порядка величины X.

Р е ш е н и е. Введем для простоты записи следующие обозначе­ ния математических ожиданий: Al(Xi)s=ai, МСХз)^^!. Тогда М (X) = M(Xi + Ха) = М (Хг) + М (Х,) = ai + а,.

По определению центральный момент третьего порядка, lis^MlX-M(X)]^^M[(Xi + Xt)-(a, + a^)]^^ Используя свойства математического ожидания (математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, математическое ожидание произведения независимых величин равно произведению математических ожиданий сомножителей), получим + М [3(JVa~aanAf [ Х х - а х ] + Л« [X^-a^P.

Учитывая, что математическое ожидание отклонения (разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием) равно нулю, т. е. Л! [^1—.«1Г=0 и М [Х^—a2l=0, окончательно имеем

–  –  –

Глава пятая

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

§ 1. Неравенство Чебышева Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютHQU величине меньше положительного числа в, не меньше чем 1—D(X)/e^:

Р (IX—Л1 (X) I е) ^ 1 -^D (Х)/е«.

23в. Иcпoльзy^я неравенство Чебышева, оценить веро­ ятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания менее чем на три сред­ них квадратических отклонения.

82

237. Доказать неравенство Чебышева в форме Р (I Х—М(Х) I е) D (X)/8^ У к а з а н и е. Воспользоваться тем, что события \Х — М {X) \ 8 и I X — М (X) I ^ е—противоположные.

238. Используя неравенство Чебышева в форме, при­ веденной в задаче 237, оценить вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математи­ ческого ожидания не меньше чем на два средних квадратических отклонения.

239. Используя неравенство Чебышева, оценить веро­ ятность того, что | Х — Л / ( Х ) | 0, 2, если D(X) = 0,004.

240. Дано: Р ( | X —Л4 (X) | е ) 0, 9 и D(X) = 0,009.

Используя неравенство Чебышева, оценить е снизу.

241. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов^ Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. С помош.ью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина раз­ ности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время Т окажется: а) меньше двух; б) не меньше двух.

Р е ш е н и е, а) Обозначим через X дискретную случайную вели­ чину— число отказавших элементов за время Т, Тогда М(Х) = пр = 10.0,05 = 0,5;

D(X) = np(7= 10 «0,05 0,95 =0.475.

Воспользуемся неравенством Чебышева:

Р ( | Х —M(X)| е)^1—D(X)/ea.

Подставив сюда Af(X)==0,5; D(X) =0,475, 8 = 2, получим Р (I X—0,51 2 ) : ^ 1 —0,475/4=0,88.

б) События \Х—0,5 I 2 и \Х—0,5 | : ^ 2 противоположны, поэ­ тому сумма их вероятностей равна единице. Следовательно, Р{\Х —0,5 I ^ 2 ) 1 —0,88 =0,12.

242. В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время Т лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина раз­ ности между числом включенных ламп и средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время Т окажется: а) меньше трех; б) не меньше трех.

243. Вероятность появления события А в каждом испытании равна 1/2. Используя неравенство Чебышева,

–  –  –

В частности, среднее арифметическое последовательности попарно независимых величин, дисперсии которых равномерно ограничены и которые имеют одно и то же математическое ожидание а, сходится по вероятности к математическому ожиданию а, т. е. еслие—любое положительное число, то

–  –  –

Таким образом, дисперсии заданных случайных величин равно­ мерно ограничены числом а^, т. е. третье требование выполняется.

Итак, поскольку все требования выполняются, к рассматривае­ мой последовательности случайных величин теорема Чебышева применима.

248. Последовательность независимых случайных ве­ личин Xi, Х„..., Х„,... задана законом распределения р п/{2п+1) (л + 1)/(2п+1) Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

249. Последовательность независимых случайных вели­ чин Xi9 Х2 Х„,... задана законом распределения Х„ п+ 1 —п р п/(2п+1) (п+1)/(2л+1)

а) Убедиться, что требование теоремы Чебышева о равномерной ограниченности дисперсий не выполняется;

б) можно ли отсюда заключить, что к рассматриваемой последовательности теорема Чебышева неприменима?

250*. Последовательность независимых случайных вели­ чин Хх, Х^,...» Х„,... задана законом распределения Хп —па О па р 1/2« 1_1/2'»-1 1/2'»

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Р е ш е н и е. Поскольку случайные величины Х„ независимы, то они подавно и попарно независимы, т. е. первое требование тео­ ремы Чебышева выполняется.

Легко найти, что iW(X„)==:0, т. е. требование конечности мате­ матических ожиданий выполняется.

Остается проверить выполнимость требования равномерной огра­ ниченности дисперсий. По формуле D(Xn)^M{X%)^lM(X„)]^ учитывая, что М(Хп) = 0, найдем (выкладки предоставляется вы­ полнить читателю) Временно предположим, что п изменяется непрерывно (чтобы подчеркнуть это допущение, обозначим п через дс), и исследуем на экстремум функцию (р (х) — х^/2^''^.

Приравняв первую производную этой функции нулю, найдем критические точки Д 1 = 0 и ^а = 2/1п2.

Г Отбросим первую точку как не представляющую интереса (п не принимает значения, равного нулю); легко видеть, что в точке д2 = 2/1п2 функция ф(д:) имеет максимум. Учитывая, что 2/In2ci«2,9 г и что п — целое положительное число, вычислим дисперсию D (Х„)= =.^а^ для ближайших к числу 2,9 (слева и справа) целых чисел, т. е. для л = 2 и л = 3.

При п = 2 дисперсия D (Х2) = 2а^, при п = 3 дисперсия ^ ( Х з ) = =(9/4) а^. Очевидно, (9/4) а2 2а2.

Таким образом, наибольшая возможная дисперсия равна (9/4) а^, т. е. дисперсии случайных величин Х^ равномерно ограничены числом (9/4) а^.

Итак, все требования теоремы Чебышева выполняются, следо­ вательно, к рассматриваемой последовательности эта теорема при­ менима.

251. Последовательность независимых случайных вели­ чин Xi, Ха,..., Х „,. -. задана законом распределения х„ -Уз О КЗ р 1/3 1/3 1/3 Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

З а м е ч а н и е. Поскольку случайные величины X одинаково распределены и независимы, то читатель, знакомый с теоремой Хинчина, может ограничиться вычислением лишь математического ожи­ дания и убедиться, что оно конечно.

Глава шестая ФУНКЦИИ и п л о т н о с т и РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

§ 1. Функция распределения вероятностей случайной величины Функцией распределения называют функцию F{x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х, т. е.

F(x)^P(Xx).

Часто вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция распределения».

Функция распределения обладает следующими свойствами:

–  –  –

§ 2. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распреде­ ления: / (х) =f' (х).

Часто вместо термина «плотность распределения» используют термины «плотность вероятностей» и «дифференциальная функция».

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X при­ мет значение, принадлежащее интервалу (а, Ь), определяется ра­ венством ь P(aXb)^^f{x)dx.

а Зная плотность распределения, можно найти функцию распредеX <

–  –  –

Подставив («*) в («), окончательно получим С = 1/2л.

272. Плотность распределения непрерывной случайной величины X задана на всей оси Ох равенством / (л') = =2С/(1+х*). Найти постоянный параметр С.

273. Плотность распределения непрерывной случайной величины X в интервале (О, я/2) равна f(x) = Cs\n2x;

вне этого интервала /(х) = 0. Найти постоянный пара­ метр С.

21 А. Плотность распределения непрерывной случай­ ной величины X задана в интервале (О, 1) равенством /(jc) = C-arctgx; вне этого интервала /(х) = 0. Найти постоянный параметр С.

§ 3. Числовые характеристики иепрерьюных случайных аеличии Математическое ожидание непрерывной случа.Ыой величины X, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется ра^нством 0D

Л*(Х)= J xf(x)dx.

94 где f(x)—плотность распределения случайной величины X. Предпо­ лагается, что интеграл сходится абсолютно.

В частности, если все возможные значения принадлежат интер­ валу (а, Ь), то ь Af(X) = J*/(x)U.

а Все свойства математического ожидания, указанные выше для дискретных случайных величин (см. гл. IV, § 3), сохраняются и для непрерывных величин.

Если К=ф(Х)—функция случайного аргумента X, возможные значения которого принадлежат всей оси Ох, то

–  –  –

Если математическое ожидание М (X) существует и кривая рас­ пределения симметрична относительно прямой х = С, то М(Х)=^С.

Модой MQ (Х) непрерывной случайной величины X называют то её возможное значение, которому соответствует локальный макси­ мум плотности распределения. В частности, если распределение имеет два одинаковых максимума, то его называют бимодальным.

Медианой М^ (Х) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которое определяется равенством Р1ХМ^ (X)] = Р [Х М^ (X)].

Геометрически медиану можно истолковать как точку, в которой ордината f (х) делит пополам площадь, ограниченную кривой рас­ пределения.

Дисперсия непрерывной случайной величины X, возможные зна­ чения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством

–  –  –

яли D{X) = ^x*f(x)dx-lM(X)]K а Все свойства дисперсии» указанные выше для дискретных слу­ чайных величин (см. гл. IV» § 3), сохраняются и для непрерывных величин.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной е личины определяется так же, как и для дискретной величины:

а(Х)=»/^ЩХ).

Если К=ф(Х)—функция случайного аргумента X, причем воз* можные значения X принадлежат всей оси Ох, то

–  –  –

Учитывая, что подынтегральная функция нечетная и пределы интег­ рирования симметричны относительно начала координат, заключаем»

что интеграл равен нулю. Следовательно, М (Х) = 0.

Этот результат можно получить сразу, если принять во внима­ ние, что кривая распределения симметрична относительно прямой jr=0.

278. Случайная величина X задана плотностью веро­ ятности (распределение Лапласа)/(.v)=(l/2)e-***. Найти математическое ожидание величины X.

279. Случайная величина X задана плотностыо рас­ пределения / (д:)|* с (;C* + 2JC) в интервале (О, 1): вне этого интервала f{x)^0. Найти: а) параметр с\ б) математическое ожидание величины X.

280. Найти математическое ожидание случайной вели­ чину Хр заданной функцией распределения

–  –  –

Л! (Х) = J хЦх) dx=r J jr.(l/4) c c = 2.

L

281. Случайная величина X» возможные значения которой неотрицательны, задана функцией распределения F (х) -«1 — е - " (а 0), Найти математическое ожидание величины X.

282* Случайная величина X задана плотностью рас­ пределения f(x)m^{l/2)sinx в интервале (О, я); вне этого интервала /(jc)wO. Найти математическое ожидание функции К — ф (X) — X* (не находя предварительно плот­ ности распределения У).

Р е ш е н и е, Воспользуемся формулой для вычисления матема­ тического ожидания функции ф (Х) от случайного аргумента X:

ь а где а и {»*-гконцы интервала, в котором заключены возможные зна­ чения X. Подставляя p(jr)=jc*, /(jc) = (l/2)sinx, а = 0, ^ = я и ин­ тегрируя По частям» окончательно получим п М (Х^) ^~ ^ Г х« sin X dx=x (л«—4)/2.

- *

283. Случайная величина X задана плотностью рас­ пределения f{x)^cosx в интервале (О, п/2); вне этого интервала /(л:)-«0. Найти математическое ожидание функции К —ф(Х)-||Х* (не находя предварительно плот­ ности распределения К).

284. Случайная величина X задана плотностью рас­ пределения /(л:)«л:+ 0,5 в интервале (О, 1)5 вне этого интервала /(х) = 0. Найти математическое ожидание функ­ ции У = Х' (не находя предварительно плотности рас* пределения Y).

285. Случайная величина X задана плотностью рас* пределения / (л:)« 2 cos 2л: в интервале (О, я/4); вне этого интервала /(л:) = 0. Найти: а) моду; б) медиану X.

Р е ш е н и е, а) Легко убедиться, что функция / (jc)«2 cos 2х в открытом интервале (О, я/4) не имеет максимума, поэтому X моДу не имеет.

б) Найдем медиану Л4^(Х)=^т^, исходя из определения медианы:

Р (X т^)^Р(Х Ше), или, что то же, Р [Х т^) -с 1/2.

Учитывая, что по условию возможные значения X лоложительнЫ| перепишем это равенство так:

Р{0 X m^)=I/2, или 2 С COS2JC djc-»sin2m^«-1/2.

о Отсюда 2mg = arcsin 1 /2 =« л/6. Следовательно, искомая медиана /п^«л/12.

286. Случайная величина X в интервале (2, 4) задана плотностью распределения fix)^ — (3/4) х* + (9/2) х—6{ вне этого интервала f{x)^0. Найти моду, математическое ожидание и медиану величины X.

Р е ш е н и е. Представим плотность распределения в виде / (ж)«»

5= — (3/4) (х—3)2-4-3/4. Отсюда видно, что при д:=3 плотность рас* пределения достигает максимума; следовательно, Л1о(^)«3. (Разу* меется, можно было найти максимум методами дифференциального исчисления.) Кривая распределения симметрична относительно прямой jc«e3, поэтому М{Х)ш=^3 и М^{Х)^3.

287» Случайная величина X в интервале (3, 5) задана плотностью распределения / (х)« — (3/4) х^ + вх—45/4;

вне этого интервала / (х) •* 0. Найти моду, математическое ожидание и медиану X.

288. Случайная величина X в интервале (—1, 1) за»

дана плотностью распределения /(х)—1/(я V^l—х*); вне этого интервала /(д:)=»0. Найти: а) моду; б) медиану X* 289» Случайная величина X при х^О задрана плот­ ностью вероятности (распределение Вейбулла) /(x) = ^x"-^e-^«/^S / ( х ) « 0 при х 0. Найти моду X.

–  –  –

300. Случайная величина X задана плотностью рас­ пределения /(x) = cosjc в интервале (О, я/2); вне этого интервала /(л:) = 0. Найти дисперсию функции К = ф(Х)== =Х^, не находя предварительно плотности распределе­ ния Y.

У к а з а н и е. Использовать формз'лу

–  –  –

Отсюда видно, что |Л2 имеет наименьшее значение при с^М (X), что и требовалось доказать.

Заметим, что из (*) следует, что fii=«)ii—[Л!(ДС)—cj*, т. е.

центральный момент второго порядка меньше любого обычного мэмента второго порядка, если с Ф М (X),

305. Случайная величина X задана плотностью рас пределения /(;с) = 0,5х в интервале (О, 2); вне этого ин­ тервала f{x)^0. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Р е ш е н и е. П о формуле найдем начальные моменты:

–  –  –

Найдем центральные моменты. Центральный момент первого порядка любой случайной величины ^^«О.

Воспользуемся формулами, выражающими центральные моменты через начальные:

M»=Va—vi; j i s = V 8 — 3 v i V, + 2 v i ; |i4=V4—4viVa+6viVt—3vt, Подставив в эти формулы ранее найденные начальные моменты, получим: |i2=2/9. |1з=:—8/135. |i4 = 16/135.

зов. Случайная величина X задана плотностью рас­ пределения f{x) — 2x в интервале (О, 1); вне этого интер­ вала f(x)=^0. Найти начальные и центральные моменты первого» второго, третьего и четвертого порядков.

§ 4. Равномерное распределение Равномерным называют распределение нероятностей непрерывной случайной величины X. если на интервале (а, Ь), которому принад­ лежат все возможные значения X» плотность сохраняет постоянное вначенне» а именно / ( х ) » 1 / ( 6 — а ) ; вне этого интервала / ( х ) = 0.

307. Плотность равномерного распределения сохраняет в интервале (а, Ь) постоянное значение, равное С; вне этого интервала /(.v)=:0. Иайти значение постоянного параметра С.

308. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А.

Показания амперметра округляют до ближайшего целого деле­ ния. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

Р е ш е н и е. Ошибку округлення отсчета можно рассматривать как случайную величину X, которая распределена равномерно с интервале между двумя соседними целыми делениями. Плотность равномерного распределения f{x) = l/(b—а), где {Ь—а)—длина ин­ тервала, в котором заключены возможные значения ^ X; вне этого интервала / ( х ) = 0. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения X, равна 0,1, поэтому /(дс) = 1/0,1 = 1 0. Легко сообразить, что ошибка отсчета превысит 0,02, если она будет заключена в интервале (0,02, 0,08).

ь По формуле Р (а X Ь)^ { f (х) dx получим а 0,08 Р (0.02 Х 0,08)= J 10djc = 0,6.

0.02

309. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.

106

310. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероят­ ность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.

311. Минутная стрелка электрических часов переме­ щается скачком в конце каждой минуты. Найти вероят­ ность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с.

312. Закон равномерного распределения задан плот­ ностью вероятности f{x) = \l{b—а) в интервале (а, 6); вне этого интервала f{x) — 0. Найти функцию распределе­ ния F{x).

313. Найти математическое ожидание случайной вели­ чины X, равномерно распределенной в интервале (а, 6).

Р е ш е н и е. График плотности равномерного распределения сим­ метричен относительно прямой х=(а+^)/2, поэтому М (Х)=(а+6)/2.

Итак, математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной в интервале (а, Ь), равно полусумме концов этого интервала. Разумеется, этот же результат можно получить по фор­ муле о M(X)=:^xf(x)dx.

а В частности, математическое ожидание случайной величины /?« распределенной равномерно в интервале (О, 1), равно iW (/?):= ( 0 + 1 ) / 2 = 1 / 2.

314. Найти математическое ожидание случайной вели­ чины Xf распределенной равномерно в интервале (2, 8).

315. Найти дисперсию и среднее квадратическое откло­ нение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (а, Ь).

Р е ш е н и е. Используем формулу ь D(X)^l x^f (X) 6х--[М (Х)]^.

а Подставив / (x) = l/(b —а), Л1 (X) = (а + 6)/2 (см. задачу 313) и вы­ полнив элементарные выкладки, получим искомую дисперсию D(X) = (^—a)V12.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно квадратному корню из ее дисперсии:

a(X) = (6-a)/(2V^'3).

В частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины/?, распределенной равномерно в интервале (О, 1), соответственно равны: D(/?)=l/12, а (/?) = !/(2 У"5).

31в. Найти дисперсию и среднее квадратйческое откло­ нение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).

317. Равномерно распределенная случайная величинах задана плотностью распределения f(x)^ 1/(2/) в интервале (а—/, а + 1); вне этого интервала /(х) = 0. Найти мате­ матическое ожидание и дисперсию X.

318. Диаметр круга х измерен приближенно, причем а^х^Ь. Рассматривая диаметр как случайную вели­ чину X, распределенную равномерно в интервале (а, 6), найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

Р е ш е н и е. 1. Найдем математическое ожидание площади круга—случайной величины У =ц(К)=^лХ^/4—по формуле b а Подставив ф(д:) = ях*/4,/(х) = 1/(6—а) и выполнив интегрирование, получим М (лА'«/41=л (b^ + ab + a^)/12,

2. Найдем дисперсию площади круга по формуле b а Подставив ф(дг)=:лдс^/4« f{x)^=]/{b—а) и выполнив интегрирование»

получим D [лЛ«/41 = (л«/720) (^—а)2 {4b^ + 7ab + 4a^).

319. Ребро куба х измерено приближенно» причем а^х^Ь. Рассматривая ребро куба как случайную вели­ чину Х^ распределенную равномерно в интервале (а, 6), найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.

320. Случайные величины X и V независимы и рас­ пределены равномерно: X — в интервале (а, &), Y — в ин­ тервале (с* d). Найти математическое ожидание произве­ дения XV.

У к а з а н и е. Воспользоваться решением задачи 313.

321. Случайные величины X н У независимы и рас­ пределены равномерно: X — в интервале (а, Ь), У — в ин­ тервале (с, d). Найти дисперсию произведения XY.

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой 0(ХУ)-=Л1 l(XK)«I-^lAf (XK)J« = Af(A«K2)-.lAf(XK)l*.

Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, поэтому D(AK) = Af(A2)Af (К«) —(iW (Х)М(У)]*. (•)

–  –  –

Подставив М(Х)^(а + Ь)/2, М (Y) = {c+d)/2, а также (••) и (•*•) в (*), окончательно получим D(XK)=:=(a« + a^4-^*)(^*+cd + d«)/9—[(a4-6)«(c+d)Viei

–  –  –

где Ф(х)«==—=-1 е^'*^* 6х—функция Лапласа.

^ ^о Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа 6, Р ( | Х — а | б) = 2Ф(6/а).

В частности, при а = 0 справедливо равенство Р{\Х\ 6 ) = 2Ф(б/а).

Асимметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределен ния соответственно равны:

А,^0, ^^ = 0, Мо = а, М^^а, где а^М{Х).

322. Математическое ожидание нормально распреде­ ленной случайной величины X равно а^З н среднее квад­ ратическое отклонен'ие а = 2. Написать плотность веро­ ятности X.

323. Написать плотность вероятности нормально рас­ пределенной случайной величины Х, зная, что М{Х) = 3^ D(X)=16.

–  –  –

ность распределения f{x).

326. Доказать, что параметры а и о—плотности нормального распределения — являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением X.

У к а з а н и е. При нахождении М(Х) и D (X) следует ввести новую переменную г^(х—а)/а и использовать интеграл Пуассона 00 — 00

–  –  –

У~2л

328. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 10 н 2. Найти вероят­ ность того, что в результате испытания X примет значе­ ние, заключенное в интервале (12, 14).

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой Я(«Хр) = ф(&=-«)-ф(«^).

Подставив а = 1 2, Р = 14, ^==10 и 0=^2, получим Р {\2 X I4)=s = Ф(2)—Ф(1). По таблице приложения 2 находим: Ф (2) = 0,4772, Ф(1) = 0,3413. Искомая вероятность Р (\2 X 14) = 0,1359.

329. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероят­ ность того, что в результате испытания X примет значе­ ние, заключенное в интервале (15, 25).

330. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена нормально с математи­ ческим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фак­ тически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.

У к а з а н и е. Из равенства Р (32 X 68) = 1 предварительно найти а.

331. Производится измерение диаметра вала без си­ стематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения X подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением а=10мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не пре­ восходящей по абсолютной величине 15 мм.

Р е ш е н и е. Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю» поэтому применима формула Р{\Х\ о) = 2Ф(6/а). Положив 6=15, а=10, находим Я ( | Х | 15)=2Ф(1,5). По таблице прило­ жения 2 находим: Ф (1,5) =0,4332. Искомая вероятность Р(\Х\ 15)^2.0,4332 = 0,8664.

332. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвеши­ вания подчинены нормальному закону со средним квад­ ратическим отклонением а = 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не пре­ восходящей по абсолютной величине 10 г.

333. Случайные ошибки измерения подчинены нор­ мальному закону со средним квадратическим отклонением а = 20 мм и математическим ожиданием а = 0. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного не ь^^евзойдет по абсолютной величине 4 мм.

334. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально со средним квадратическим отклонением а = 0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста из­ готовленных.

Р е ш е н и е. Так как X—отклонение (диаметра шарика от про­ ектного размера), то Af(X) = a = 0.

Ill Воспользуемся формулой Р (\Х\ 6) -^2Ф (6/а). Подставив в = 0,7, а5^0,4, получим Р(\Х\ 0,7) = 2 ф ( ^ ) = 2 Ф ( 1, 7 5 ) = 2.0,4599 = 0,92.

Таким образом, вероятность отклонения, меньшего 0,7 мм, равна 0,92. Отсюда следует, что примерно 92 шарика из 1 Ю окажутся С годными.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 11 |

Похожие работы:

«ИНСТИТУТ СТРАН СНГ ИНСТИТУТ ДИАСПОРЫ И ИНТЕГРАЦИИ СТРАНЫ СНГ Русские и русскоязычные в новом зарубежье ИНФОРМАЦИОННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ БЮЛЛЕТЕНЬ № 1.06.2000 Москва ИНФОРМАЦИОННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ БЮЛЛЕТЕНЬ «СТРАНЫ СНГ. РУССКИЕ И РУССКОЯЗЫЧНЫЕ В НОВОМ ЗАРУБЕЖЬЕ» Издается Институтом стран СНГ с 1 марта 2000 г. Периодичность 2 номера в месяц Издание зарегистрировано в Министерстве Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций Свидетельство о регистрации ПИ №...»

«План работы библиотеки МОУ ООШ № 99 г. Сочи имени Героя России Д.Д. Тормахова на 2014-2015 учебный год г. Сочи Анализ итогов работы библиотеки (отчет) за 20132014 учебный год 1. Общие сведения (контрольные показатели отчета) В 2013-2014 учебном году в школе был 21 комплект-класс (578 учащихся: начальная школа 343; среднее звено – 235). Из них читателей библиотеки – 488 (в 2012-2013 уч. г. – 485) учителей др.сотрудники 1-е 2-е 3-е 4-е 5-е 6-е 7-е 8-й 9-е класс класс класс класс класс класс класс...»

«ИНФОРМАЦИОНЕН БЮЛЕТИН ПРЕСЛАВ БОРИСОВ, ЧЛЕН НА ЕВРОПЕЙСКИЯ ПАРЛАМЕНТ ДЕЙНОСТИ ЯНУАРИ 2013 АПРИЛ 2014 I. ОБЩА ИНФОРМЦИЯ Преслав Борисов започна мандата си като член на Европейския парламент през януари 2013 г. Член Група на Европейската народна партия (Християндемократи) Член на ПП ГЕРБ Член ПРЕСЛАВ БОРИСОВ Делегация в Комитета за парламентарно сътрудничество ЕСРусия Комисията по вътрешен пазар и защита на Бързи връзки потребителите Делегация за връзки с Израел Официален сайт на Преслав Борисов...»

«Глобальный аналитический доклад о мерах по уменьшению опасности бедствий Карманное издание Глобального аналитического доклада о мерах по уменьшению опасности бедствий (GAR) от 2015 года Обеспечение устойчивости развития: Будущее управление рисками бедствий UNISDR выражает благодарность организациям, чьи логотипы представлены ниже, за их финансовый и материальный вклад в создании Глобального аналитического доклада о мерах по уменьшению опасности бедствий от 2015 года. Кроме того, щедрые...»

«РЕГИОНАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО ТАРИФАМ КИРОВСКОЙ ОБЛАСТИ ПРОТОКОЛ заседания правления региональной службы по тарифам Кировской области № 21 04.07.2014 г. Киров Беляева Н.В.Председательствующий: Вычегжанин А.В. Члены правлеЮдинцева Н.Г. ния: Кривошеина Т.Н. Петухова Г.И. Никонова М.Л. Владимиров Д.Ю. Мальков Н.В. отпуск Отсутствовали: Троян Г.В. совещание Трегубова Т.А. Секретарь: Ивонина З.Л., Зыков М.И., УполномоченГлущенко Е.С., Новикова Ж.А., ные по делам: Чайников В.Л. Косарев Виталий Александрович...»

«РУКОВОДСТВО ГЛОБАЛЬНОЕ РУКОВОДСТВО ПО КРИТЕРИЯМ МОНИТОРИНГ И ОЦЕНКА И ПРОЦЕССАМ ВАЛИДАЦИИ ЛПМР ВИЧ-инфекции и сифилиса ГЛОБАЛЬНОЕ РУКОВОДСТВО ПО КРИТЕРИЯМ И ПРОЦЕССАМ ВАЛИДАЦИИ ЛПМР ВИЧ-инфекции и сифилиса WHO Library Cataloguing-in-Publication Data : Global guidance on criteria and processes for validation: elimination of mother-to-child transmission (EMTCT) of HIV and syphilis. 1.HIV infections prevention and control. 2.Syphilis – prevention and control. 3.Infectious disease transmission,...»

«Сообщите статс-секретарю Куломзину, что я его увольняю в отпуск на четыре месяца с 12-го сего мая. Куломзин безотлагательно уехал в деревню (РГИА, ф. 1162, оп. 6, д. 269, л. 76-77). Недовольство царя было вызвано, как можно судить по воспоминаниям самого Куломзина, самостоятельной и независимой его позицией по ряду вопросов. Каплей, переполнившей чашу царского терпения, стали перлюстрированные письма Куломзина младшему сыну (ГА РФ, ф. 5881, оп. 1, д. 727, л. 13 об. 14, 22-22 об., 24-29 об....»

«Руководство: Интермиттирующий режим приема детьми дошкольного и школьного возраста препаратов железа WHO Library Cataloguing-in-Publication Data Guideline: Intermittent iron supplementation in preschool and school-age children.1.Iron administration and dosage. 2.Anemia, Iron-deficiency prevention and control. 3.Child, Preschool.4.Child. 5.Dietary supplements. 6.Guidelines. I.World Health Organization. ISBN 978 92 4 450200 6 (NLM classification: WH 160) © Всемирная организация здравоохранения,...»

«Archaeology and Geology of Ukraine in Regional Context Edited by Masayoshi Yamada and Sergii Ryzhov Center for Obsidian and Lithic Studies (COLS) Meiji University (Tokyo) Taras Schevchenko National University of Kyiv (Kiev) Archaeology and Geology of Ukraine in Regional Context Археология и Геология Украины в Региональном Контексте Edited by Masayoshi Yamada and Sergii Ryzhov Center for Obsidian and Lithic Studies (COLS) Meiji University (Tokyo) Taras Schevchenko National University of Kyiv...»

«European Innovation Convention 1st International scientific conference 20–21th December, 2013 «East West» Association for Advanced Studies and Higher Education GmbH, Vienna, Austria Vienna «European Innovation Convention». Proceedings of the 1st International scientific conference (20-21 December, 2013). «East West» Association for Advanced Studies and Higher Education GmbH. Vienna. 2013. 164 P. ISBN–13 978-3-902986-99-3 ISBN–10 3-902986-99-9 The recommended citation for this publication is:...»

«Антонина Штраус Мой друг девочка http://www.litres.ru/pages/biblio_book/?art=11641088 ISBN 978-5-4474-1866-3 Аннотация Что делать, если ты вышла замуж в чужой незнакомый город, родственники остались за 3000 километров, а бытовые неурядицы готовятся захлестнуть тебя с головой? Конечно, найти Настоящего Друга. И тогда мир, в котором ты существуешь, заиграет неожиданными красками. Смешные и искренние заметки о детях, взрослых и внутреннем ребенке, который живет в душе каждого из нас. Содержание...»

«CENTRE FOR TESTING Ав^-ономная AND CERTIFICATION некоммерческая организация ST.-PETERSBURG “ ЦЕНТР ИСПЫТАНИЙ (TEST-ST.-PETERSBURG) И СЕРТИФИКАЦИИ -ТЕСТ-С.-ПЕТЕРБУРГ” (АНО “ТЕСТ-С.-ПЕТЕРБУРГ”) A H O -T E C T -C -Петербург-, филиал О П Е Р У 5. ИН Н 7826139672, КПП 7 83 901001. код О К П О 5 8 8 ^ 5 5 7. код О КО Н Х 84200. Реквизиты банкар/с N2 4070381 0 3 39 0 0 00 0 0 10 4 в Филиал О П Е Р У ОАО Банк НТВ в Санкт-Петербурге г. Санкт-Петербург, к/с 30101810200000000704. БИК 044030704 О ГР И...»

«yqpE)K,[(EHIIB OEPA30BAHIDI «EEJ10PYCCKHH rOCY,[(APCTBEHHbIH IIB,[(Arorl11IECKHH YHHBEPCHTET HMEHH MAKCI1MA TAHKA» YTBEPJK)J;AIO ITpopeKTop no yLie6Ho:H: M HHcpopMaU:MOHHO-aHaJIMTMLJeCKOH pa6oTe YO «Beno ~KMH rocy,n:apcTBeHHnIH tlITTM.A[).r.1.1:'.J.l.. MBepCHTeT MMeHM ~M. 3eneHKeBMLJ 2015 r. ~:'-R-ff-TIPOrPAMMA BTOPOH COIJ;IIAJibHO-TIE)J;Aror11qECKOH TIPAKTIIKII cneu:uaJibHOCTH: )J.JUI 1-03 04 01 CoU:MaJinHa51 ne,n:arorMKa 2015 r. COCTABHTEJIH: B.H. KmnuIHHHa,.n:ou;eHT Kacpe.n:po1...»

«Иэн Сэмпл В поисках частицы Бога, или Охота на бозон Хиггса Предисловие Cо склона горы, на которой стоит французская деревушка Крозе, окрестности просматриваются на многие мили вокруг. Внизу по полям рассыпаны деревни и фермы, между которыми петляют редкие узкие дороги. Казалось бы, в пейзаже нет ничего необычного, если бы не несколько современных зданий, образующих огромное кольцо. Вот они-то, эти здания, как раз очень необычны. Под некоторыми из них прорыты глубокие шахты, и именно там...»

«C / Д. Салми, И. Фрумин Российские вузы в конкуренции университетов мирового класса От редакции Когда эта статья уже была подготовлена к печати, мировое образователь ное сообщество узнало результаты рейтингования университетов по ме тодике газеты «Таймс» за 2007 г. В списке 200 самых заметных универси тетов мира произошли значительные изменения. В нем появились пред ставители Латинской Америки и даже Африки. Ослабили свои позиции Австралия и некоторые азиатские страны. Два российских...»

«ТМ Г. XXVI Бр. 2 Стр. 177 205 Ниш април јун 2002. UDK 504.03.001.1 Стручни рад Н. М. Мамедов Примљено: 21.12.2001. Академија управљања при Президијуму Руске Федерације Москва О ПРЕДМЕТУ СОЦИАЛЬОЙ ЭКОЛОГИИ (ОПЫТ ОБОБЩЕННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ) Резиме Понятие социальная экология, начиная с 60х годов стало использоваться как название комплексного научного направления, призванного выявить предпосылки и условия гармонизации взаимодействия общества и природы на локальном, региональном и глобальном уровнях....»

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ДОКЛАД ОБ ОСУЩЕСТВЛЕНИИ ОРХУССКОЙ КОНВЕНЦИИ Сторона Республика Казахстан Министерство охраны окружающей среды Республики Казахстан Фамилия и должность Бекнияз Болат Кабыкенович Директор Департамента устойчивого развития и научносотрудника аналитического обеспечения Министерства охраны окружающей среды Республики Казахстан Республика Казахстан, 010000, город Астана, левый берег, Почтовый адрес: Дом Министерств, 14 подъезд +7 7172 740059 Телефон: +7 7172 740878 Факс: Адрес...»

«№21(3955) пятница 29 мая 2009 г. №20 (3954) Пятница,22 мая 2009г По приглашению Министерства по ЧС Республики Казахстан в город Астану прибыла делегация работников Министерства ЧС Республики Франция. Гости посетили ряд объектов города Астаны с целью обмена опытом в вопросах, возникающих при ЧС техногенного и природного характера. Для ознакомления с возможностями решения вопросов при возникновении ЧС региональных служб МЧС Республики Казахстан делегация Франции прибыла в Атырау. В областном...»

«1 ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Целями освоения дисциплины «Моделирование рабочего процесса с учетом влияния системы конструктивных и эксплуатационных факторов судовых ДВС» являются:формирование у аспирантов знаний о влиянии конструктивных и эксплуатационных факторов на показатели рабочего процесса судовых ДВС ознакомление аспирантов с контрольно-измерительными приборами и методами экспериметального исследования влияния конструктивных и эксплуатационных факторов на показатели работы судовых ДВС...»

«Областное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования Ульяновский институт повышения квалификации и переподготовки работников образования Кафедра управления образованием В.А. Основина Управление деятельностью базовой школы г. Ульяновск ББК 74.2 О75 Рецензенты: Прохорова С.Ю.проректор УИПКПРО по региональному развитию, к.п.н., доцент; Копцева Л.Н. – директор МБОУ гимназии № 79 г.Ульяновска, Заслуженный учитель РФ В учебно-методическом...»








 
2016 www.nauka.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.